專題2.6 對數(shù)及對數(shù)函數(shù)（解析版）

玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學交流群（721144129）旨在打造課外輔導專用講義，更多資料關(guān)注公眾號玩轉(zhuǎn)高中數(shù)學研討對數(shù)及對數(shù)函數(shù)【套路秘籍】一．對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義①一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次冪等于N，即ab＝N，那么稱b是以a為底N的對數(shù)，記作b＝logaN，其中，a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．②底數(shù)的對數(shù)是1，即logaa＝1,1的對數(shù)是0，即loga1＝0.(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0且a≠1)logaN常用對數(shù)底數(shù)為10lgN自然對數(shù)底數(shù)為elnN4.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)①＝N(a>0且a≠1，N>0)；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(2)對數(shù)的重要公式①換底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1，N>0)；②logab＝eq\f(1,logba)(a，b均大于零且不等于1)．(3)對數(shù)的運算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.二．對數(shù)函數(shù)的定義1.形如y＝logax(a>0，a≠1)的函數(shù)叫作對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞)．2．對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R過點(1,0)，即當x＝1時，y＝0在(0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)在(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對稱．【套路修煉】考向一對數(shù)的運算【例1】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝.（2）若3a=5b=225，則1a+1b（4）若loga2=m，loga【答案】（1）1（2）12【解析】（1）lg22·lg250＋lg25·lg40＝lg22·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lg\f(1000,4)))＋(1－lg2)2·(2lg2＋1)＝lg22·(3－2lg2)＋(lg22－2lg2＋1)·(2lg2＋1)＝1.（2）∵3a（3）∵loga2=m，loga5=n，【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】對數(shù)運算的一般思路(1)拆：首先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形，化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后利用對數(shù)運算性質(zhì)化簡合并．(2)合：將對數(shù)式化為同底數(shù)的和、差、倍數(shù)運算，然后逆用對數(shù)的運算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運算．【舉一反三】1．已知a＝log32，那么log38－2log36用a表示為．【答案】a－2【解析】log38－2log36＝log323－2(log32＋log33)＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.2．若3x＝4y＝36，則eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝.【答案】1【解析】3x＝4y＝36，兩邊取以6為底的對數(shù)，得xlog63＝y(tǒng)log64＝2，∴eq\f(2,x)＝log63，eq\f(2,y)＝log64，即eq\f(1,y)＝log62，故eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝log63＋log62＝1.3．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝.【答案】eq\r(10)【解析】由已知，得a＝log2m，b＝log5m，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2.解得m＝eq\r(10).4．計算：eq\f(1－log632＋log62·log618,log64)＝.【答案】1【解析】原式＝eq\f(1－2log63＋log632＋log6\f(6,3)·log66×3,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64)＝eq\f(21－log63,2log62)＝eq\f(log66－log63,log62)＝eq\f(log62,log62)＝1.5.