中考數(shù)學專題訓練-相似三角形的判定和性質(zhì)

中考專題訓練——相似三角形的判定和性質(zhì)

1.如圖，E是菱形N8C。對角線/C上一點，四邊形8GFE是矩形.點凡G分別在OC,

BC上.

(1)求證：NCFG=NABE.

(2)若BE=4,tan/ABE萼，求之〃的長.

2.如圖，在團488中，8c于點E,點尸在8c的延長線上，且CF=8E,連接ZC,

DF.

(1)求證：四邊形NEED是矩形；

s

(2)若N/CD=90°,AE=4,CF=2,求△AEQ.

2ACFD

3.如圖，已知正方形ABCD的邊長為a,正方形CEFG的邊長為h(b<a),點E在CD

邊上，點G在5c延長線上，點，為8C上的點，連接。F,DH.

(1)當。，_L。尸時，求證：△DEFsXHCD.

(2)若點”為8C的中點，在(1)的條件下，求出。與6滿足的關系式.

4.已知：如圖，在四邊形N8CD中，AD//BC,點E、F分別在邊42、AD±,DE與CF

相交于點G.CD1=CG'CF,ZAED=ZCFD.

(1)求證：AB=CD；

(2)延長工。至點"，聯(lián)結CAT,當CF=CA/時，求證：EA*AB=AD'MD.

5.北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，該圖被譽為

“中國數(shù)學界的圖騰”，它是由四個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方

形.

如圖為“弦圖”的一部分，在正方形中，DEVAF,BF±AF.

(1)求證：EF=DE-BF-,

(2)連接8E,若BF2=EF,DE,求證：Z1=Z2.

6.如圖，已知：△/8C和△4OE都是等邊三角形，其中點。在邊8c上，點尸是邊上

一點，且8尸=CD

(1)求證：DE//CF-,

(2)聯(lián)結。尸，設/。、CF的交點為M,如果。求證：DF//AC.

7.如圖，ZX/BC中，AB=AC.

(1)尺規(guī)作圖：作N8的垂直平分線DE,分別交/8、ZC于點E和點。.(保留作圖

痕跡，不寫作法)；

(2)連接8。，若BD=BC=2,求/C的長.

(3)在(2)的條件下，cosC=

8.如圖，在矩形中，AB=4,10.直角尺的直角頂點P在/。上滑動時(點尸

與。不重合)，一直角邊經(jīng)過點C,另一直角邊與48交于點E.

(1)求證：RtZUEPsRt/^opc；

9.如圖，在矩形Z88中，點￡是邊8上任意一點(點E與點C、。不重合)，過點/

作交邊C8的延長線于點尸，聯(lián)結E/交邊于點G,連接ZC.

(1)求證：△AEFsADAC；

(2)如果FE平分尸8,聯(lián)結CG,求證：四邊形/GCE為菱形.

10.已知：如圖，四邊形/8CO中，NBAD=NBCD=90°,￡為對角線8。的中點，點尸

在邊ZO上，CF交BD于點、G,CF//AE,CF=^BD.

2

(1)求證：四邊形ZECF為菱形；

(2)如果NDCG=NDEC,求證：AE2=AD'DC.

A

11.如圖，在矩形/BCD中，AB=3,BC=5,8￡■平分N48C交/。于點E.連接CE,點

F是BE上一動點,過點、F作FG〃CE交BC于點G.將48尸G繞點8旋轉(zhuǎn)得到48尸GI

(1)連接CG,EF,求證：△BEFs^BCG；

(2)當點G，恰好落在直線NE上時，若BF=3,求EG，的值.

備用圖

12.如圖，正方形/8C。，E、/分別是邊8c的中點，AF與DE,分別交于點",

N.

(1)求證：AF=DE,AFVDE.

(2)求4W：MN：府的值.

A

E

B

13.問題背景

如圖1,在△ABC中，點。，E分別在NC,4B上,2NEDB+NBDC=180°,/DEB=

90°,求證：AE=BE.

變式遷移

如圖2,在四邊形DE8C中，2NEDB+NBDC=180°,/DEB=90°,DF//EB,DF,分

別交CE,BC于點G,F,求證：DG=FG.

