中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練-菱形的判定和性質(zhì)

中考專題訓(xùn)練——菱形的判定和性質(zhì)

1.如圖，在△A8C中，BA=BC,BC平分/ABC交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段8。上，點(diǎn)尸

在8。的延長線上，iLDE=DF,連接AE,CE,AF,CF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)BALAF,AQ=4,8c=4代，求和AE的長.

2.如圖，△A8C中，NACB的平分線交AB于點(diǎn)。，作CD的垂直平分線，分別交AC、

DC、BC于點(diǎn)E、G、F,連接。E、DF.

(1)求證：四邊形。FCE是菱形；

(2)若/ABC=60°,ZACB=45°,BD=2,試求8尸的長.

3.在RtZiABC中，NA4C=90°,。是8c的中點(diǎn)，E是AQ的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF〃BC

交5E的延長線于點(diǎn)F.

(1)證明四邊形4OC尸是菱形；

(2)若AC=4,48=5,求菱形4DCF的面積.

4.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是8c的中點(diǎn)，E是AQ的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF〃BC

交BE的延長線于點(diǎn)F.

(1)證明四邊形4OCF是菱形；

(2)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面積.

5.如圖，ZMBC中，NBC4=90°,CO是邊AB上的中線，分別過點(diǎn)C,力作BA和BC

的平行線，兩線交于點(diǎn)E,且OE交AC于點(diǎn)O,連接AE.

(1)求證：四邊形AOCE是菱形；

(2)若/B=60°,BC=6,求四邊形ADCE的面積.

6.在四邊形ABC。中，AD//BC,AC平分NBA。，8。平分NABC.

(1)如圖1,求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)如圖2,過點(diǎn)。作。交BC延長線于點(diǎn)E,在不添加任何輔助線的情況下,

請直接寫出圖中所有與△CCE面積相等的三角形(△(7￡>￡除外)

7.己知：如圖，在△ABC中，直線P。垂直平分AC,與邊AB交于點(diǎn)E,連接CE,過點(diǎn)C

作CF〃區(qū)4交尸Q于點(diǎn)F,連接AF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若4力=3,AE=5,則求菱形AECF的面積.

8.如圖，在△A2C中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長。E到點(diǎn)F,使得

EF=BE,連接CF.

(1)求證：四邊形8CFE是菱形；

(2)若CE=2,ZBCF=120°,求菱形8CFE的面積.

9.如圖，在回A8CD中，AEYBC,AFVCD,垂足分別為E,F,KBE^DF.

(1)求證：團(tuán)ABC。是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求12ABe。的面積.

10.如圖，在AABC中，AB=AC,E,D,尸分別是邊A8,BC,CA的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形AEQF是菱形；

(2)若/B=30°,AB=12,求四邊形AECF的面積.

11.如圖，在四邊形ABCO中，AB//DC,過對角線AC的中點(diǎn)。作E凡L4C分別交邊AB,

CD于點(diǎn)E,F,連接CE,AF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若EF=6,AE=5,求四邊形AECF的面積.

12.如圖，△ABC中，NBCA=90°,C￡＞是邊AB上的中線，分別過點(diǎn)C,力作BA和BC

的平行線，兩線交于點(diǎn)E,且OE交AC于點(diǎn)O,連接AE.

(1)求證：四邊形ADCE是菱形；

(2)若NB=60°,BC=6,求四邊形ADCE的面積.

13.如圖，在EIABCQ中，CE平分NBCD,交AQ于點(diǎn)E,OF平分NAOC,交BC于點(diǎn)、F,

CE與DF交于點(diǎn)、P,連接EF,BP.

(1)求證：四邊形CQEF是菱形；

(2)若AB=2,BC=3,N4=120°,求8P的值.

ED

14.如圖，△ABC是以BC為底的等腰三角形，AO是邊BC上的高，點(diǎn)E、F分別是AB、

4c的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形AEQF是菱形；

(2)如果四邊形AEDF的周長為12,兩條對角線的和等于7,求四邊形AEZ5F的面積S.

