安徽省皖西南聯(lián)盟2021屆高三上學(xué)期期末考試 理科數(shù)學(xué)試題

2020年高三期末考試數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時(shí)間120分鐘．2．請(qǐng)將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容:高考全部?jī)?nèi)容．第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（） A． B． C． D．2．設(shè)集合，，則（） A． B． C． D．3．“太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦”最先出自《易經(jīng)》，太極是可以無(wú)限二分的，“分陰分陽(yáng)，迭用柔剛”，經(jīng)過(guò)三次二分形成八卦，六次二分形成六十四卦．設(shè)經(jīng)過(guò)n次二分形成卦，則（） A．120 B．122 C．124 D．1284．的展開(kāi)式中的第三項(xiàng)為（） A． B． C． D．5．已知向量，滿足，，且，則（） A． B．2 C． D．6．若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)的乘積等于離心率，則C的離心率為（） A． B． C． D．7．已知一個(gè)扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，半徑為2．若，則（） A． B．7 C． D．8．在正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①A，E，F(xiàn)，四點(diǎn)共面；②平面平面；③平面；④與平面ABCD所成角為．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（） A．1 B．2 C．3 D．49．設(shè)x，y滿足約束條件，且的最大值為1，則的最小值為（） A．64 B．81 C．100 D．12110．已知點(diǎn)在拋物線上，若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，點(diǎn)F是C的焦點(diǎn)，則（） A．521 B．1033 C．524 D．103511．設(shè)函數(shù)，，的零點(diǎn)分別為a，b，c，則（） A． B． C． D．12．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，恒成立，則不等式組的解集是（） A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．假設(shè)某地5月每天出現(xiàn)下雨天氣的概率為，且5月1日至5月6日這6天出現(xiàn)下雨天氣的天數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為1.2，則__________．14．若公差為2的等差數(shù)列的前兩項(xiàng)和為0，則該數(shù)列的前n項(xiàng)和__________．15．已知是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．若直線與的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，直線與的圖象在內(nèi)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，且，則a的取值范圍是__________．16．在正方體中，，E，F(xiàn)分別為棱AB，的中點(diǎn)，則該正方體被平面CEF所截得的截面面積為_(kāi)_________，四面體BCEF外接球的表面積為_(kāi)_________．（本題第一空2分，第二空3分）三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題；共60分．17．（12分）a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．已知，且．（1）若，求的面積；（2）若，證明：為直角三角形．18．（12分）某企業(yè)投資兩個(gè)新型項(xiàng)目，投資新型項(xiàng)目A的投資額m（單位：十萬(wàn)元）與純利潤(rùn)n（單位：萬(wàn)元）的關(guān)系式為，投資新型項(xiàng)目B的投資額x（單位：十萬(wàn)元）與純利潤(rùn)y（單位：萬(wàn)元）的散點(diǎn)圖如圖所示．（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）根據(jù)（1）中的回歸方程，若A，B兩個(gè)項(xiàng)目都投資60萬(wàn)元，試預(yù)測(cè)哪個(gè)項(xiàng)目的收益更好．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．19．（12分）如圖，在中，，，，，，沿DE將點(diǎn)A折至處，使得，點(diǎn)M為的中點(diǎn)．（1）證明：平面CMD；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知橢圓的離心率為，且焦距為8．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線l的傾斜角為，且與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求面積的最大值．21．（12分）已知函數(shù)．（1）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為l，求l的斜率的最小值；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），且曲線C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求C的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P是曲線C上一動(dòng)點(diǎn)，與極軸交于點(diǎn)A，求的取值范圍．23．[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的最小值為4，且，證明：．2020年高三期末考試數(shù)學(xué)試題參考答案（理科）1．D 2．D 因?yàn)?，，所以?．A 依題意可得是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，則．4．B 的展開(kāi)式中的第三項(xiàng)．5．B 因?yàn)?，所以，則，所以，故．6．C C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意可得，解得，則．7．A 因?yàn)?，所以，又，所以?．B 如圖，因?yàn)锳F與異面，所以A，E，F(xiàn)，四點(diǎn)不共面，故①錯(cuò)誤．易證平面，因?yàn)槠矫鍭CE，所以平面平面，故②正確．因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，所以平面，故③正確．因?yàn)榕c平面ABCD所成角為，且，故④錯(cuò)誤．9．D 作出約束條件表示的可行域（圖略），因?yàn)椋?，所以?dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為121．10．B 易知F的坐標(biāo)為，則．依題意可知，則，所以．11．A 設(shè)函數(shù)，，，，則a是與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，b是與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，c是與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．在同一坐標(biāo)系中，作出，，，的圖象，如圖所示．由圖可知．12．C 設(shè)，則，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，則．不等式組等價(jià)于，即，則，解得．13．0.2 依題意可得，則，解得．14．因?yàn)椋?，則．15．依題意可作出在上的圖象，如圖所示．因?yàn)?，所以由圖可知，解得．16．；因?yàn)槠矫鍯EF與平面的交線為，所以截面為四邊形，而四邊形為等腰梯形，且，，故其面積為．設(shè)線段CE的中點(diǎn)為G，四面體BCEF外接球的球心為O，則平面BCE．設(shè)球O的半徑為R，則．因?yàn)椋?，從而，故球O的表面積為．17．（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，又，則．因?yàn)椋?，故的面積．（2）證明：因?yàn)?，所以，解得（?fù)根舍去）所以，則C為直角，故為直角三角形．18．解：（1），，，則，故y關(guān)于x的線性回歸方程為．（2）若A項(xiàng)目投資60萬(wàn)元，則該企業(yè)所得純利潤(rùn)的估計(jì)值為萬(wàn)元；若B項(xiàng)目投資60萬(wàn)元，則該企業(yè)所得純利潤(rùn)的估計(jì)值為萬(wàn)元．因?yàn)?，所以可預(yù)測(cè)B項(xiàng)目的收益更好．19．（1）證明：由，，且，可得平面，因此．由，，得，因此，，由勾股定理可得．又因?yàn)辄c(diǎn)M為的中點(diǎn)，所以．而，故平面CMD．（2）解：因?yàn)?，，所以平面，又，所以平面．如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，易知是平面CMB的一個(gè)法向量．設(shè)平面CME的法向量為，則，即，令，得．，易知二面角為銳角，故二面角的余弦值為．20．解：（1）依題意可知，解得，故C的方程為．（2）依題意可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，整理得，則，解得．設(shè)，，則，，，原點(diǎn)到直線的距離，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，的面積有最大值，且最大值為．21．解：（1），則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以，即l的斜率的最小值為．（2）由題知，在上恒成立，令，則，因?yàn)椋裕O(shè)，易知在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以存在，使得，即．?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增．所以，從而，故a的取值范圍為．22．解：（1）由，得，即，因?yàn)榍€C經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以，又，所以．故C的極坐標(biāo)方程為，即（或）．（2）因?yàn)閘的極坐標(biāo)方程為，即