拓展應用

如圖3,在四邊形。EC8中，2NDBE+NEBC=180°，ZEDB=ZDCB,也」，且〃

DCn

(1)如圖①正三角形48C,邊長為4,D、E是邊4B、ZC的中點，P在8c邊上，則4

PDE的面積為；

問題解決

(2)如圖②，某小區(qū)有一塊五邊形空地N88E,CDLDE,AE//CD,CB=CD=40m,

ZE=10米，NABC=NBCD=120°,物業(yè)想在這塊空地中劃出一塊區(qū)域來種植

草皮，其他區(qū)域種植花卉.已知種植花卉每平方米200元，種植草皮每平方米100

元.要求四，N,P分別位于N8,ED,CD邊上,旦MN//CD,要使種植費用的造價最

低，種植草皮的△仞VP的面積應該滿足什么條件？并求出費用的最小值.

15.如圖，在正方形中，點E在8c邊上，連接/E,在8c延長線上作連

接ZF交8于點G,設CE：EBG(A>0).

(1)若4B=2,A=l,求線段C廠的長.

(2)連接EG,若G點為CD的中點，①求證：EGLAF.②求人的值.

16.如圖，已知△/8C,點。，E分別在BC,CA±,且滿足EB=EC.

(1)用直尺和圓規(guī)確定點D,E；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)連接Z。，EB,AD與EB交于點、F.

①求證：△BDFs^CBA；

②若/A4c=90°,N8=3,NC=4,則Z)F的長為.

17.如圖，△/8C是等腰直角三角形，AB=AC,點、D,E,產(chǎn)分別在48,BC,ZC邊上,

DE±DF,NDEF=45°,。尸的延長線與8c的延長線相交于點G.

(1)求證：△BDESMEF；

(2)若力。=1,AF=2,求EC的長；

(3)若tan/BDE】,求器的值?

NILD

18.如圖，在正方形/BCD中，點E是邊/。上的一點(不與力、O重合)，點F在邊。C

延長線上，CF=AE,連接8￡、BF、EF,EF交BC于點、M,交對角線8。于N.

(1)求證：NBEF=45°；

(2)若BE平分/ABD,求證：BE?=MAB，BM；

(3)若DE：￡4=3：2,則EN：NM：MF=(直接寫答案).

19.如圖1,在四邊形Z8C。中，NABC=/BCD,過點Z作ZE〃OC交8c邊于點E,過

點、E作EF〃4B交CD邊于點、F,連接力9，過點C作CH〃/尸交4E于點“，連接8”.

(1)求證：AABFW4EAF；

(2)如圖2,若2〃的延長線經(jīng)過《尸的中點"，求些的值.

EC

20.如圖1,在矩形/8CZ)中，AB=5,AD=S,點E在邊8上，tanZBAE=2,點尸是

線改ZE上一點，連接CF.

(1)連接請用尺規(guī)作圖法作尸G,48,垂足為G點(保留作圖痕跡，不要求寫出

作法).若tanN/8尸=匹，求線段/尸的長.

3

(2)如圖2,若CF=LC,/E的延長線與8c的延長線交于點”，求△CE尸的面積.

參考答案與試題解析

1.如圖，E是菱形/8CO對角線/C上一點，四邊形8G也是矩形.點、F,G分別在。C,

8c上.

(1)求證：NCFG=NABE.

(2)若BE=4,tan/ABE屈，求尸朋1的長.

4

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質(zhì)可得48〃CD,從而可得NC/8=NOC4根據(jù)矩形的性質(zhì)

可得BE〃FG,從而可得/BEM=NFME,然后利用三角形的外角可得NA4E+

ZABE,ZFME=ZACD+ZCFG,即可解答：

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得E8=FG=4,NEFG=NFGB=90°,EF//BG,再利用(1)

的結論在RtZ\FGC中，利用銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理求出CG,C尸的長，根據(jù)菱

形的性質(zhì)可得4D〃8C,AD=DC,從而可得力。〃跖，NDAC=NDCA,進而可得/

FEC=/DCA,然后利用等角對等邊可得FE=R=5,最后證明8字模型相似三角形△

EFMsRCGM,利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答.

【解答】(1)證明：??,四邊形力BC。是菱形，

J.AB//CD,

：.ZCAB=ZDCAf

;四邊形8GFE是矩形，

:.BE〃FG,

：.NBEM=/FME,

*.*/BEM=NBAE+/ABE,NFME=/ACD+NCFG,

；.NCFG=/ABE；

(2)解：:四邊形8GFE是矩形，

:?EB=FG=4,/EFG=/FGB=9Q0,EF//BG,

：.ZFGC=180°-ZFGB=90Q,

,tan/NCFG=N4BE,

4

tan/C『G=§,

4

.?.CG=FG,tanNC尸G=4X3=3,

4

?'?FC=VFG2+CG2=V42+32=5，

?；四邊形/BCD是菱形，

J.AD//BC,AD=DC,

J.AD//EF,

:.NDAC=NFEC,

?；AD=DC,

：.ZDAC=ZDCA,

:./FEC=ZDCA,

：.FE=FC=5,

VZ￡FG=ZFGC=90°,ZEMF=ZCMG,

:*XEFMs[\CGM?