15.如圖，ZVLBC中，NACB=90°,NA=30°,CD為△ABC的中線，作CO_LA8于O,

點(diǎn)E在C。延長線上，OE=AD,連接8E、DE.

(2)把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6,求兩條分割線

段長度的和.

16.如圖，ZVIBC中，A￡＞是邊BC上的中線，過點(diǎn)A作AE〃5C,過點(diǎn)。作。E〃A3,DE

與AC、AE分別交于點(diǎn)。、點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)EC.

(1)求證：AD=EC；

(2)若8c=2AD,AB=A0^m,求證：S四成形ADCE=M2.(其中S表示四邊形AOCE

的面積)

A

17.如圖，在aABC中，ZC=90°,B。平分NABC交AC于點(diǎn)。，過。作OE〃BC交AB

于點(diǎn)E,OF〃AB交8c于點(diǎn)F,連接EF.

(1)求證：四邊形BFDE是菱形；

(2)若4B=8,AD=4,求8尸的長.

18.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,A。平分NBAC交8c于點(diǎn)。，在線段AO上任

取一點(diǎn)P(點(diǎn)A除外)，過點(diǎn)P作E尸〃AB,分別交4C,8c于點(diǎn)E和點(diǎn)尺PQ//AC,

交

AB于點(diǎn)Q,連接QE.

(1)求證：四邊形AEP。為菱形；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時，菱形4EPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？

19.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AB、AD為腰作等腰三角形尸

和等腰三角形△?!￡)￡；,且頂角N8AF=ND4E,連結(jié)8。、EF相交于點(diǎn)G,BO與A尸相

交于點(diǎn)H.

(1)求證：BD=EF；

(2)若NGHF=NBFG,求證：四邊形ABC。是菱形：

(3)在(2)的條件下，當(dāng)N8AF=ND4E=90°時，連結(jié)BE,若BF=4,求△BEF的

面積.

E

20.如圖，在四邊形ABC。中，AB=-AD,CB=CD,E是CD上的點(diǎn)，BE交AC于點(diǎn)尸,

連接DF.

(1)求證：ZBAF^ZDAF,NAFD=NCFE；

(2)若A8〃CD試證明：四邊形ABCD是菱形；

(3)在(2)的條件下，試確定點(diǎn)E的位置，使得NEFD=/BCD,并說理由.

參考答案：

I.如圖，在△ABC中，BA=BC,8。平分NABC交AC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在線段BO上，點(diǎn)尸

在8。的延長線上，且。E=Z)F,連接A￡,CE,AF,CF.

(1)求證：四邊形AEC尸是菱形；

(2)若BA_LARAD=4,BC=4娓,求8。和AE的長.

【分析】(1)根據(jù)對角線互相平分且垂直即可證明四邊形AECF是菱形；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得8。=8,設(shè)DE=x,則DF=x,所以AF1

=4￡>2+0產(chǎn)=]6+，，BF=BD+DF=8+x,然后利用勾股定理即可解決問題.

【解答】(1)證明：'：BA=BC,8。平分/ABC,

：.BD±AC,AD=CD,

,:DE=DF,

四邊形AECF是菱形；

(2)解：AD1BD,AQ=4,&4=BC=4遙，

皿2-卜口2=.80_16=8,

設(shè)DE=x,則DF=x,

：.AF2=AD2+DF2^16+/,

?；BF=BD+DF=8+x,

：.AB2+AF2=BF2,

(4A/5)2+16+X2=(8+X)2,

***x=2,

:.DE=DF=2,

；?AE=VAD2+DE2=742+22=2匹?

：.BD和AE的長分別為8和2遙.

2.如圖，△ABC中，N4CB的平分線交AB于點(diǎn)。，作CO的垂直平分線，分別交4C、

DC、BC于點(diǎn)、E、G、F,連接力E、DF.