已知均不為1的正數(shù)a，b，c滿足ax＝by＝cz，且eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，求abc的值．【答案】1【解析】令ax＝by＝cz＝k.由已知k>0且k≠1，于是xlga＝y(tǒng)lgb＝zlgc＝lgk，故eq\f(1,x)＝eq\f(lga,lgk)，eq\f(1,y)＝eq\f(lgb,lgk)，eq\f(1,z)＝eq\f(lgc,lgk).因為eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋eq\f(1,z)＝0，所以eq\f(lga＋lgb＋lgc,lgk)＝0，即eq\f(lgabc,lgk)＝0.故lg(abc)＝0，得abc＝1.6.設(shè)logaC，logbC是方程x2－3x＋1＝0的兩根，求的值．【答案】±eq\f(\r(5),5).【解析】由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logaC＋logbC＝3，,logaC·logbC＝1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,logCa)＋\f(1,logCb)＝3，,\f(1,logCa·logCb)＝1，))于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(logCa＋logCb＝3，,logCa·logCb＝1，))(logCa－logCb)2＝(logCa＋logCb)2－4logCa·logCb＝32－4＝5，故logCa－logCb＝±eq\r(5).于是＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(logC\f(a,b)))－1＝eq\f(1,logCa－logCb)＝±eq\f(\r(5),5).7.方程eq\f(3,3x)－eq\f(5,6)＝3x－1的實數(shù)解為．【答案】x＝log32【解析】原方程可化為2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32.考向二對數(shù)函數(shù)的判斷【例2】函數(shù)f(x)=(a2+a-5)A．3B．-3C．-log3【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)為對數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)f(x)系數(shù)為1，即a2+a-5=1，即a=2或因為對數(shù)函數(shù)底數(shù)大于0，所以a=2，f(x)=log2x【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】對數(shù)函數(shù)的判斷：對數(shù)函數(shù)的系數(shù)等于一、真數(shù)大于0、底數(shù)大于0且不等于1。【舉一反三】1．下列函數(shù)是對數(shù)函數(shù)的是()A．y=log3(x+1)B．yC．y=lnxD．y=【答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)定義可以，本題選C。2．下列函數(shù)，是對數(shù)函數(shù)的是A．y=lg10xB．y=log3x2C．y=lnxD．y=log13【答案】C【解析】由對數(shù)函數(shù)的定義，形如y=logax（a>0，a≠1）的函數(shù)是對數(shù)函數(shù)，由此得到：y=lg10x=x，y=log3x2=2log3．在M=log（x–3）（x+1）中，要使式子有意義，x的取值范圍為A．（–∞，3]B．（3，4）∪（4，+∞）C．（4，+∞）D．（3，4）【答案】B【解析】由函數(shù)的解析式可得x+1>0x-3>0考向三對數(shù)的單調(diào)性【例3】（1）函數(shù)f(x)=lg(6x-（2）若函數(shù)f(x)＝log2(x2－ax－3a)在區(qū)間(－∞，－2]上是減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】（1）[3,6)（2）[－4,4)【解析】（1）由題可得6x-x2>0，即0<x<6，所以函數(shù)f(x)的定義域為(0,6)，又函數(shù)y=6x-x（2）由題意得x2－ax－3a>0在區(qū)間(－∞，－2]上恒成立且函數(shù)y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上單調(diào)遞減，則eq\f(a,2)≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得實數(shù)a的取值范圍是[－4,4)．【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】復合函數(shù)的單調(diào)性以及單調(diào)區(qū)間的求法．復合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意先確定函數(shù)的定義域，二要利用復合函數(shù)與內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行判斷，判斷的依據(jù)是“同增異減”【舉一反三】1．