.EF=FM

**CGGM"

.5_FM

,?京4-FM'

2

.?.F/W的長為

2

2.如圖，在四48co中，4ELBC于點E,點尸在8c的延長線上，KCF=BE,連接NC,

DF.

(1)求證：四邊形ZERO是矩形；

s

(2)若NZCD=90。，AE=4,CF=2,求.△舞G.

^△CFD

【分析】(1)先證明四邊形/EED是平行四邊形，再證明/月￡尸=90°即可;

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可.

【解答】(1)證明：:CF=3E,

：.CF+EC=BE+EC.

即EF=BC.

在團48CD中，ZD〃8c且/O=8C,

：.AD//EFB.AD=EF.

四邊形ZEFD是平行四邊形.

"：AELBC,

：.ZAEF=90°.

四邊形NEED是矩形；

(2)解：；四邊形是矩形，

:.NAEC=NDFC=90°,AE=DF=4,

：.ZEAC+ZECA^90Q,

VZACD=90°,

AZECA+ZDCF=90°,

/.NEAC=NDCF,

：./\AECsACFD,

.AE=CF=21

??而DF1而，

：.EC=2AE=8,

e4-XAEXEC-^X4X8

解法一：.?.區(qū)區(qū)=《--------------=：---------=4.

SACFDyXCFXDFyX2X4

Saaec2

解法二：=(膽)2=(-4)=4.

S/kCFDCF2

3.如圖，已知正方形N8CD的邊長為a,正方形CEFG的邊長為Z>(b<a),點E在CZ)

邊上，點G在8c延長線上，點〃為8C上的點，連接DF,DH.

(I)當。，_L。尸時;求證：△DEFsXHCD.

(2)若點，為8C的中點，在(1)的條件下，求出a與b滿足的關系式.

【分析】（1）證明NEZ力再結合90°角可以證明△￡>￡/

（2）根據(jù)（1）中的相似得到對應邊成比例，可以得到關于。和/）的等式即可得解.

【解答】（1）證明：?.?四邊形MCD,CEFG都是正方形，

:.NHCD=90°,ZCEF=ZDEF=90°,

:./DEF=NHCD=90°,

:"HDC+NDHC=90°,

又，：DHIDF,

：.NHDF=90°,

：.NHDC+NEDF=90°,

:./EDF=/DHC,

：.ADEFsAHCD.

（2）解：I?點，為5c的中點，

：.HC=^a,

2

"：CD=a,CE=EF=b,：.DE=a-b,

由（1）可知ADEFsAHCD,

.DEEF

??—9

HCCD

.a-bb

?-r-v

2a

a而b，

即。與6滿足的關系式為

2

4.已知：如圖，在四邊形月8c。中，AD//BC,點、E、尸分別在邊48、AD±,DE與CF

相交于點G.CD1=CG'CF,ZAED=ZCFD.

(1)求證：AB=CD；

(2)延長工。至點A/,聯(lián)結CA/,當CF=CM時，求證：EA*AB=AD-MD.

【分析】(1)根據(jù)已知可得型=受，從而可得△CDGS^CFD,然后利用相似三角形

CGCD

的性質(zhì)可得NC￡>G=N仃D,從而可得NCDG=N4ED,進而可得AB//CD,最后證明

四邊形N8CD是平行四邊形，從而利用平行四邊形的性質(zhì)即可解答；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得從而可得然后利用平行

線的性質(zhì)可得=從而可證進而利用相似三角形的性質(zhì)即

可解答.

【解答】證明：(1),:B=CG-CF,

.CD=CF

'*CGCD)

NDCG=NDCF,

：./\CDG^/\CFD,

：.ZCDG^ZCFD,

,：NAED=NCFD,

:.NCDG=NAED,

：.AB//CD,

■:AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=CD；

(2)如圖：

"：CF=CM,

：.ZCFD=ZM,

"：NAED=NCFD,

：.ZAED=ZM,

'：AB//CD,

：.AA=ACDM,

：.△AEDSXDMC,

?_^_=AD

"DMDC,

：.AE'DC^AD'DM,

,:AB=DC,

：.EA?AB=AD,MD.