(1)求證：四邊形。尸CE是菱形；

(2)若/ABC=60°,N4CB=45°,BD=2,試求的長.

【分析】(1)先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得：DE=CE,。尸=FC,證明△CGEg/\CGF

(ASA),根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得：四邊形。FCE是平行四邊形，

再由一組鄰邊相等的平行四邊是菱形可得結(jié)論；

(2)作輔助線，構(gòu)建直角三角形，根據(jù)直角三角形30°的性質(zhì)可得BH=\,由勾股定

理得：DH=y[3,根據(jù)△OHF是等腰直角三角形，可得DH=FH=如,從而得結(jié)論.

【解答】(1)證明：是。C的垂直平分線，

:.DE=EC,DF=CF,NEGC=NFGC=90°,DG=CG

'：CD^ZACB,

：.NECG=NFCG,

'：CG=CG,

：./\CGE^/\CGF(ASA),

：.GE=GF,

四邊形QFCE是平行四邊形，

'：DE=CE,

...四邊形。FCE是菱形；

(2)解：過。作。H_LBC于”，則/。，尸=/?！?=90°,

VZABC=60°,

.'.NBDH=30°,

.?.B〃=2BO=I,

2

在RtaOHB中，DH=、22_\2=冊,

?.?四邊形DFCE是菱形,

C.DF//AC,

：.ZDFB=ZACB=45°,

/\DHF是等腰直角三角形，

:.DH=FH=M，

:.BF=BH+FH=\+43.

3.在Rtz^ABC中，ZBAC=90°,。是3c的中點(diǎn)，E是A。的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作A尸〃BC

交2E的延長線于點(diǎn)F.

(1)證明四邊形AOb是菱形；

(2)若AC=4,AB=5,求菱形AQC尸的面積.

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出圖形，由E是4。的中點(diǎn)，AF//BC,易證得△AFEga

DBE,即可得AF=B￡>,又由在RtZ\ABC中，NBAC=90°,。是BC的中點(diǎn)，可得A。

=BD=CD=AF,證得四邊形AQCF是平行四邊形，繼而判定四邊形ACCF是菱形；

(2)首先連接。凡易得四邊形ABZ)尸是平行四邊形，即可求得。尸的長，然后由菱形

的面積等于其對角線積的一半，求得答案.

【解答】(1)證明：如圖，尸〃BC,

NAFE=NDBE,

是A。的中點(diǎn)，AO是8c邊上的中線，

：.AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△QBE中，

，ZAFE=ZDBE

<ZFEA=ZBED>

AE=DE

A/\AFE^/\DBE(A4S)；

C.AF^DB.

?:DB=DC,

：.AF=CD,

四邊形ADCF是平行四邊形，

；NBAC=9()°,。是BC的中點(diǎn)，

：.AD=DC=—BC,

2

四邊形ADC尸是菱形；

(2)解：連接。凡

,CAF//BC,AF=BD,

...四邊形ABQF是平行四邊形，

：.DF=AB=5,

?.?四邊形AQCF是菱形，

，S=2AC?。尸=10.

2

4.在Rtz^ABC中，ZBAC=90",。是BC的中點(diǎn)，E是A。的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作4尸〃BC

交BE的延長線于點(diǎn)F.

(1)證明四邊形AOCF是菱形；

(2)若AC=4,AB=5,求菱形AOCF的面積.

【分析】(1)首先根據(jù)題意畫出圖形，由E是4。的中點(diǎn)，AF//BC,易證得△4尸￡絲4

DBE,即可得AF=B。，又由在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中點(diǎn)，可得AO

=BD=CD=AF,證得四邊形AOC尸是平行四邊形，繼而判定四邊形4OCF是菱形；

(2)首先連接。尸，易得四邊形ABD尸是平行四邊形，即可求得OF的長，然后由菱形

的面積等于其對角線積的一半，求得答案.

