中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（全國通用）專題-初中數(shù)學(xué)解答題解題技巧

專題3.2初中數(shù)學(xué)解答題解題技巧

o幾何證明

■函數(shù)與幾何綜合題

。變換綜合題

類型一：幾何證明

1.（2020?浙江臺州市?中考真題）如圖，在aABC中,ZACB=90°,將AABC沿直線AB翻折

得到△ABD,連接CD交AB于點(diǎn)M.E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE.F是aBDE的外接圓與AD的另一個(gè)

交點(diǎn)，連接EF,BF,

（1）求證：4BEF是直角三角形；

（2）求證：△BEFS^BCA；

（3）當(dāng)AB=6,BC=m時(shí)，在線段CM正存在點(diǎn)E,使得EF和AB互相平分，求m的值.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）2G

【分析】（1）想辦法證明NBEF=90°即可解決問題（也可以利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)直接證

明）.

（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明.

11ni~

（3）證明四邊形AFBE是平行四邊形，推出FJ=—BD=—m,EF=m,由△ABCsaCBM,可得BM=?-,

226

由△BEFS/XBCA,推出型=生，由此構(gòu)建方程求解即可.

EFBE

【詳解】（1）證明：由折疊可知，ZADB=ZACB=90°

?.?NEFB二NEDB,NEBF=NEDF,

ZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90°,AZBEF=90°,.二ZXBEF是直角三角形.

（2）證明：VBC-BD,AZBDC=ZBCD,

VZEFB-ZEDB,ZEFB=ZBCD,

VAC=AD,BC=BD,AABICD,AZAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,AZBCD=ZCAB,\NBFE=NCAB,

VZACB=ZFEB=90°,AABEF^ABCA.

(3)設(shè)EF交AB于J.連接AE,如下圖所示:

???EF與AB互相平分，???四邊形AFBE是平行四邊形，.二NEFA=NFEB=90°,即EFJ_AD,

VBD±AD,???EF〃BD,VAJ=JB,AAF=DF,

I__m

：.FJ=-BD=—,：.EF=",AABC^ACBM,BC:MB=AB:BC

22

ifj'm

：.BM=—，ABEJ^ABME,；.BE:BM=BJ:BE,:Bp

6

436-m

“AACBC

?：ABEE^ABCA,—=—,即mm

EFBE

解得〃z=2百（負(fù)根舍去）.故答案為：2"

【點(diǎn)睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)平行四邊形的判

定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

變式訓(xùn)練1

如圖3-43-2,z^ABC中，ZACB=60°,分別以AABC的兩邊向三角形外作等邊三角形BCE和等邊

三角形ACF,過點(diǎn)A作AM〃FC交BC于點(diǎn)M,連接EM.

求證：（1）四邊形AMCF是菱形；

(2)AACB^AMCE.

A

圖3-43-2

證明：(1).?.△ACF是等邊三角形，

.".ZFAC=ZACF=60°,AC=CF=AE.

?「NACB=60°,.,.ZACB=ZFAC..,.AF^BC.

??,AM/FC,...四邊形AMCF是平行四邊形.

1?-AF=CF,二.四邊形AMCF是菱形.

(2):△BCE是等邊三角形，.,.BC=EC.

又；AC=CF=MC,

(AC=MC,

二在△ABC和aMEC中，，44C8=4MC￡=60°,

BC=EC,

/.△ABC^AMEC(SAS).

變式訓(xùn)練2

如圖3-43-4,在平行四邊形ABCD中，0是AB的中點(diǎn)，連接DO并延長交CB的延長

線于點(diǎn)E,連接AE,DB.

(1)求證:AA0D=AB0E;

⑵若DC=DE,判斷四邊形AEBD的形狀，并說明理由.

圖3-43-4

(1)證明：?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

.,.AD//CE.AZADO=ZBEO.

：0是AB中點(diǎn),.*.AO=BO.

又；NAOD=NBOE,/.AAOD^ABOE(AAS).

(2)解：四邊形AEBD是矩形.

理由如下：

VAAOD^ABOE,.,.00=￡0.