5.北京召開的國際數(shù)學家大會會標取材于我國古代數(shù)學家趙爽的“弦圖”，該圖被譽為

“中國數(shù)學界的圖騰”，它是由四個直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方

形.

如圖為“弦圖”的一部分，在正方形/8CO中，DELAF,BFA.AF.

(1)求證：EF=DE-BF-,

(2)連接8E,若BF?=EF,DE,求證：Z1=Z2.

【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)可得ZBAD=90Q,從而可得NA4F+ND4E

=90°,根據(jù)垂直定義可得,從而可得/A4尸+乙48尸=90°,然后

利用同角的余角相等可得從而可證。進而可得。E=

AF,AE=BF,即可解答；

(2)利用(1)的結論可得。E=/RNBAF=NADE=N2,從而可得此=更，進而

EFBF

可得△在8Es△見兒然后利用相似三角形的性質(zhì)可得/1=/氏4尸，即可解答.

【解答】證明：(1)?.?四邊形/8C。是正方形，

：.AB=AD,ZBAD=90°,

：.NBAF+NDAE=90°,

'：DEYAF,BFLAF,

；.NAED=/F=90°,

:./BAF+NABF=90°,

:.NDAE=NABF,

：./\ABF^/\DAE(AAS),

：.DE=AF,AE=BF,

'：EF=AF-AE,

：.EF=DE-BF；

(2);A4BF@ADAE,

：.DE=AF,NBAF=NADE=Z2,

"：BF1=EF'DE,

.BF=DE

**EF麗，

.BF=AF

,?麗BF)

NF=ZF,

：./\FBE^/\FAB,

Z1=ZBAF,

.\Z1=Z2.

6.如圖，已知：△48C和△/OE都是等邊三角形，其中點。在邊8c上，點尸是48邊上

一點，且BF=CD

(1)求證：DE//CF；

(2)聯(lián)結。尸，設b的交點為M,如果。/2=尸加?尸C,求證：DF//AC.

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)證明△ZC￡）@Z\C8凡得出/。。=/8。尺由等邊

三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)得出N8QE=NC4。，進而得出N8DE=N8CF,即

可證明。E〃CF；

（2）先證明△DEW"△CFD,得出NFDW=NPC￡>,由/C/￡>=N8CF,得出NF0M

=NCAD,即可證明。尸〃ZC.

【解答】證明：（1）如圖1,

A

圖1

?：/\ABC是等邊三角形，

:.AC=BC,/ACB=NB=60°,

在和△CB尸中，

'AC=CB

<ZACD=ZB>

CD=BF

:AACD會/\CBF(SAS),

:./CAD=4BCF,

''/\ADE是等邊三角形，

；.NADE=NACB=60°,

ZADE+ZBDE=NACB+NCAD,

ZBDE^ZCAD,

：.NBDE=NBCF,

.'.DE//CF；

(2)如圖2,

圖2

'：DF1=FM'FC,

?.?DF,=FC,

FMDF

*：ZDFM=/CFD,

???ADFMs叢CFD,

：.ZFDM=NFCD,

■:/CAD=/BCF,

ZFDM=ACAD,

J.DF//AC.

7.如圖，△NBC中，AB=AC.

（1）尺規(guī)作圖：作的垂直平分線OE,分別交/8、NC于點E和點D（保留作圖

痕跡，不寫作法）；

（2）連接BD,若BD=BC=2,求ZC的長.

（3）在（2）的條件下，cosC=返」.

一4一

【分析】（1）根據(jù)要求作出圖形即可；

（2）求出證明//=36°,再利用相似三角形的性質(zhì)證明即可;

（3）過點B作BHLCD于點H.求出CH,可得結論.

【解答】解：（1）如圖，直線?！昙礊樗螅?/p>

??,點。在48的垂直平分線上，

:.DA=DB,

，NA=NDBA,

■:BD=BC,

:?/BDC=/C,

,/ZBDC=ZA+ZDBA=2ZA,

AZC=2ZJ,

*：AB=AC,

??.NABC=/C=2/A,

???//+//8C+NC=180°,

???5N4=180°,

AZA=36°,

：?/CBD=/ABD=NA=36°,

VZC=ZC,

:.叢CBDs^CAB,

:.CB?=CD?CA,

A22=CZ)*(CD+2),

???CO=?-1(負值已經(jīng)舍去)，

:?AC=CD+AD=a+1；

(3)過點、B作BHLCD于點H.

■:BC=BD,BHLCD,

:.CH=DH="二1,

2

.?.胡C=^=扈

BC4

故答案為：近二1.