【解答】(1)證明：如圖，YA尸〃BC,

NAFE=NDBE,

是4。的中點(diǎn)，4。是BC邊上的中線，

：.AE=DE,BD=CD,

在△?!「￡：和△DBE中，

，ZAFE=ZDBE

<NFEA=/BED，

AE=DE

.?.△AFE/△O8E(AAS)；

：.AF=DB.

,:DB=DC,

：.AF^CD,

，四邊形ADCF是平行四邊形，

VZBAC=90°,。是BC的中點(diǎn)，

：.AD=DC^^BC,

2

.?.四邊形AOCF是菱形；

(2)解：連接。F,

,JAF//BC,AF=BD,

...四邊形A8。尸是平行四邊形,

：.DF=AB=5,

???四邊形ADCF是菱形，

：.S=^AC*DF=IO.

2

5.如圖，ZXABC中，NBCA=90°,CQ是邊AB上的中線，分別過點(diǎn)C,。作BA和BC

的平行線，兩線交于點(diǎn)E,且。E交AC于點(diǎn)0,連接AE.

(1)求證：四邊形AQCE是菱形；

【分析】(1)欲證明四邊形AOCE是菱形，需先證明四邊形AQCE為平行四邊形，然后

再證明其對角線相互垂直；

(2)根據(jù)勾股定理得到AC的長度，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得DE的長度，

然后由菱形的面積公式：S=1AC?QE進(jìn)行解答.

2

【解答】(1)證明："：DE//BC,EC//AB,

四邊形OBCE是平行四邊形.

：.EC//DB,EC=DB.

在RtZXABC中，CD為AB邊上的中線，

：.AD=DB=CD.

：.EC^AD.

四邊形ADCE是平行四邊形.

J.ED//BC.

：.ZAOD^ZACB.

VZACB=90°,

，NAO￡>=NACB=90°.

，平行四邊形AOCE是菱形；

(2)解：RtZSABC中，CD為A3邊上的中線，NB=60°,BC=6,

:.AD=DB=CD=6.

：.AB=\2,由勾股定理得AC=6?.

?.?四邊形O8CE是平行四邊形，

：.DE=BC=6.

?_AC?ED小江18后

,菱形ADCE=2-

6.在四邊形ABC。中，AD//BC,AC平分NBA。，8。平分NABC.

(1)如圖1,求證：四邊形ABC。是菱形;

(2)如圖2,過點(diǎn)。作QELB。交BC延長線于點(diǎn)E,在不添加任何輔助線的情況下,

請直接寫出圖中所有與△CDE面積相等的三角形(△8E除外)

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得/ABD=NCB。，據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可

得NAQB=/CB。，然后求出NA8Q=/AQ8=NCB。，再根據(jù)等角對等邊可得AB=

AD,再根據(jù)等腰三角形三線合一可得BO=DO,然后利用“角邊角”證明△AOO和4

COB全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AO=BC,再根據(jù)對邊平行且相等的四邊形

是平行四邊形證明四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形

證明即可；

(2)根據(jù)等底等高的三角形的面積相等即可得到結(jié)論.

【解答】(1)證明：平分乙48C,

NABD=NCBD,

'CAD//BC,

：.NADB=NCBD,

：.ZABD=NA￡>8=NCBD,

：.AB=AD,

設(shè)AC、8。相交于點(diǎn)0,

又；AC平分NBA。，

：.BO=DO,ACYBD,

"ZADB=ZCBD

在△AOC和△COB中，<OB=OD，

,ZAOD=ZCOB=90°

:.XAOD匕XCOB(ASA),

：.AD=BC,

'JAD//BC,

四邊形ABC。是平行四邊形，

y.'：AB=AD,

四邊形ABC。是菱形；

(2)'：DE1BD,AC1BD,

：.AC//DE,

'：AD//CE,

四邊形ACED是平行四邊形，

：.BC=AD=CE,

，圖中所有與△COE面積相等的三角形有△BCD,△4B￡>,△ACC,AABC.

