專題4.3 立體幾何的動態(tài)問題（解析版）

玩轉(zhuǎn)壓軸題，突破140分之高三數(shù)學選填題高端精品專題4.3立體幾何的動態(tài)問題專題4.3立體幾何的動態(tài)問題一．方法綜述立體幾何的動態(tài)問題是高考的熱點，問題中的“不確定性”與“動感性”元素往往成為學生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性.一般立體動態(tài)問題形成的原因有動點變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動點軌跡、角度與距離的計算、面積與體積的計算、探索性問題以及有關幾何量的最值求解等.動態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊含著某些不變的因素，因此要認真分析其變化特點，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口.求解動態(tài)范圍的選擇、填空題，有時應把這類動態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍.對于探究存在問題或動態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時，可以引進參數(shù)，把動態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題.具體地，可通過構建方程、函數(shù)或不等式等進行定量計算，以算促證.二．解題策略類型一立體幾何中動態(tài)問題中的角度問題例1.（2016·四川高考）如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點M在線段上，E、F分別為、的中點，設異面直線與所成的角為，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：根據(jù)已知條件，，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標系，設，則：，，；在線段上，設，；；；設，；函數(shù)是一次函數(shù)，且為減函數(shù)，；在恒成立，；在上單調(diào)遞減；時，取到最大值．故選：．解法二：，當時取等號.所以，當時，取得最大值.【指點迷津】空間的角的問題，一種方法，代數(shù)法，只要便于建立空間直角坐標系均可建立空間直角坐標系，然后利用公式求解；另一種方法，幾何法，幾何問題要結合圖形分析何時取得最大（小）值.當點M在P處時，EM與AF所成角為直角，此時余弦值為0（最?。擬點向左移動時，EM與AF所成角逐漸變小時，點M到達點Q時，角最小，余弦值最大.【舉一反三】1．（2020·黑龍江牡丹江一中高三（理））如圖，在正方體中，是中點，點在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設正方體棱長為1，．以為原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．則，，所以．在正方體中，可證平面，所以是平面的一個法向量．所以．所以當時，取得最大值，當或1時，取得最小值．所以.故選A．2．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側面內(nèi)的動點，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．【答案】B【解析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標系，設正方體中棱長為1，設0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，設平面的法向量y，，則，取，得，平面，，解得，，，設直線與直線AB所成角為，1，，，，，．直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．3.（2020·浙江臺州中學高三）如圖，已知正方體的上底面中心為，點為上的動點，為的三等分點（靠近點），為的中點，分別記二面角，，的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：建立空間直角坐標系，對動點O選取一個特殊位置，然后求出三個側面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值求得三個二面角的余弦值，比較后可得二面角的大小．詳解：建立如圖所示的空間直角坐標系．考慮點與點A重合時的情況．設正方體的棱長為1，則．設平面的一個法向量為，由，得，令，得．同理可得平面和平面的法向量分別為．結合圖形可得：，，∴，又，∴．故選D．類型二立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題【例2】（2020·山西高三）設點M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點，點P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點P到點C1的最短距離是（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖，過點作的平行線交于點、交于點，連接，則是平面與平面的交線，是平面與平面的交線．