4

8.如圖，在矩形中，AB=4,AD=10.直角尺的直角頂點P在力。上滑動時(點尸

與人。不重合)，一直角邊經(jīng)過點C,另一直角邊與N8交于點￡

(1)求證：RtA/4EP^RtA￡)PC；

(2)當NCPD=30°時，求NE的長.

AD

【分析】(1)利用“一線三直角”模型，即可證明RtZ\NEPsRt△。尸c；

(2)由矩形的性質(zhì)結合已知條件得出8=/3=4,利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)

得出PC=8,利用勾股定理求出的長度，進而求出ZP的長度，再利用相似三角形的

性質(zhì)即可求出/￡的長.

【解答】(1)證明：；四邊形/8CD是矩形，

AZD=Z/4=9O°,

:.NPCD+NDPC=90°,

'：ZCPE=90°,

：.ZER4+ZDPC^90°,

ZPCD=ZEPA,

.?.RtZUEPsRgopc；

(2)解：?.,四邊形/BCD是矩形，AB=4,

：.CD=AB=4,

在RtZ\PCD中，NCPD=30°,CD=4,

：.PC=S,

APD=7PC2-CD2=4V3>

??.AP=AD-PD=10-4V3.

VRtA/lEP^RtAOPC,

.PDCD0n4734

AEAPAEIO-4V3

?,.AE=10V3-12.

9.如圖，在矩形/8CO中，點E是邊C￡>上任意一點(點E與點C、。不重合)，過點/

作交邊C8的延長線于點F,聯(lián)結ER交邊N8于點G,連接4C.

(I)求證：△4EFS/\DAC；

(2)如果在平分ZZ尸8,聯(lián)結CG,求證：四邊形/GCE為菱形.

「

FBC

【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB//CD,AB=DC,ZBCD=ZDAB=ZABC=ZD

=90°,根據(jù)垂直定義可得/E4E=90°,從而可得NB4F=ND4E,進而可得△ZB尸

s^ADE,然后利用相似三角形的性質(zhì)可得匹?=迪，再利用兩邊成比例且夾角相等的

ADAE

兩個三角形相似證明，即可解答；

（2）根據(jù)角平分線的定義可得從而證明△4FE名△CFE,進而可得/F

=CF,AE=EC,然后再證△/人?絲△CFG,從而可得/應G=NFCG,再結合（1）的

結論可得ND4E=NR2G,最后利用等角的余角相等可得NCCG=N/E。，從而可得

AE//CG,進而利用菱形的判定方法即可解答.

【解答】證明：（1）；四邊形/BC。是矩形，

：.AB//CD,AB=DC,NBCD=NDAB=NABC=ND=90°,

二//8尸=180°-NN8C=90°,

'：AEVAF,

：.ZFAE=90°,

ZFAE-NBAE=ZDAB-ZBAE,

：.NBAF=ZDAE,

,:ND=NABF=90°,

/\ABF^^\ADE,

.AB=AF

*'ADAE,

.DC=AF

**ADAE'

"：ZD=ZFAE=90a,

△4EFS4D4C；

（2）如圖：

平分N4F8,

NAFE=ZCFE,

?；NE4E=NBCD=90°,EF=EF,

.?.△AFE空/\CFE（AAS）,

：.AF=CF,AE=EC,

,:FG=FG,

:.XAFGqMCFG（SAS）,

：.ZE4G=ZFCG,

,/NBAF=NDAE,

/.ZDAE=ZFCG,

?；NDAE+N4ED=90°,NBCG+NDCG=90°,

ZDCG=ZAED,

J.AE//CG,

?:AB"CD,

四邊形AGCE是平行四邊形,

:AE=EC,

二四邊形ZGCE為菱形.

10.已知：如圖，四邊形488中，NBAD=NBCD=90°,E為對角線8。的中點，點尸

在邊/。上，CF交BD于點、G,CF//AE,CF=、BD.

2

(1)求證：四邊形NECF為菱形；

(2)如果NDCG=NDEC,求證：AE2^AD'DC.