7.已知：如圖，在△ABC中，直線尸。垂直平分AC,與邊AB交于點(diǎn)E,連接CE,過點(diǎn)C

作C尸〃BA交PQ于點(diǎn)凡連接4F.

（1）求證：四邊形AECF是菱形；

（2）若44=3,AE=5,則求菱形AEC尸的面積.

B

【分析】（1）首先利用AAS證明尸絲△4ED,進(jìn)而得到AE=CF,于是得到四邊形

AECF是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得到結(jié)論；

（2）首先利用勾股定理求出。E的長，再利用對角線乘積的一半求出菱形的面積.

【解答】證明：（1）-JCF//AB,

:.NDCF=NDAE,

。垂直平分AC,

CD=AD,

在△CDF和△AED中

rZDCF=ZDAE

???<NCDF=/ADE，

CD=AD

：./\CDF^/\AED,

：.AE^CF,

，四邊形A￡CF是平行四邊形,

；尸。垂平分AC,

：.AE=CE,

四邊形4EC尸是菱形;

(2)?.?四邊形AEC尸是菱形,

AWE是直角三角形,

'：AD=3,AE=5,

.*.D￡=4,

；.AC=2AO=6,EF=2DE=8,

菱形AECF的面積為工EF=24.

2

8.如圖，在△ABC中，D、E分別是48、4c的中點(diǎn)，BE=2DE,延長OE到點(diǎn)尸，使得

EF=BE,連接CF.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=2,ZBCF=120°,求菱形BCFE的面積.

Bc

【分析】(1)根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；

(2)只要證明AECB都是等邊三角形，可得S菱形BCFE=2?S^ECF；

【解答】解：(1)E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

J.DE//BC,BC=2DE,

；EF=BEBE=2DE,

：.EF=BC=BE,EF//BC,

四邊形BCFE是平行四邊形，

"：BE=BC,

四邊形BCFE是菱形.

(2)\'EF//BC,

.*.ZF+Z?CF=I8O°,

VZBCF=120°,

尸=60°,

?：FE=FC=CB=EF,

:'/\ECF,△EC8都是等邊三角形，

?*.S菱形BCFE—2,S^ECF—2XX22-2a.

4

9.如圖，在回A8CD中，AE1BC,AF1CD,垂足分別為E,F,JiBE=DF.

(1)求證：E1A8CO是菱形；

(2)若AB=5,AC=6,求回ABC￡>的面積.

【分析】(1)利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=A。即可解決問題：

(2)連接BZ)交AC于。，利用勾股定理求出對角線的長即可解決問題;

【解答】(1)證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

:./B=/D,

VAE1BC,AFLCD,

：.ZAEB=ZAFD=W°,

'：BE=DF,

：./\AEB^/\AFD

：.AB=AD,

四邊形ABC。是菱形.

(2)連接BO交4c于。.

???四邊形A8CD是菱形，4C=6,

：.AC±BD,

AO=OC=—AC=^X6=3,

22

：AB=5,AO=3,

AB2-AO2=V52-32=4'

，BO=2BO=8,

?"?S平行四邊形ABCD=」XACXBZ)=24.

2

10.如圖，在△ABC中，AB^AC,E,D,F分別是邊AB,BC,CA的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形1是菱形；

(2)若/B=30°,AB=\2,求四邊形AED尸的面積.

【分析】(1)首先根據(jù)三角形中位線定理可得。E〃AC,DF//AB,ED=^AC,DF=^-

22

AB,進(jìn)而可判定四邊形AEQF是平行四邊形，然后證明EQ=D尸即可；

(2)連接A。、EF,利用直角三角形的性質(zhì)和菱形面積公式解答即可.