又：AO=BO,.?.四邊形AEBD是平行四邊形.

：DC=DE=AB,二四邊形AEBD是矩形.

變式訓(xùn)練3

準(zhǔn)備一張矩形紙片，按如圖3-43-6操作：

將aABE沿BE翻折，使點(diǎn)A落在對角線BD上的M點(diǎn)處，將△CDF沿DF翻折，使點(diǎn)C落在對角線BD上

的N點(diǎn)處.

(1)求證：四邊形BFDE是平行四邊形；

(2)若四邊形BFDE是菱形，AB=2,求菱形BFDE的面積.

(1)證明：???四邊形ABCD是矩形，

；.NA=NC=90°,AB=CD,AB〃CD.

ZABD=ZCDB./.ZEBD=ZFDB.

...EB〃DF.又：ED〃BF,.?.四邊形BFDE為平行四邊形.

(2)解：?.?四邊形BFDE為菱形，

；.BE=ED,ZEBD=ZFBD=ZABE.

???四邊形ABCD是矩形，.-.AD=BC,ZABC=90°.

AZABE=30°.

VZA=90",AB=2,

AE=-=^-,BF=BE=2AE=

A33

二菱形BFDE的面積為逋x2=睡.

33

類型二：函數(shù)與幾何綜合題

1.(2020?遼寧錦州市?中考真題)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丁=-1/+灰+。交x軸

于4(—3,0),仇4,0)兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

39

⑵如圖，直線>產(chǎn)拋物線交于A,D兩點(diǎn)，與直線于點(diǎn)E.若火明。)是線段A3

上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)F,交直線AO于點(diǎn)G,交直線3C于點(diǎn)H.

①當(dāng)點(diǎn)F在直線AD上方的拋物線上，且SQG=\S#EG時(shí)，求m的值；

②在平面內(nèi)是否在點(diǎn)P,使四邊形EFHP為正方形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存

在，請說明理由.

【答案】(1)y=-x2+^x4.(2)①］或-2；②存在；1，或1，

+?J］”?。?/p>

【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法列出方程組即可求出拋物線的表達(dá)式；

(2)利用SR.C=，S.OEG，用m和拋物線及一次函數(shù)的解析式表示出FG的長度，解出m即可求

出答案；

(3)先根據(jù)直線AD與直線BC相交于點(diǎn)E求出E點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)題意當(dāng)四邊形EFHP是正方形，利

用正方形四個(gè)角都是直角且四條邊都相等求出F點(diǎn)的坐標(biāo)及EF的長度，再根據(jù)坐標(biāo)求解即可.

【詳解】解：⑴???拋物線y=一：％2+以+。經(jīng)過4(—3,0),6(4,0)兩點(diǎn)，

—3—3〃+c=0

b=—

16八八解得，3,

------\-4b=c=0

3c=4

???拋物線的表達(dá)式為y=-#+gx+4.

(2)①方法1:

如圖1,過點(diǎn)。作OR_LAD于點(diǎn)R,過點(diǎn)F作小，AD于點(diǎn)Q,

設(shè)直線AO與y軸交點(diǎn)為N.

QM(m,O),直線尸G_Lx軸,

J39}?(11-

G+—,rm,——2+—m+4,

I44；I33J

.”121.39}1257

33144)3124

39，9、

由一次函數(shù)y=：x+—可以求出點(diǎn)N坐標(biāo)為0,二，

-44I4J

9

在R/AAON中，QA=3,0N=-,

4

AN=JOT+ON：=—，

4

-.-S=-OAON=-ANOR,

A/AityO/vN22

4

,/S=—EG-FQ,S=—EG-OR,

d匕F卜FG2OFG2

:.-EGFQ=-x-EGOR,

292

：.FQ=-OR=\.

9

???/FGQ=ZAGM,MH平行于y軸，

ZAGM=ZANO,

:.ZFGQ=ZANO,

sinZFGQ=/=sinNANO

FGAN5

牛!，

5

1575

——m2"---m+~--

31244

3

解得町=1，m2--2.

聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)，得:」心+4=*,

3344

7

解得Xi=7，x2=-3,

則可知此時(shí)求出的點(diǎn)F都在直線AD上方的拋物線上,

3

，機(jī)的值為:或-2.

4

方法2：

如圖1,過點(diǎn)0作。R_LA0于點(diǎn)R,過點(diǎn)F作相，AZ）于點(diǎn)Q,設(shè)直線AZ）與y軸交點(diǎn)為N.

則N（O,J0N=-,

QM（犯0）,直線尸G_Lx軸,

G\m,-tnH—I,F\tn,—m~4—/〃+4）,

（44）133

39157

FG=——m2+-m+4-—m+———m~2----相+一,

33443124

,/SEFG=~EG?FQ,S=—EGOR,

△匕/(J2(OzEziGO2

：.-EGFQ=-x-EGOR,

292

,FQ=5

"0R~9'

07?1AD,FQJ,AD,

NFQG=ZORN=90",

由題意可得，EM〃y軸，則NFGQ=NQVR,

:.AFGQ~AONR,

FGFQ5

一而一而一5'

3

解得町=z，加2=-2，

聯(lián)立拋物線和一次函數(shù)，得；?4X2+：X+4=[X+]

3344

7

解得X1=w，々=-3,

則可知此時(shí)求出的點(diǎn)F都在直線AD上方的拋物線上，

3

二加的值為二或-2.

②存在.點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,或1,

（寫對一個(gè)得2分）

如圖2,

VB(4,0),C(0,4),

二直線BC的解析式為：y=-x+4,

39

聯(lián)立直線AD與直線BC的方程得：-x+-=-x+4,

44

解得x=l,

??.E(1,3).

若四邊形EFHP是正方形，

貝力=%=3，

x?+：x+4=3,解得x=1±

332

...大"Bl，3,F)J"屈力,3,

22

k7\7

...時(shí)一旦=5

122

BS1+V13

EP\=EFi=-2---

c1+>/137+V13

3+--------=---------

???yPl

7+呵

1+V13,V13-1

同理可得：EF=----------1=---------

222

EP=EF=

22*-1

V13-17-V13

%=3-

2-2-

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、正方形等綜合知識點(diǎn)，難度較大，本題第（2）問

中的第I小問通過面積比列出FG關(guān)于m的方程是解題的關(guān)鍵，第2小問通過正方形的性質(zhì)進(jìn)行討

論即可解題，對于二次函數(shù)的綜合題型要學(xué)會結(jié)合數(shù)形結(jié)合的方法解題.

變式訓(xùn)練1

1.(2019)如圖3-46-2,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線

y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0),B(4.0),C(0,4)

三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)將(1)中的拋物線向下平移9個(gè)單位長度，再

向左平移h(h>0)個(gè)單位長度，得到新拋物線.若新

拋物線的頂點(diǎn)D'在AABC內(nèi)，求h的取值范圍；

(3)點(diǎn)P為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B,C重合)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交(1)中的拋物線于點(diǎn)

Q,當(dāng)4PQC與△ABC相似時(shí)，求的面積.

nn

C、\

AIO\Mx

圖3-46-2

解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y=a(x+1)(x-4)=a(x2-3x-4),將(0,4)代入，得-4a=4.

解得a=T.

故拋物線的解析式為：y=-x2+3x+4,

(2)拋物線向下平移”個(gè)單位長度，再向左平移h(h

4

>0)個(gè)單位長度，得到新拋物線的頂點(diǎn)少信升

將點(diǎn)A,C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得

l'L線AC的表達(dá)式為y=4x+4.

將點(diǎn)D，坐標(biāo)代入直線AC的表達(dá)式得/=4信+4.

解得人=祟故0<八<祟

(3)如答圖3-46-3,過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線

和x軸于點(diǎn)Q,H.

V0B=0C=4,.\ZPBA=ZOCB=45<,=ZQPC,

直線BC的表達(dá)式為y=-x+4,

答圖3-46-3

則48=5,BC=4j2,4C=/i7,x5x4=10.隼

設(shè)點(diǎn)Q(m,-m2+3m+4)，點(diǎn)P(m,-m+4),

則CP=&m，PQ=m2+3m+4+m4=~m2Mm.

