-新教材高中數(shù)學(xué)第三章圓錐曲線的方程3.2第一課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案新人教A版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE8拋物線的簡單幾何性質(zhì)新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.了解拋物線的幾何圖形及簡單幾何性質(zhì)直觀想象2.通過拋物線方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡單應(yīng)用數(shù)學(xué)運算、直觀想象第一課時拋物線的簡單幾何性質(zhì)一只很小的燈泡發(fā)出的光，會分散地射向各方，但把它裝在手電筒里，經(jīng)過適當(dāng)調(diào)節(jié)，就能射出一束較強(qiáng)的平行光，這是什么原因呢？[問題]上述情境中主要用到了拋物線的怎樣的幾何性質(zhì)？知識點拋物線的簡單幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形性質(zhì)焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點O(0，0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下在同一坐標(biāo)系下試畫出拋物線y2＝x，y2＝2x和y2＝3x的圖象，你能分析影響拋物線開口大小的量是什么嗎？提示：影響拋物線開口大小的量是參數(shù)p，p值越大，拋物線的開口越大，反之，開口越?。?．頂點在原點，對稱軸是y軸，并且頂點與焦點的距離為3的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．y2＝±12x解析：選C可設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p＞0)或x2＝－2py(p＞0)，依題意知eq\f(p,2)＝3，∴p＝6.∴拋物線方程為x2＝±12y.2．設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為6，則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：選B∵拋物線的焦點到頂點的距離為6，∴eq\f(p,2)＝6，即p＝12.又拋物線上的點到準(zhǔn)線距離的最小值為eq\f(p,2)，∴拋物線上的點到準(zhǔn)線距離的取值范圍為[6，＋∞)．3．若雙曲線eq\f(x2,3)－eq\f(16y2,p2)＝1(p>0)的左焦點在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，則p＝________．答案：4拋物線方程及其幾何性質(zhì)[例1](鏈接教科書第134頁例3)已知拋物線的頂點為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2eq\r(3)，求拋物線的方程．[解]設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，拋物線與圓的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，則|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由對稱性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以點(1，eq\r(3))在拋物線y2＝2px上，點(－1，eq\r(3))在拋物線y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.eq\a\vs4\al()用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟[注意]求拋物線的方程時要注意拋物線的焦點位置，不同的焦點設(shè)出不同的方程．[跟蹤訓(xùn)練]1．邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：選C設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．不妨設(shè)A在x軸上方，則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，則有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以拋物線方程為y2＝±eq\f(\r(3),6)x.故選C.2．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2解析：選B因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°.由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p，))不妨設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，－2p)．所以|AB|＝4p，所以S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.直線與拋物線的位置關(guān)系角度一直線與拋物線位置關(guān)系的判斷[例2](1)過定點P(0，1)作與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線有幾條？(2)若直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax(a≠0)恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合．[解](1)當(dāng)直線的斜率不存在時，直線x＝0，符合題意．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)過點P的直線方程是y＝kx＋1，代入y2＝2x，消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.當(dāng)k＝0時，x＝eq\f(1,2)，符合題意；當(dāng)k≠0時，由Δ＝0，得k＝eq\f(1,2)，直線方程為y＝eq\f(1,2)x＋1.故滿足條件的直線有三條．(2)因為直線l與曲線C恰好有一個公共點，所以方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝（a＋1）x－1，,y2＝ax))只有一組實數(shù)解，消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，即(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①(ⅰ)當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(ⅱ)當(dāng)a＋1≠0，即a≠－1時，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0(舍去)或a＝－eq\f(4,5).所以原方程組有唯一解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝－2.))綜上，實數(shù)a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5))).eq\a\vs4\al()直線與拋物線交點問題的解題思路(1)判斷直線與拋物線的交點個數(shù)時，一般是將直線與拋物線的方程聯(lián)立消元，轉(zhuǎn)化為形如一元二次方程的形式，注意討論二次項系數(shù)是否為0.若該方程為一元二次方程，則利用判別式判斷方程解的個數(shù)；(2)直線與拋物線有一個公共點時有兩種情形：①直線與拋物線的對稱軸重合或平行；②直線與拋物線相切．角度二弦長問題[例3]已知拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，且|AB|＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直線方程．