A

【分析】(1)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線可得CE=1BD,再結合已

22

知CF——BD,從而可得AE=CF,進而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據(jù)

2

AE=CE,即可解答；

(2)利用(1)的結論可得ZE=CF=DE,AD//CE,從而可得乙4DE=NDEC,進而可

得N4DE=NDCG,再利用平行線的性質(zhì)可得NC尸。，然后證明△ZOEs4

FCD,利用相似三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】證明：(1)'：ZBAD=90Q,E為5。的中點，

：.AE=DE=—BD,

2

；CF=LBD,

2

:.AE=CF=DE,

'JCF//AE,

，四邊形AECF是平行四邊形，

VZBCD=90°,E為的中點，

:.CE=LBD,

2

：.AE=CE,

四邊形AECF為菱形；

(2)?.?四邊形/EC/為菱形，

：.AD//CE,

：.NADE=NDEC,

,：4DCG=/DEC,

：.N4DE=/DCG,

'JAE//CF,

：.NEAD=NCFD,

：.AADESMCD,

.AD=DE

**CFCD>

：.CF'DE=AD-CD,

,:AE=CF=DE,

：.AE2=AD-DC.

11.如圖，在矩形/8C￡>中，AB=3,BC=5,BE平分NABC交4D于點、E.連接CE,點

F是BE上一動點、,過點尸作尸G〃CE交8c于點G.將△8FG繞點8旋轉(zhuǎn)得到459Gl

(1)連接CG,EF,求證：△BEF's/XBCG；

(2)當點G”恰好落在直線/E上時，若8尸=3,求EG的值.

備用圖

至一=兇二，從而證明了結論;

【分析】(1)可證得NFBE=NCBG'

BEBC

（2）先求得8G的長，進而求得8G',然后解直角三角形/8G'求得結果.

【解答】（1）證明：：尸6〃?！?

/\BFGs/\BEC,

.BF=BG

**BEBC'

?BFy_BG7

BEBC

:NF'BG'=NEBC,

：.ZFBG'+AEBG'=ZEBC+ZEBG',

即/F'BE=NCBG,

：./\BEF's/\BCG'；

.?./D=/Z=N/8C=90°,

■:BE平分/ABC,

ZABE=^-ZABC=45Q,

2

ZAEB=90a-ZABE=45°,

NAEB=NABE,

.\AE=AB=3,

:.BE=3?

由（1）知：型=幽，

BEBC

.3_BG

■,37T~T,

2

:.BG'=BG=^^~,

2

在Rl^ZBG'中，由勾股定理得,

AG，=VBGy2-AB2=^(^-)2-32=^-'

：.EG'=AE-AG'=36-V14,

22

EG”6->V14

-2~，

綜上所述：EG'=6±后.

2

12.如圖，正方形4BCD,E、尸分別是邊力氏8c的中點，4F與DE,分別交于點M,

N.

(1)求證：AF=DE,AFLDE.

(2)求4環(huán)MN：液的值.

【分析】（I）根據(jù)S/S證明△/￡>￡■絲/XB/斤，即可得AF=DE,NADE=NBAF,故N

ADE+NAED=NBAF+NAED=90°,AF1DE；

(2)設正方形ABCD的邊長為2x,則AE=BF=x,由勾股定理和面積法可得AM^

AE?AD=WLx,證明AMiDsANFB,可得NF=LF=^X,即可得到答案.

DE533

【解答】(1)證明：?.?正方形

：.AB=DA,/ABC=NBAD=9Q°,

:E、F為邊AB、8c的中點，

：.BF=AE,

在A4DE與△BqF中,

，AD=AB

<ZEAD=ZFBA-

AE=BF

AAADE^ABAF(SAS),

：.AF=DE,AADE=ZBAF,

:.NADE+N4ED=NBAF+N4ED=90°,

AZAME=9Q0,

J.AFLDE-,

(2)解：設正方形/BCD的邊長為2x,則工后二^/二刀，

在VA/\ADE中，DE=rAD2+AE2=

由（1）知DE=4F,

?*?AF=，

2s3DE=4E*AD=DE*AM,

.^=A^AD=2V5.X）

DE5

■:AD//BC,

:./ADN=NNBF,NNAD=NNFB,

：./\NADS2NFB,

?.A?N_AD,_O乙,

FNBF

:,AN=2FN,

...NF=工/尸=返X,

33

，MN=AF-AM-NF=^^-,

15

：.AMtMN：NF=M^-X：-^-X：匹X=6：4：5.

5153

13.問題背景

如圖1,在△4BC中，點。，E分別在NC,4B上,2NEDB+NBDC=180°,NDEB=

90°,求證：AE=BE.

變式遷移

如圖2,在四邊形。E8C中，2NEDB+NBDC=18Q°,NDEB=9Q°,DF//EB,DF分

別交CE,8c于點G,F,求證：DG=FG.