已知f(x)=x2-4ax+3,x<1logax+2a,x≥1滿足對任意A．(0,12] B．[12,1)【答案】C【解析】f（x）=x2-4ax+3,x<1loga所以分段函數(shù)是減函數(shù)，所以：0<a<12a≥14-4a≥2a，解得2．函數(shù)y=ln（4-x）+1n（2+x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．(-2,1) B．(1,4) C．【答案】A【解析】要使函數(shù)有意義，則4-x>02+x>0得x<4y=ln（4-x）+1n（2+x）=ln（4-x）（2+x）=ln（-x2+2x+8）設(shè)t=-x2+2x+8，則y=lnt為關(guān)于t的增函數(shù)，要求函數(shù)y=ln（-x2+2x+8）的單調(diào)遞增區(qū)間，等價為求t=-x2+2x+8的單調(diào)遞增區(qū)間，∵當-2＜x＜1時，函數(shù)t=-x2+2x+8為增函數(shù)，即函數(shù)t=-x2+2x+8的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，1），即函數(shù)y=ln（4-x）+1n（2+x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-2，1），故選：A．3．已知f(x)=log12(x【答案】[-1,【解析】令g(x)=x2-ax-a．∵f(x)=∴g(x)應(yīng)在(-∞,-12)上為減函數(shù)且g(x)>0因此a2≥-12g-12≥0考向四比較大小【例4】(1)設(shè)a＝log412，b＝log515，c＝log618，則a，b，c的大小關(guān)系為________．(用“>”連接)【答案】（1）a>b>c（2）a<b<c【解析】（1）a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63，∵log43>log53>log63，∴a>b>c.【套路總結(jié)】【套路總結(jié)】比較大小問題是每年高考的高頻考點，基本思路是：(1)比較指數(shù)式和對數(shù)式的大小，可以利用函數(shù)的單調(diào)性，引入中間量；有時也可用數(shù)形結(jié)合的方法．(2)解題時要根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性進行比較，如果指數(shù)相同，而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù)，若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，若引入中間量，一般選0或1.【舉一反三】1.設(shè)a＝log3π，b＝log2eq\r(3)，c＝log3eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．【答案】a>b>c【解析】因為a＝log3π>log33＝1，b＝log2eq\r(3)<log22＝1，所以a>b，又eq\f(b,c)＝eq\f(\f(1,2)log23,\f(1,2)log32)＝(log23)2>1，c>0，所以b>c，故a>b>c.2.已知a＝log23＋log2eq\r(3)，b＝log29－log2eq\r(3)，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系是________．【答案】a＝b>c【解析】因為a＝log23＋log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝eq\f(3,2)log23>1，b＝log29－log2eq\r(3)＝log23eq\r(3)＝a，c＝log32<log33＝1，所以a＝b>c.3.已知函數(shù)y＝f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝|log2x|，若a＝f(－3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))，c＝f(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．【答案】b>a>c【解析】易知y＝f(x)是偶函數(shù)．當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝|log2x|，且當x∈[1，＋∞)時，f(x)＝log2x單調(diào)遞增，又a＝f(－3)＝f(3)，b＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝f(4)，所以b>a>c.4.設(shè)a＝log32，b＝log52，c＝log23，則a，b，c的大小關(guān)系是________．(用“>”連接)【答案】c>a>b【解析】a＝log32<log33＝1，b＝log52<log55＝1.又c＝log23>log22＝1，所以c最大．由1<log23<log25，得eq\f(1,log23)>eq\f(1,log25)，即a>b，所以c>a>b.考向五對數(shù)函數(shù)圖像【例5】(1)如圖是對數(shù)函數(shù)y＝logax的底數(shù)a的值分別取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)時所對應(yīng)的圖象，則相應(yīng)的C1，C2，C3，C4的a的值依次是________．