與平行，交于點，過點作垂直于點，則有，與平面垂直，所以，與垂直，即角是平面與平面的夾角的平面角，且，與平行交于點，過點作垂直于點，同上有：，且有，又因為，故，而，故，而四邊形一定是平行四邊形，故它還是菱形，即點一定是的中點，點到點的最短距離是點到直線的距離，以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，，，，，，點到點的最短距離：．故選：．【指點迷津】求兩點間的距離或其最值.一種方法，可建立坐標系，設點的坐標，用兩點間距離公式寫出距離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點，尋找那兩點間的距離最大（?。?，求其值.【舉一反三】1．（2020·四川高三（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動點，則到平面的距離的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】是棱長為1的正方體上具有公共頂點的三條棱,以為原點,分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,三棱錐外接球就是正方體的外接球，由正方體及球的幾何性質(zhì)可得點與重合時，點到平面的距離最大，求出平面的法向量，由點到直線的距離公式即可得結果.【詳解】三棱錐，滿足兩兩垂直，且，如圖是棱長為1的正方體上具有公共頂點的三條棱,以為原點,分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系,則，，設平面的法向量，則，取，得，三棱錐外接球就是棱長為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球上一動點，由正方體與球的幾何性質(zhì)可得，點點與重合時，點到平面的距離最大，點到平面的距離的最大值為.故選C.2.如圖，已知正方體棱長為4，點在棱上，且，在側面內(nèi)作邊長為1的正方形，是側面內(nèi)一動點，且點到平面距離等于線段的長，則當點運動時，的最小值是（）A．21B．22C．23D．25【答案】B【解析】在上取點，使得，則面，連結，則．在平面上，以所在直線為軸，以所在直線為軸，由題意可知，點軌跡為拋物線，其方程為，點坐標為，設，則（其中，當時，，故．3（2020廣西柳州市?？迹┤鐖D，在正方體ABCD-A1B1CA．當A1C=3AB．當P為A1C中點時，四棱錐P-AC．AP+PD1D．當A1P=33【答案】C【解析】對于A，連結AB1，B1則VA-A1B1設A1到平面AB1D1的距離為h∴h=13A1C.∴當A1C∵平面AB1D1∵D1P?平面AB1D1，又由以上分析可得，當A1P=33時，∴A1P⊥平面對于B，當P為A1C中點時，四棱錐設平面AA1D1D的中心為O所以(R-12)故四棱錐P-AA1D對于C，連結AC，D1C，則∴AP=D由等面積法得AP的最小值為AA∴AP+PD1的最小值為類型三立體幾何中動態(tài)問題中的面積、體積問題【例3】（2020·河南高三（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點，P是底面所在平面內(nèi)一動點，設，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】建系如圖，正方體的邊長為3，則，0，，，0，，設，，，，則，，，，，，，，0，，，即，代入數(shù)據(jù)，得：，整理得：，變形，得：，即動點的軌跡為圓的一部分，過點作，交于點，則為三棱錐的高點到直線的距離的最大值是2．則．，故選：．【指點迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐，其底面的面積為不變的幾何量，求點P到平面BCD的距離的最大值，選擇公式，可求最值.【舉一反三】1.（2020·四川高三期末）長方體中，，，，為該正方體側面內(nèi)（含邊界）的動點，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)得到，所以的軌跡是以為焦點的橢圓，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得到四棱錐的高的最值，即可得到體積的范圍.【詳解】如圖所示：在中，，在中，，因為，所以.因為，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓.如下圖所示：，，，橢圓的標準方程為：.聯(lián)立，解得：.所以，.當點運動到位置時，此時四棱錐的高最長，所以.當點運動到或位置時，此時四棱錐的高最短，所以.綜上所述：.2.在棱長為6的正方體中，是中點，點是面所在的平面內(nèi)的動點，且滿足，則三棱錐的體積最大值是（）A.36B.C.24D.【答案】B3．（2020·重慶市松樹橋中學校高三）如圖，在單位正方體中，點P在線段上運動，給出以下四個命題：異面直線與間的距離為定值；三棱錐的體積為定值；異面直線與直線所成的角為定值；二面角的大小為定值．其中真命題有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解析】對于①，異面直線與間的距離即為兩平行平面和平面間的距離，即為正方體的棱長，為定值．故①正確．對于②，由于，而為定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以點P到該平面的距離即為正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值．故②正確．對于③，由題意得在正方體中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故這兩條異面直線所成的角為．