拓展應用

如圖3,在四邊形。EC8中，2NDBE+NEBC=180°,NEDB=NDCB,9」，且〃

DCn

>1,直接寫出現(xiàn)的值.

BE

D

【分析】問題背景：由2NEZ)8+N8￡)C=180°,N4D8+/8Z)C=180°,得出

=NEDB,由ND￡8=90°,得出/￡>胡=NC￡8=90°,即可得出△￡>￡■?畛/XOEB,

進而證明AE—BEi

變式遷移：延長CT),BE交于點、M,則ME=8￡,由DF〃BE,得出△CDGs/XCNE,

△CFGs^CBE,進而得出段里，即可證明。G=FG；

MEBE

拓展應用：在C8的延長線上截取8P=8E,連接。P,由''問題背景"可知：NDBP=

ZDBE,進而得出△D8E出△Z58P,得出NEDB=NPDB,由NEDB=NDCB,得出N

PDB=NDCB,繼而證明△DP8sZ\CP。，得出坦=況=里=工，設BP=1,則

DCPDPCn

=n,得出尸C=〃2,求出8C=〃2-],繼而得出些_=〃2-i.

BE

【解答】問題背景：證明：如圖1,

V2Z￡DS+Z5DC=180°,ZADB+ZBDC=]S00,

二ZADB=2ZEDB,

：.NADE+NEDB=2ZEDB,

，NADE=NEDB,

VZDEB=90°,

AZDEA=ZDEB=90Q,

在ADEA和△DE2中，

"ZADE=ZBDE

<DE=DE，

ZDEA=ZDEB

:ADEA沿/XDEB(ASA),

：.AE=BE；

變式遷移：證明：如圖2,延長8,BE交于點、M,則

圖2

'：DF//BE,

:.乙CDG=4M,ZCGD^ZCEM,NCGF=NCEB,NCFG=/CBE,

:.XCDGsMCME,△CFG^ACSf,

.DGCGGF_CG

''HE'CE'BE"CE'

.DG_FG

"HE"BE"

,:ME=BE,

：.DG=FG；

拓展應用：解：如圖3,在C8的延長線上截取2P=8E,連接。尸，

圖3

由“問題背景"可知：NDBP=NDBE,

在△O8E和△/)8P中，

'BE=BP

<ZDBE=ZDBP-

BD=BD

:.叢DBE94DBP(SAS),

NEDB=/PDB,

NEDB=NDCB,

4PDB=/DCB,

'：NP=NP,

：.△DPBsfPD,

.DB=BP=PD

*'DCPDPC)

.?.DB=—1，

DCn

.DB=BP=PD=1

"DCPDPC'n)

設8P=1,則PD=〃，

?.?-1---n-，

nPC

.\PC=n2,

：.BC=PC-BP=n1-1,

2

.BCBCn-l?2.

BEBP1

14.問題提出

(1)如圖①正三角形48C,邊長為4,D、E是邊4B、4C的中點，尸在8c邊上，則4

PDE的面積為，百

問題解決

(2)如圖②，某小區(qū)有一塊五邊形空地48CDE：,CDLDE,AE//CD,C8=CD=40/w,

4E=10米，NABC=/BCD=120°,物業(yè)想在這塊空地中劃出一塊△MVP區(qū)域來種植

草皮，其他區(qū)域種植花卉.已知種植花卉每平方米200元，種植草皮每平方米100

元.要求“，N,P分別位于”，ED,CD邊上,旦MN//CD、要使種植費用的造價最

低，種植草皮的△腦VP的面積應該滿足什么條件？并求出費用的最小值.

E

圖①圖②

【分析】(1)過點/作加/，8。于“，根據(jù)三角函數(shù)求出4”,由中位線定理得出DE的

長度，再根據(jù)三角形面積公式求出面積即可；

(2)延長交。C延長線于點G,要使種植費用最低，則種植草皮的面積最大，即4

MNP面積最大，作于點F,設0〃=加，用加的代數(shù)式表示出的面積，

利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

【解答】解：(1)過點/作AHLBC于H,

是等邊三角形，D、E是邊4B、ZC的中點，

J.DE//BC,DE=LBC=2,

2

?.1"=tan=4百，

XPDE的高為」,

2

/.△&)￡的面積為微■XZXZ料=2F，

故答案為：

(2))延長N8交。C延長線于點G,

要使種植費用最低，則種植草皮的面積最大，即AMN尸面積最大,

作A/尸_LZ)C于點F,

.../G8C=N8CG=60°,

...△G8C為等邊三角形，

即GC=BC=40m,GD=GC+CD=SOm,

作〃F_LC￡）于F,設GF=x,

則A//=GQtan60°=Mx,

,JMN//CD,MFLCD,NDLCD,

四邊形MNZJF是矩形，

：.MN=FD=GD-GF=80-m,

:.S&MNP=^X（80-W7）X愿…率（m-40）2+80073.