(2)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝ln(x＋1)，則函數(shù)f(x)的大致圖象為()(3)當0<x≤eq\f(1,2)時，4x<logax，則a的取值范圍是________．【答案】（1）eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)（2）C（3）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))【解析】（1）略（2）先作出當x≥0時，f(x)＝ln(x＋1)的圖象，顯然圖象經(jīng)過點(0,0)，再作此圖象關(guān)于y軸對稱的圖象可得函數(shù)f(x)在R上的大致圖象，如選項C中圖象所示．（3）由題意得，當0<a<1時，要使得4x<logaxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x≤\f(1,2)))，即當0<x≤eq\f(1,2)時，函數(shù)y＝4x的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的下方．又當x＝eq\f(1,2)時，即函數(shù)y＝4x的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)).把點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))代入y＝logax，得a＝eq\f(\r(2),2).若0<x≤eq\f(1,2)時，函數(shù)y＝4x的圖象在函數(shù)y＝logax圖象的下方，則需eq\f(\r(2),2)<a<1(如圖所示)．當a>1時，不符合題意，舍去．所以實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).【舉一反三】1。函數(shù)y＝2log4(1－x)的圖象大致是()【答案】C【解析】函數(shù)y＝2log4(1－x)的定義域為(－∞，1)，排除A，B；又函數(shù)y＝2log4(1－x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除D.故選C.2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是________．【答案】(10,12)【解析】作出函數(shù)f(x)的大致圖象如下．由圖象知，要使f(a)＝f(b)＝f(c)，不妨設(shè)0<a<b<c，則－lga＝lgb＝－eq\f(1,2)c＋6.∴l(xiāng)ga＋lgb＝0，∴ab＝1，∴abc＝c.由圖知10<c<12，∴abc∈(10,12)．3.若函數(shù)y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域為{y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象大致是()【答案】B【解析】由于y＝a|x|的值域為{y|y≥1}，∴a>1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對稱．因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項B.故選B.考向六定義域與值域【例6】．已知函數(shù)f（x）＝log2x的定義域是[2，16]．設(shè)g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函數(shù)g（x）的解析式及定義域；（2）求函數(shù)g（x）的最值．【答案】（1）gx=log22x【解析】（1）由題意可得則gx=log22x-log（2）令t＝log2x，則t∈[1，3]，函數(shù)gx轉(zhuǎn)化為h（t）＝﹣t2+t+1，t由二次函數(shù)性質(zhì)，得h（t）在[1，3]遞減所以h（t）的值域為[h（3），h（1）]，即[﹣5，1]，所以當x＝8時，t=3，g（x）有最小值﹣5，當x＝2時，t=1，g（x）有最大值1．【舉一反三】1.函數(shù)y=log1【答案】【解析】x2-6x+17=x-32+8>0恒成立，設(shè)t=x由復合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)y=log12x2-6x+172．函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x+a)【答案】[0,1]【解析】若函數(shù)f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域為R，故函數(shù)y＝ax當a＝0時符合條件；當a＞0時，應(yīng)有△＝4﹣4a2≥0，解得-1≤a≤1，故0<a≤1，綜上知實數(shù)a的取值范圍是[0,13.已知函數(shù)f(x)=loga(x+2)，g(x)=loga（1）求函數(shù)f(x)+g(x)的定義域；（2）若函數(shù)f(x)+g(x)的最大值是2，求a的值；（3）求使f(x)-g(x)>0成立的x的取值范圍.【答案】（1）(-2,4)（2）t∈(0,9]（3）a>1時滿足題意的x的取值范圍是(1,4)【解析】（1）要使f(x)+g(x)的表達式有意義，則有：x+2>0∴函數(shù)f(x)+g(x)的定義域是(-（2）令h(x)=f(x)+g(x)，則h(x)=loga設(shè)t=-x2+2x+8，則t∈(即y=logat，t∈(0,9]的最大值是2.