[解]由題意知焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠eq\f(5,2)p，不滿足題意．所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，則直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，k≠0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝eq\f(2p,k)，y1y2＝－p2.所以|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))·（y1－y2）2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2)＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))＝eq\f(5,2)p，解得k＝±2.所以AB所在的直線方程為2x－y－p＝0或2x＋y－p＝0.eq\a\vs4\al()拋物線弦長的求解思路當(dāng)直線的斜率k存在且k≠0時，弦長公式為|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|；當(dāng)直線的斜率k＝0時，只有拋物線的對稱軸是y軸時弦長存在，弦長公式為|AB|＝|x1－x2|；當(dāng)直線的斜率k不存在時，只有拋物線的對稱軸是x軸時弦長存在，弦長公式為|AB|＝|y1－y2|.[注意]焦點弦是特殊的弦，一般利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為焦半徑和焦點弦長問題處理．注意熟記拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的焦點弦長公式．角度三中點弦問題[例4]過點Q(4，1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點Q所平分，則弦AB所在直線的方程為________．[解析]法一：由題意知，當(dāng)AB垂直于x軸時，不滿足題意，故弦AB所在的直線的斜率存在，設(shè)該直線的斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦AB所在直線的方程為y＝k(x－4)＋1(k≠0)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，則y1＋y2＝eq\f(8,k).又y1＋y2＝2，所以eq\f(8,k)＝2，解得k＝4.故所求弦AB所在直線的方程為4x－y－15＝0.法二：由題意知，當(dāng)AB垂直于x軸時，不滿足題意，故弦AB所在的直線的斜率存在．設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則yeq\o\al(2,1)＝8x1，①yeq\o\al(2,2)＝8x2，②且x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，③①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)，④將③代入④，得y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，則弦AB所在直線的斜率為4.故所求弦AB所在直線的方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.[答案]4x－y－15＝0eq\a\vs4\al()解決中點弦問題的思路解決中點弦問題的基本方法是點差法、利用根與系數(shù)的關(guān)系，直線與拋物線的方程聯(lián)立時消y有時更簡捷，此類問題還要注意斜率不存在的情況，避免漏解．一般地，已知拋物線y2＝2px(p>0)上兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)及AB的中點P(x0，y0)，則kAB＝eq\f(p,y0).直線AB的方程為y－y0＝eq\f(p,y0)(x－x0)．線段AB的垂直平分線的方程為y－y0＝－eq\f(y0,p)(x－x0)．[跟蹤訓(xùn)練]1．設(shè)拋物線C：x2＝4y焦點為F，直線y＝kx＋2與C交于A，B兩點，且|AF|·|BF|＝25，則k的值為()A．±2 B．－1C．±1 D．－2解析：選A設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，將直線y＝kx＋2代入x2＝4y，消去x得y2－(4＋4k2)y＋4＝0，所以y1·y2＝4，y1＋y2＝4＋4k2，拋物線C：x2＝4y的準(zhǔn)線方程為y＝－1，因為|AF|＝y(tǒng)1＋1，|BF|＝y(tǒng)2＋1，所以|AF|·|BF|＝y(tǒng)1·y2＋(y1＋y2)＋1＝4＋4＋4k2＋1＝25?k＝±2.2．已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當(dāng)k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點．解：聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝4x，))消去y，得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(*)當(dāng)k＝0時，(*)式只有一個解x＝eq\f(1,4)，∴y＝1，∴直線l與C只有一個公共點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))，此時直線l平行于x軸．當(dāng)k≠0時，(*)式是一個一元二次方程，Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)．①當(dāng)Δ>0，即k<1，且k≠0時，l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交；②當(dāng)Δ＝0，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切；③當(dāng)Δ<0，即k>1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離．綜上所述，當(dāng)k＝1或0時，l與C只有一個公共點；當(dāng)k<1，且k≠0時，l與C有兩個公共點；當(dāng)k>1時，l與C沒有公共點．1．已知點A(－2，3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為()A．－eq\f(4,3) B．－1C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(1,2)解析：選C因為拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，且點A(－2，3)在準(zhǔn)線上，所以eq\f(－p,2)＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦點F的坐標(biāo)為(2，0)，故直線AF的斜率k＝eq\f(3－0,－2－2)＝－eq\f(3,4).2．(多選)以y軸為對稱軸的拋物線的通徑(過焦點且與對稱軸垂直的弦)長為8，若拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，則其方程為()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．x2＝8y D．x2＝－8y解析：選CD設(shè)拋物線方程為x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，依題意得y＝eq\f(p,2)，代入x2＝2py或x2＝－2py得|x|＝p，∴2|x|＝2p＝8，p＝4.∴拋物線方程為x2＝8y或x2＝－8y.3．設(shè)O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