：-亞＜0,

2

當加=40時，叢MNP的面積最大為800百，

作Z0_LMV于°,則MQ=A/N-NQ=MN-NE=80-40-10=30,

.*.N0=MQ?tan6O°=30^,

止匕時花卉種植面積為SJW/EOG-SABCG-SAMVP=*（10+80）X（30V3+40V3）--j-X

40X2073-800V3=1950V3.

.,.總費用為800Mxi00+1950百乂200=470000我（元），

即要使種植費用的造價最低，種植草皮的△MNP的面積最大，費用的最小值為470000

M元.

15.如圖，在正方形Z8CD中，點￡在8c邊上，連接4E;在BC延長線上作連

接ZE交C。于點G,設CE：EBG(人＞0).

(1)若4B=2,入=1,求線段CF的長.

(2)連接EG,若G點為8的中點，①求證：EGLAF.②求人的值.

【分析】(1)根據(jù)/8=2,入=1,可以得到8E、CE的長，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)，可

以得到4E的長，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，可以得到E尸的長，從而可以

得到線段CF的長；

(2)①要證明點G為C。邊的中點，只要證明△/OG絲△FGC即可，然后根據(jù)題目中

的條件，可以得到△NOG四△FGC的條件，從而可以證明結論成立；

②根據(jù)題意和三角形相似，可以得到CE和E8的比值，從而可以得到人的值.

【解答】解：(1)???在正方形/8CO中，

:.NDAG=NF,

又..1G平分ND4E,

NDAG=/EAG,

：.NEAG=NF,

：.EA=EF,

*8=2,NB=90°，點E為5c的中點,

:.BE=EC=1,

：.AE=yjAB2+BE2=V5>

：.EF=yf5>

：.CF=EF-EC=4S-1；

(2)①證明：點G為CO的中點，

：.DG=CG,

在△NOG和△FCG中

2D=NGCF

<NAGD=NFGC，

DG=CG

.?.△/QG絲△FCG(AAS),

：.AG=FG,

"：AE=EF,

：.EGLAF；

②設CD=2a,則CG=a,

由①知，CF=D4=2a,

'：EG±AF,ZGCF=90°,

：.NEGC+NCGF=90°,NF+NCGF=90°，ZECG=ZGCF=90°,

??./EGC=/F,

：.AEGCSAGFC,

.EC=GC

??而而'

VGC=a,FC=2a,

?.?—G-C_-~1,

FC2

.EC-1

??，

GC2

.?.EC=L,BE=BC-EC=2a-

222

1

EBJ.3

2a

16.如圖，已知△4BC,點Q,E分別在SC,CA±,且滿足4D=/8,EB=EC.

(1)用直尺和圓規(guī)確定點。，E；(保留作圖痕跡，不寫作法)

(2)連接4D,EB,AD與EB交于點F.

①求證：△BDFs^CBA；

②若NB/C=90°,AB=3,AC=4,則。尸的長為皂.

一25一

【分析】(1)以/點為圓心18長為半徑畫弧交8c于點。，作8c的垂直平分線交4c

于E即可；

(2)①根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出兩組對應角相等即可證明三角形相似；

②過點4作4HLBD于點H,根據(jù)勾股定理求出8c的長度，劉勇三角函數(shù)求出8”,根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BD,再根據(jù)相似三角形對應邊成比例求出DF即可.

【解答】解:(1)作圖如下:

/ABD=NADB,

'：EB=EC,

：.NEBD=NC,

.?.△BDFs/\CBA；

②過點A作AH±BD于點H,

VZBAC=9Q°,AB=3,AC=4,

:,BC=^/AB2+AC2=V32+42=5)

?.?cos48〃=地理，

ABBC

?.?BH_-3,

35

:.BH=^,

5

9

\AB=ADf

:.BD=2BH=退,

5

由①知

???B—D——BC11■,

DFAB

18

即工工

DF3

解得。尸="，

25

故答案為：54

25

17.如圖，△/8C是等腰直角三角形，AB=AC,點、D,E,尸分別在ZB,BC,ZC邊上,

DE±DF,ZDEF=45°,的延長線與8c的延長線相交于點G.

(1)求證：ABDEsA