∴a>1且（3）由f(x)-g(x)>0即logⅠ：若a>1，則x+2>4-x>0,∴1<x<4Ⅱ：若0<a<1，則有：0<x+2<4-x,∴-2<x<1∴a>1時滿足題意的x的取值范圍是(1,4)0<a<1時滿足題意的x的取值范圍是考向七反函數(shù)【例7】已知函數(shù)f（x）=2x的反函數(shù)為y=g（x），則g（12A．-1 B．1 C．12 D．2【答案】A【解析】∵由y=f(x)=2x，得x=log則g1【舉一反三】1．已知函數(shù)f(x)=1+2lgx，則A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】根據(jù)題意：f1=1+2lg1=1若f故f1+2．已知f(x)=x+1【答案】-1【解析】f(x)=x+12x，由y=x+12x,得∴f-10=3．f(x)=x2+2x（x≥0【答案】x+1-1（x≥0【解析】設(shè)fx=y=x2+2x因為x≥0，所以x=-1+因為x≥0，所以y≥0，所以反函數(shù)f-1(x)=x+1故答案為：x+1-1，【套路運用】1．若a=log2【答案】a<b<c【解析】因為a=log222．a(chǎn)=40.9，b=log2【答案】a>c>b【解析】a=40.9=2又a=293．已知a=5log23.4，b=【答案】a>b>c【解析】a=5log23.4，∵log23.4>log若函數(shù)y=loga(x2-ax+1)【答案】0<a<2且a≠1【解析】由題意可得：要使f（x）的定義域為R，則對任意的實數(shù)x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有a>0a≠1△=a2-4<0解得0＜a5．函數(shù)f(x)=lg(2kx2-kx+【答案】[【解析】由題意，函數(shù)f(所以關(guān)于x的不等式2kk=0時，不等式為3k≠0時，應(yīng)滿足△=k2綜上，實數(shù)k的取值范圍是[0,3)．故答案為：6．函數(shù)fx【答案】-∞，0【解析】ln∵1+2x-1>0且1+2本題正確結(jié)果：-∞,07．定義在-2a+3,a上的偶函數(shù)fx，當x∈0,a時，fx【答案】1,2【解析】由題意，函數(shù)fx是定義在-2a+3,a上的偶函數(shù)，所以-2a+3+a=0，即a=3當x∈0,3時，2x+3∈3,9，所以又由fx是定義在-3,3上的偶函數(shù)，所以函數(shù)fx的圖象關(guān)于y軸對稱，所以f8．函數(shù)fx【答案】1【解析】令2x=t，t>0，則4x-29．函數(shù)y=log【答案】[2,+∞)【解析】∵x2+2x+5＝（x+1）2+4，∴x2+2x+5＝（x+1）2+4≥4，則y＝log2（x2+2x+5）≥log24＝2，即y≥2，∴函數(shù)的值域為[2，+∞）．故答案為：[2，+∞）.10．函數(shù)y=log【答案】(0,1]【解析】由題意可知函數(shù)定義域為：2x-x2將y=log22x-x可知x∈0,1時，t單調(diào)遞增；又y=可得y=log22x-x11．f(x)=log2(4x)【答案】9【解析】f(x)=log2=-12log2x2+當t=-12時，ymax12．函數(shù)y=1g（1-x）+-x2【答案】[-【解析】要使原函數(shù)有意義，則：1-x>0-x2+x+2≥0,解得-1≤x＜1；∴原函數(shù)的定義域是[-1，1）．

13.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1x＋4－2a，x<1，,1＋log2x，x≥1，))若f(x)的值域為R，則實數(shù)【答案】(1,2]【解析】當x≥1時，f(x)＝1＋log2x≥1，當x<1時，f(x)＝(a－1)x＋4－2a，要滿足f(x)的值域為R，需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1>0，,a－1＋4－2a≥1，))解得a∈(1,2]．14．已知函數(shù)f(x)＝loga(2x－a)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上恒有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))【解析】當0<a<1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上是減函數(shù)，所以logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－a))>0，即0<eq\f(4,3)－a<1，解得eq\f(1,3)<a<eq\f(4,3)，故eq\f(1,3)<a<1；當a>1時，函數(shù)f(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(2,3)))上是增函數(shù)，所以loga(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此時無解．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).15．若函數(shù)f(x)＝loga(x2－x＋2)在區(qū)間[0,2]上的最大值為2，則a＝________.【答案】2【解析】令u(x)＝x2－x＋2，則u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝eq\f(7,4).當a>1時，y＝logau是增函數(shù)，f(x)max＝loga4＝2，得a＝2；當0<a<1時，y＝logau是減函數(shù)，f(x)max＝logaeq\f(7,4)＝2，得a＝eq\f(\r(7),2)(舍去)．故a＝2.16．計算：（1）lg25+2（2）求值：log3（3）eln2（4）3lg（5）0.027（6）lg（7）2log（8）lg【答案】（1）6（2）154（3）5（4）12（5）0.09；（6）3.（7）-3；（8）【解析】（1）原式=lg（2）log3427（3）根據(jù)指數(shù)和對數(shù)的運算公式得到：原式=2+2+lg（4）由題意，根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的運算性質(zhì)，可得3lg（5）原式=0.09+5（6）原式=2=2+lg（7）2log（9）lg=2+17．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(x－1,x＋1).(1)計算：f(2020)＋f(－2020)；(2)對于x∈[2,6]，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）0（2）(9，＋∞)．【解析】(1)由eq\f(x－1,x＋1)>0，得x>1或x<－1.∴函數(shù)的定義域為{x|x>1或x<－1}．又f(x)＋f(－x)＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)·\f(1＋x,1－x)))＝0，∴f(x)為奇函數(shù)．故f(2020)＋f(－2020)＝0.(2)當x∈[2,6]時，f(x)<lgeq\f(m,x＋17－x)恒成立可化為eq\f(x－1,1＋x)<eq\f(m,x＋17－x)恒成立．即m>(x－1)(7－x)在[2,6]上恒成立．又當x∈[2,6]時，(x－1)(7－x)＝－x2＋8x－7＝－(x－4)2＋9.∴當x＝4時，[(x－1)(7－x)]max＝9，∴m>9.即實數(shù)m的取值范圍是(9，＋∞)．18.已知函數(shù)f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.(1)當x∈[1,4]時，求函數(shù)h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域；(2)如果對任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）[0,2]（2）(－∞，－3)．【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2，因為x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]．故函數(shù)h(x)的值域為[0,2]．(2)由f(x2)·f(eq\r(x))>k·g(x)得(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x.令t＝log2x，因為x∈[1,4]，所以t∈[0,2]，所以(3－4t)(3－t)>k·t對一切t∈[0,2]恒成立．①當t＝0時，k∈R；②當t∈(0,2]時，k<eq\f(3－4t3－t,t)恒成立，即k<4t＋eq\f(9,t)－15恒成立，因為4t＋eq\f(9,t)≥12，當且僅當4t＝eq\f(9,t)，即t＝eq\f(3,2)時取等號，所以4t＋eq\f(9,t)－15的最小值為－3，即k∈(－∞，－3)．19．已知函數(shù)f(x)=loga(2+x)-loga(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)求滿足f(x)≤0的實數(shù)x的取值范圍．【答案】（1）(-2,2【解析】（1）由題意可得，2-x>02+x>0，解可得，-2<x<2，∴函數(shù)f(x)的定義域為(-(2)由f(x)=loga(2+x)-①a>1時，0<2+x≤2-x，解可得，-2<x≤0，②0<a<1時，0<2-x≤2+x，解可得，0≤x<2．20．已知函數(shù)f(x)=loga(x（I）若函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)，求函數(shù)h(x)的定義域；（II）求不等式f(x)-g(x)>0的解集.【答案】（I）(2,+∞)（II）見解析【解析】（I）由x2-4>0得x<-2或x>2，由2x-1>0得x>1所以函數(shù)h(x)的定義域為(2,+∞)（II）由f(x)-g(x)>0得f(x)>g(x)，當0<a<1時，有x2-4<2x-1得x由（I）知x>2，所以2<x<3，當a>1時，有x2-4>2x-1得x由（I）知x>2，所以x>3，綜上，解集為（2，3）∪（3，+∞21．已知函數(shù)f(x)=log（1）若函數(shù)gx=log（2）若關(guān)于x的方程f(x)=x+m,x∈[0,1]有實根，求實數(shù)【答案】（1）gx為非奇非偶函數(shù)；值域為-∞,0；（2）【解析】（1）由2x-1>0得f因此定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)gx有題意知：g當x∈0,+∞時，所以log21-22（2）方程有實根，即m=fx構(gòu)造函數(shù)h則h因為函數(shù)y=2-x+1在R上單調(diào)遞減，而y=所以復合函數(shù)hx=log所以hx在0,1上最小值為h1即hx∈log22．