故③正確；對于④，因為二面角P?BC1?D的大小，即為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角的大小，而這兩個平面位置固定不變，故二面角的大小為定值．故④正確．綜上①②③④正確．選D．類型四立體幾何中動態(tài)問題中的軌跡問題【例4】（2020南充高考一模）如圖，直二面角，，，，且，，，，，，則點在平面內(nèi)的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.一條直線 D.兩條直線【答案】A【解析】以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，設點，，，，，則，，，，，，，，即，整理得：，故點的軌跡是圓的一部分，故選.【指點迷津】空間軌跡問題的求解策略：1.利用側面展開或展到一個平面上尋求軌跡；2.利用圓錐曲線定義求軌跡；3.這輾轉(zhuǎn)過程中動點的軌跡；4.利用函數(shù)觀點探求軌跡【舉一反三】1.如圖所示，在三棱臺中，點在上，且，點是內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面平面，則動點的軌跡是（）A．平面 B．直線 C．線段，但只含1個端點 D．圓【答案】C【解析】過D作DN∥A1C1，交B1C1于N，連結BN，∵在三棱臺A1B1C1﹣ABC中，點D在A1B1上，且AA1∥BD，AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D，∴平面BDN∥平面A1C，∵點M是△A1B1C1內(nèi)（含邊界）的一個動點，且有平面BDM∥平面A1C，∴M的軌跡是線段DN，且M與D不重合，∴動點M的軌跡是線段，但只含1個端點．故選：C．2、（2020貴陽高考模擬）在正方體中，已知點為平面中的一個動點，且點滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點的軌跡為（）A．直線B．橢圓C．圓D．拋物線【答案】D3、已知平面平面，，且.是正方形，在正方形內(nèi)部有一點，滿足與平面所成的角相等，則點的軌跡長度為()A.B.C.D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖1所示，則，，設，易知直線與平面所的角分別為，均為銳角，三．強化訓練一、選擇題1．（2020·內(nèi)蒙古高三期末）如圖，棱長為1的正方體中，是線段上的動點，則下列結論正確的是（）．①異面直線與所成的角為②③三棱錐的體積為定值④的最小值為2．A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④【答案】A【解析】【分析】①根據(jù)異面直線所成的角的定義即可判斷；②由線面垂直的性質(zhì)即可判斷；③先求得M到平面DCC1D1的距離再利用錐體體積公式求解；④將問題轉(zhuǎn)化為平面圖形中線段AD1的長度，利用余弦定理解三角形解得即可判斷.【詳解】①∵∥BC，∴異面直線與所成的角即為BC與所成的角，可得夾角為，故①正確；②連接，∵平面A1BCD1，平面A1BCD1，∴，故②正確；③∵∥平面DCC1D1，∴線段A1B上的點M到平面DCC1D1的距離都為1,又△DCC1的面積為定值,因此三棱錐M?DCC1的體積為定值,故③正確；④將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形,線段AD1即為AP+PD1的最小值，在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,利用余弦定理解三角形得，故④不正確.因此只有①②③正確.故選：A.2.（2020河南省焦作市高三）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（）A．12 B．1 C．32【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則C1（4，4，4），設E（0，0，z），z∈[0，4]，F(xiàn)（x，0，0），x∈[0，4]，則|AF|＝x．EC1＝（4，4，4﹣z），EF＝（x，0，﹣z）．因為C1E⊥EF，所以EC1?當z＝2時，x取得最大值為1．|AF|的最大值為1．故選：B．3．（2020·重慶巴蜀中學高三（理））棱長為2的正方體中，為的中點，在底面內(nèi)運動，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【解析】分析：先證明PD=2PC，再在底面ABCD內(nèi)建立如圖所示的直角坐標系，求出，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出|AP|的最小值.【詳解】設，所以，，所以PD=2PC.在底面ABCD內(nèi)建立如圖所示的直角坐標系，設點P(x,y),則，整理得，所以，即,所以|AP|的最小值為2.故選：A4.已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)分別是邊AA1，CC1上的中點，點M是BB1上的動點，過點E，M，F(xiàn)的平面與棱DD1交于點N，設BM＝x，平行四邊形EMFN的面積為S，設y＝S2，則y關于x的函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由對稱性易知四邊形MENF為菱形，∴SMENF∵EF=2，∴Sf(x)=2(x-12)25.（2020鄭州一中高三期末）在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=120°，AP=2,AB=2，M是線段BC上一動點，線段PM長度最小值為3，則三棱錐A．9π2 B．