①當(dāng)△CPQs/XCBA,

會務(wù)即篙T.解得叫=。（舍去）,

m2=p相似比為箓=巳；②當(dāng)△CPQSZ\ABC,

同理可得相似比為弟臂.

利用面積比等于相似比的平方可得S^p0c=10x（為

嘲或—。'（啕576

=西

類型三：變換綜合

1.（2019?山東濟(jì)寧市?中考真題）如圖1,在矩形A8CO中，AB=8,AD=W,E是CD

邊上一點(diǎn)，連接AE,將矩形ABCD沿AE折疊，頂點(diǎn)。恰好落在8C邊上點(diǎn)F處，延長AE

（2）如圖2,M.N分別是線段AG,0G上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），且NOMN=NDAM,

設(shè)AM=x,DN=y.

①寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求出y的最小值；

②是否存在這樣的點(diǎn)M,使是等腰三角形？若存在，請求出X的值；若不存在，請

說明理由.

【答案】（1）CE=3；（2）①當(dāng)X=4A后時(shí)，y有最小值，最小值=2：②存在.滿足條

件的X的值為8石-10或L幽.

2

【分析】（1）由翻折可知：AD=AF^W.DE=EF,設(shè)EC=x,則￡>E=EF=8-乂在

RSECF中,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

⑵①證明△AOA/SAGMN,可得黑；=鬃，由此即可解決問題.

②有兩種情形：如圖3-1中，=M。時(shí)?如圖3—2中，當(dāng)MN=￡W時(shí)，作M”J_QG

于”.分別求解即可解決問題.

【詳解】解：（1）如圖1中，

圖1

二?四邊形ABCD是矩形，

AO=3C=1(),A5=CD=8,

二ZB=ZBCD=9Q°,

由翻折可知：AO=A/=1().DE=EF，設(shè)EC=x，則Z)E=E/=8-x.

在/?以45尸中，BF=dAF2-AB?=6,

CF=BC-5F=10-6=4,

在MAEFC中,則有：(8-X)2=X2+42,

x=3,

EC-3.

(2)①如圖2中，

?；AD//CG,

.ADDE

''~CG~~CE'

.10_5

??=一,

CG3

CG=6,

：.BG=BC+CG=\6,

在RAABG中，AG=V82+162=8^>

在RIADCG中,DG=y/62+82=10-

；AD=DG=10,

ZDAG=ZAGD,

■：NDMG=ZDMN+NNMG=ADAM+ZADM,NDMNADAM,

ZADM=ZNMG,

：.AADMSQMN,

.AD_AM

'~MG~~GN

10_x

8V5-x-10-y

J—W+K).

-105

當(dāng)X=4退時(shí)，y有最小值，最小值=2.

②存在.有兩種情形：如圖3-1中，當(dāng)MN=M。時(shí),

圖3-1

：NMDN=ZGMD,NDMN=ZDGM,

：.MtNs^DGM,

.DM_MN

"DC-GM'

?；MN=DM'

/.DG=GM=1(),

x=AM=86-l().

如圖3-2中，當(dāng)MN=ON時(shí)，作M//J.OG于H.

圖3?2

???MN=DN、

???/MDN=/DMN,

'：ZDMN=ZDGM,

???/MDG=ZMGD,

:,MD=MG,

,/BH工DG,

??.DH=GH=5,

由AG”MSAG5A,可得絲=竺色,

GBAG

.5/G

16-8石’

"G=述，

2

?_A_Q￡5小_11亞

??x=AM=8v5----=---------

22

綜上所述，滿足條件的％的值為8石-10或L幽.

2

【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，相似三角

形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解

決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

變式訓(xùn)練

如圖3-46-4①,在菱形ABCD中，AB=66an/ABC=2,

點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿著射線DA

的方向勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位：s),將線

段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角a(a=/BCD),得到對

應(yīng)線段CF.

(1)求證：DF=BE