已知函數(shù)f(x)=loga(9-3x（1）若函數(shù)f(x)的反函數(shù)是其本身，求a的值；（2）當a=14時，求函數(shù)【答案】（1）a=3；（2）-3【解析】（1）由題意知函數(shù)f（x）的反函數(shù)是其本身，所以f（x）的反函數(shù)ay＝9﹣3x，x＝log3反函數(shù)為y＝log3（9-a（2）當a=14時，f（x）＝log14(9-3則y＝f（x）+f（﹣x）＝﹣log23．已知函數(shù)f(x)=loga(1-x)+（1）求函數(shù)f(x)的定義域；（2）若函數(shù)f(x)有最小值而無最大值，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間。【答案】（1）(-3,1【解析】（1）要使函數(shù)有意義，則1-x＞0x+3＞0，得x＜1即函數(shù)的定義域為（﹣3，1），（2）f（x）＝loga（1﹣x）+loga（x+3）＝loga（1﹣x）（x+3）＝loga（﹣x2﹣2x+3）＝loga（﹣（x+1）2+4），設(shè)t＝﹣（x+1）2+4，當﹣3＜x＜1時，0＜t≤4，若函數(shù)f（x）有最小值而無最大值，則函數(shù)ylogat為減函數(shù)，則0＜a＜1，要求f（x）的單調(diào)增區(qū)間，則等價于求t＝﹣（x+1）2+4，在﹣3＜x＜1時的減區(qū)間，∵t＝﹣（x+1）2+4的單調(diào)遞減區(qū)間為[﹣1，1），∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[﹣1，1）．24．已知函數(shù)f(x)=log（1）當a=10時，求f(x)的值域和單調(diào)減區(qū)間；（2）若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍．【答案】（1）-∞,lg16;[5,9【解析】（1）當a=10時，f(x)=log設(shè)t=-x由-x2+10x-9>0，得x2-10x+9<0此時t=-(x-5)2+16∈(0,16]要求f(x)的單調(diào)減區(qū)間，等價為求t=-(x-5)∵t=-(x-5)2+16的單調(diào)遞減區(qū)間為[5,9)（2）若f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間，當a>1，函數(shù)t=-x2+ax-9存在單調(diào)遞增區(qū)間即可，則判別式Δ=a2當0<a<1，則函數(shù)t=-x2+ax-9存在單調(diào)遞減區(qū)間即可，則判別式Δ=a2-36>0得a>6或a<-6，此時25．已知函數(shù)f(x)=log2a-x(1)若f(-23)=1(2)在(1)的條件下，關(guān)于x的方程f(x)=log2(x-t)【答案】（1）2；（2）(-∞,2)【解析】1函數(shù)fx=log2a-xa+x，若f-2由1知，fx=log22-x2+x，定義域為等價于?x∈-2,2，使2-x2+x=x-t成立；即?x∈設(shè)gx=x-2-x2+x，x∈-2,2設(shè)x+2=m，則m∈0,4，∴函數(shù)gm=m-∴gm∈-∞,2，從而可得t∈-∞,2，即實數(shù)26．已知函數(shù)f(x)=(a（1）若函數(shù)g(x)=loga(x+1)+（2）在（1）的條件下，若x∈[13,2]，不等式g(x)-m+3≤0【答案】（1）見解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由題意可知a2-2a-2=1a>0且a≠1，解得a=3因為g(x)=loga(x+1)+loga(3-x)，所以故g(x)的定義域為x|-1<x<3．由于g(x)=log令u(x)=-x則由對稱軸x=1可知，u(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增，在因為y=log3u所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）因為不等式g(x)-m+3≤0的解集非空，所以m-3≥g(x)由（1）知，當x∈[13,2]時，函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[因為g(13)=所以m-3≥1，即m≥4，故實數(shù)m的取值范圍為[4,+∞)．27．對數(shù)函數(shù)g（x）=1ogax（a＞0，a≠1）和指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0，a≠1）互為反函數(shù)．已知函數(shù)f（x）=3x，其反函數(shù)為y=g（x）．（Ⅰ）若函數(shù)g（kx2+2x+1）的定義域為R，求實數(shù)k的取值范圍；（Ⅱ）若0＜x1＜x2且|g（x1）|=|g（x2）|，求4x1+x2的最小值；（Ⅲ）定義在I上的函數(shù)F（x），如果滿足：對任意x∈I，總存在常數(shù)M＞0，都有-M≤F（x）≤M成立，則稱函數(shù)F（x）是I上的有界函數(shù)，其中M為函數(shù)F（x）的上界．若函數(shù)h（x）=1-mf【答案】（Ⅰ）k＞1；（Ⅱ）4；（Ⅲ）見解析【解析】（Ⅰ）由題意得g（x）=log3x，因為g（kx2+2x+1）=log3（kx2+2x+1）的定義域為R，所以kx2+2x+1＞0恒成立，當k=0時不滿足條件，當k≠0時，若不等式恒成立，則△=4-4k<0k（Ⅱ）由|g（x1）|=|g（x2）|，得|log3x1|=|log3x2|，因為0＜x1＜x2，所以