【解答】(1)證明：D,F分別是邊AB,BC,AC的中點(diǎn)，

：.DE//AC,DF//AB,ED=^AC,DF=^AB,

22

四邊形AEO尸是平行四邊形，

；A3=AC,

:.ED=DF,

四邊形AEQF是菱形；

在△ABC中，AB=AC,

：.BD=CD,AD1.BC,

在RtZ\AAD中，N8=30°,AB=12,

.?.AZ)=6,EF=]BC=BD=yl/f/=啦，

菱形AEDF的面積=方即'AD=18V3-

11.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,過對角線4c的中點(diǎn)。作EFJ_4C分別交邊AB,

CD于點(diǎn)E,F,連接“，AF.

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若EF=6,AE=5,求四邊形AEC尸的面積.

【分析】(1)運(yùn)用“對角線互相垂直平分的四邊形是菱形”判定，已知EF1AC,40=

0C,只需要證明0E=0F即可，用全等三角形得出；

(2)菱形的面積可以用對角線積的一半來表示，由已知條件，解直角三角形A0E可求

AC、EF的長度.

【解答】解：(1)證明：'JAB//DC,

.*.Z1=Z2.

在△CF。和△AE0中，

'/1=/2

<ZF0C=ZE0A>

0C=0A

：./\CF0^/\AE0(ASA).

：.OF=OE,

又；04=0C,

四邊形尸是平行四邊形.

VEF1AC,

四邊形AECF是菱形；

(2)解：：四邊形AECF是菱形，EF=6,

.?.0E=」EF=4.

2

在RtZ\AE。中，

；tan/0AE=^=2,

OA5

，0A=5,

；.AC=2AO=8,

12.如圖，△A8C中，NBCA=90°,CD是邊AB上的中線，分別過點(diǎn)C,。作BA和BC

的平行線，兩線交于點(diǎn)E,且。E交AC于點(diǎn)0,連接AE.

(1)求證：四邊形AQCE是菱形；

【分析】(1)欲證明四邊形AOCE是菱形，需先證明四邊形AQCE為平行四邊形，然后

再證明其對角線相互垂直；

(2)根據(jù)勾股定理得到AC的長度，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求得DE的長度，

然后由菱形的面積公式：S=1AC?QE進(jìn)行解答.

2

【解答】(1)證明："：DE//BC,EC//AB,

四邊形OBCE是平行四邊形.

：.EC//DB,EC=DB.

在RtZXABC中，CD為AB邊上的中線，

：.AD=DB=CD.

：.EC^AD.

四邊形ADCE是平行四邊形.

J.ED//BC.

：.ZAOD^ZACB.

VZACB=90°,

，NAO￡>=NACB=90°.

，平行四邊形AOCE是菱形；

(2)解：RtZSABC中，CD為邊上的中線，ZB=60°,BC=6,

:.AD=DB=CD=6.

...A8=12,由勾股定理得4c=6依.

?.?四邊形O8CE是平行四邊形，

：.DE=BC=6.

?'?S菱形AOCE=迎照=洶=18料.

22

13.如圖，在回ABCQ中，CE平分NBCZ),交AQ于點(diǎn)E,QF平分/AOC,交BC于點(diǎn)、F,

CE與DF交于點(diǎn)、P,連接EF,BP.

(1)求證：四邊形CQE尸是菱形；

(2)若A8=2,BC=3,ZA=120°,求BP的值.

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可求得CF=CC=QE,可證得結(jié)

論；

(2)過P作PG_L8c于G,在RtZ\PGC中可求得PG和CG的長，則可求得BG的長，

在RtZ\BPG中，由勾股定理可求得BP的長.