92π C．18π【答案】C【解析】如圖所示：三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AP=2M是線段BC上一動點，線段PM長度最小值為3，則：當AM⊥BC時，線段PM達到最小值，由于：PA⊥平面ABC，所以：PA2+A所以：BM=3，則：∠BAM=60°由于：∠BAC=120°，所以：∠MAC=60°則：△ABC為等腰三角形．所以：BC=23在△ABC中，設外接圓的直徑為2r=23sin120°所以：外接球的半徑R=22+(26．（2020九江高三一模）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=DD1=1，AB=3，E,F,G分別是棱A．32 B．1 C．34 【答案】C【解析】補全截面EFG為截面EFGHQR如圖，其中H、Q、R分別為C1D1、A1D1、∵直線D1P與平面EFG不存在公共點，∴D1P∥面ACD1，∴D1P?面ACD1，∴P∈AC，∴過P作AC的垂線，垂足為K，則BK=1×32=△PBB1的面積最小，∴三角形PBB1面積的最小值為127．（2020·浙江高三期末）在三棱錐中，，點為所在平面內(nèi)的動點，若與所成角為定值，，則動點的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】建立空間直角坐標系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.由題，三棱錐為正三棱錐，頂點在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標原點，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意可得，設為平面內(nèi)任一點，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動點的軌跡是橢圓.選B8．（2020·上海格致中學高三月考）在正方體中,若點(異于點)是棱上一點,則滿足與所成的角為的點的個數(shù)為（）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出所有滿足條件的點的個數(shù)．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設棱長，，0，，，1，．①在△中，，因此．同理，與所成的角都為．故當點位于（分別與上述棱平行或重合）棱，，上時，與所成的角都為，不滿足條件；②當點位于棱上時，設，，，，則，，，，1，．若滿足與所成的角為，則，化為，無正數(shù)解，舍去；同理，當點位于棱上時，也不符合條件；③當點位于棱上時，設，，，，則，，，，1，．若滿足與所成的角為，則，化為，，解得，滿足條件，此時點．④同理可求得棱上一點，棱上一點．而其它棱上沒有滿足條件的點．綜上可知：滿足條件的點有且只有3個．故選：9.（2020上海交通大學附屬中學高三）如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，D是棱BC上的動點，記PD與平面ABC所成的角為α，與直線BC所成的角為β，則α與β的大小關系為（）A．α>β B．α=βC．α<β D．不能確定【答案】C【解析】如圖所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角α=∠PDA,過點A作AE⊥BC，垂足為E，連接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cosα=ADPD，cosβ=ED∴cos∠EDA×cosα=cosβ<cosα,又α，β均為銳角，∴α<β10．（2020·湖南長郡中學高三（理））在三棱錐中，平面，，，，是邊上的一動點，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計算它的表面積．詳解：三棱錐設直線與平面所成角為，如圖所示；則由題意且的最大值是，∴，解得即的最小值為∴的最小值是，即點到的距離為，取的外接圓圓心為，作，解得；為的中點，由勾股定理得∴三棱錐的外接球的表面積是

故選B.二、填空題11．（2020·浙江高三期末）在正四面體中，點是棱的中點，點是線段上一動點，且，設異面直線與所成角為，當時，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】設P到平面ABC的射影為點O,取BC中點D,以O為原點，在平面ABC中，以過O作DB的平行線為x軸，以OD為y軸，以OP為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正四面體P?ABC的棱長為，則，由,得，∴，∵異面直線NM與AC所成角為α,，∴，設，則∴，∵，∴.∴cosα的取值范圍是.12．（2020·江蘇高三（理））如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構成），正方形是上底面正中間一個正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點是線段上的動點，點是線段上的動點，則線段長度的最小值為_______．【答案】【解析】以為坐標原點，所在直線分別為x軸，y軸建立空間直角坐標系，則,設,,.,.,當且時，取到最小值，所以線段長度的最小值為.13.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)為

【答案】2【解析】如圖所示，取A1B1的中點H，B1B的中點G，連接GH，C可得：四邊形EGC1D同理可得：C1∵C∴平面C1GH//平面∵M點是