【解答】(1)證明：

:四邊形A8CD為平行四邊形，

.".AD//BC,

：.NEDF=ZDFC,

；力尸平分/4力。，

.".ZEDF=ZCDF,

：.NDFC=NCDF,

：.CD=CF,

同理可得CD=DE,

：.CF=DE,CF//DE,

四邊形CDEF為菱形；

(2)解：

如圖，過P作PG_LBC于G,

；AB=2,BC=3,ZA=120°,且四邊形COE尸為菱形,

:.CF=EF=CD=AB=2,ZECF=—ZBCD=—ZA=60a,

22

...△CE尸為等邊三角形，

:.CE=CF=2,

.?.PC=JLCE=1,

2

：.CG=—PC^^,PG=^-PC=^~,

2222

.,.BG=BC-CG=3-上=9,

22

在RtZ\BPG中，由勾股定理可得吁近2+于62=拈)2+哈2s

即BP的值為

14.如圖，△4BC是以8c為底的等腰三角形，AO是邊BC上的高，點(diǎn)E、尸分別是48、

AC的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形AEDF是菱形；

(2)如果四邊形AEDF的周長為12,兩條對角線的和等于7,求四邊形AEOF的面積S.

【分析】(1)先根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，得出DE^1AB=AE,DF=^AC

22

=AF,再根據(jù)AB=AC,點(diǎn)E、F分別是AB、4c的中點(diǎn)，即可得至ljAE=A尸=OE=DF,

進(jìn)而判定四邊形AED尸是菱形；

(2)設(shè)EF=x,AD=y,則x+y=7,進(jìn)而得到x2+2xy+_y2=49,再根據(jù)RtAA(?￡中，

AO2+EO2=AE2,得到,+)2=36,據(jù)此可得孫=竽，進(jìn)而得到菱形AEDF的面積S.

【解答】解：(1)-：ADLBC,點(diǎn)E、尸分別是4B、AC的中點(diǎn)，

中，DE=—AB=AE,

2

RtZ\ACD中，DF^—AC=AF,

2

又：A5=AC,點(diǎn)E、/分別是AB、AC的中點(diǎn),

：.AE=AF,

：.AE=AF=DE=DF,

四邊形尸是菱形;

(2)如圖，?.?菱形AE。尸的周長為12,

：.AE=3,

設(shè)后/=斯AD=y,則x+y=7,

.*./+2肛+丫2=49,①

TADLEF于。，

RtAAOE中，AO2+EO2=AE1,

2

(Ay)+(AX)2=32,

22

即7+>2=36,②

把②代入①，可得2巧，=13,

15.如圖，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CQ為△ABC的中線，作C0_LA8于。,

點(diǎn)E在CO延長線上，DE=AD,連接BE、DE.

(1)求證：四邊形8CQE為菱形；

(2)把△ABC分割成三個全等的三角形，需要兩條分割線段，若AC=6,求兩條分割線

段長度的和.

【分析】(1)容易證三角形8。為等邊三角形，又OE=A￡>=B。，再證三角形。BE為

等邊三角形四邊相等的四邊形8CQE為菱形.

(2)畫出圖形，證出BM+MN=AM+MC=AC=6即可.

【解答】(1)證明：；NACB=90°,ZA=30°,C。為△A8C的中線，

：.BC=—AB,CD=—AB=^AD,

22

AZACD=Z4=30°,

：.ZBDC=3QQ+30°=60°,

...△BCD是等邊三角形，

VCO.LAB,

：.OD=OB,

，DE=BE,

*：DE=AD,

:.CD=BC=DE=BE,

???四邊形BCQE為菱形；

(2)解：作N48C的平分線交AC于N,再作MM148于N,如圖所示:

則MM=MC=2BM,NA8M=NA=30。，

2

：.AM=BMf

VAC=6,

BM+MN=AM+MC=AC=6；

即兩條分割線段長度的和為6.

16.如圖，ZvlBC中，AD是邊8C上的中線，過點(diǎn)A作AE:〃8C,過點(diǎn)。作DE〃A8,DE

與AC.AE分別交于點(diǎn)0、點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)EC.

(1)求證：AD=EC；

(2)若BC=2AD,AB=A0=m,求證：S四邊形AQCE=/￡(其中S表示四邊形ADCE

【分析】(1)由DE//AB,可證得四邊形A8QE為平行四邊形，又由A。是邊

8C上的中線，可得4E=C。，即可證得四邊形ADCE是平行四邊形，繼而證得結(jié)論；

(2)由BC=2A￡),易得四邊形AQCE是菱形，繼而求得S四邊形AQCE—R

【解答】證明：(1),：AE//BCfDE//AB,

??.四邊形ABDE為平行四邊形，

1?AE=BD,

?；BD=CD,

：.AE=CD,

???四邊形AOCE是平行四邊形,

.'.AD=CE；

9

(2)：BC=2ADfBC=2CD,

:?AD=CD、

?.?四邊形AOCE是平行四邊形，

四邊形AQCE是菱形，

'：DE=AB=m,AC=2AO=2m,

1

:.SnaiKADCE——AC'DE=m2.

2

17.如圖，在△ABC中，/C=90°,8。平分NABC交AC于點(diǎn)。，過。作。E〃BC交AB

于點(diǎn)E,DF〃AB交BC于點(diǎn)、F,連接EF.

(1)求證：四邊形BF￡?E是菱形；

(2)若AB=8,AD=4,求BF的長.

【分析】(1)易證四邊形BFZJE是平行四邊形，再結(jié)合已知條件證明鄰邊EB=EQ即可

得到平行四邊形BFQE是菱形；

(2)設(shè)所以可得。E=BE=尤，AE=S-x,在RtZ\ADE中，由勾股定理可得A5

=DE1+AD2,求出x的值即可.

【解答】(1)證明：'：DE//BC,DF//AB,

四邊形8FDE是平行四邊形.

：BO平分/ABC,

NABD=NCBD.

,:DE〃BC,

；.NCBD=NEDB.

：.NABD=NEDB.

：.EB=ED.

平行四邊形BFOE是菱形；

(2)解：,:ED〃BF,ZC=90°,

:.NADE=90°.

設(shè)BF=x,

：.DE=BE=x.

；.AE=8-x.

在RtZ\A￡)E中，AE1=DE1+AD2

(8-x)2=7+42

解得x=3,

18.如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,AD平分NB4C交BC于點(diǎn)D,在線段AO上任

取一點(diǎn)P(點(diǎn)A除外)，過點(diǎn)P作EF〃AB,分別交AC,BC于點(diǎn)E和點(diǎn)尸，作PQ〃AC,

交

AB于點(diǎn)Q,連接QE.

(1)求證：四邊形AEPQ為菱形：

(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時，菱形AEPQ的面積為四邊形EFBQ面積的一半？

【分析】(1)先證出四邊形4EPQ為平行四邊形，關(guān)鍵是找一組鄰邊相等，由A。平分

NBAC和PE〃AQ可證得出AE=EP,即可得出結(jié)論；

(2)S菱形AEPQ=EP77,S平行四邊形EFBQ=EF;7,若菱形AEPQ的面積為四邊形EFB。面積

的一半，貝因此P為E尸中點(diǎn)時，S^iAEPQ=—SnmEFBQ.

22

【解答】(1)證明：：E/〃AB,PQ//AC,

：.四邊形AEPQ為平行四邊形，

：.NBAD=NE%

"：AB=AC,A。平分/CA8,

：.ZCAD=ZBAD,

：.ZCAD=ZEPA,

：.EA=EP,

四邊形AEPQ為菱形.

(2)解：P為E尸中點(diǎn)，即AP=2A。時，S^AEPQ=—SmiMiE：FHQ

?.?四邊形4EPQ為菱形,

：.ADVEQ,

"：AB=AC,AO平分/8AC,

J.ADLBC,

：.EQ//BC,

又,：EF〃AB,

四邊形EFBQ為平行四邊形.

作ENLAB于N,如圖所示：

貝ljS^AEPQ=EP'EN=—EF-