名師教案 人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊(cè)11.1.1空間幾何體與斜二測(cè)畫法

11.1.1空間幾何體與斜二測(cè)畫法本小節(jié)是《立體幾何初步》的第一節(jié)課，包括兩個(gè)部分的內(nèi)容，空間幾何體的概念和直觀圖的畫法——斜二測(cè)畫法，首先讓學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)世界中實(shí)物的圖片，引導(dǎo)學(xué)生抽象出空間幾何體的概念，繼而引出畫出空間幾何體的直觀圖是學(xué)習(xí)好立體幾何的必要條件。本節(jié)課主要介紹了最常用的，直觀性好的斜二測(cè)畫法，直觀性好的斜二測(cè)畫法。而水平放置的平面圖形的直觀圖畫法，是畫空間幾何體直觀圖的基礎(chǔ)。教學(xué)的重點(diǎn)是斜二測(cè)畫平面圖形直觀圖的畫法，即斜二測(cè)畫法。教材給出了梯形、長(zhǎng)方體、圓柱、球的直觀圖畫法。教學(xué)時(shí)可以適當(dāng)延伸，討論三角形、正六邊形、圓錐等的直觀圖的畫法.考點(diǎn)教學(xué)目標(biāo)核心素養(yǎng)認(rèn)識(shí)空間幾何體利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形直觀想象、數(shù)學(xué)抽象斜二測(cè)畫法掌握斜二測(cè)畫法的步驟、能用斜二測(cè)畫法畫出一些簡(jiǎn)單的平面圖形和空間圖形的直觀圖、以及直觀圖的還原與計(jì)算直觀想象，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算【教學(xué)重點(diǎn)】空間幾何體的概念、斜二測(cè)畫法畫平面、空間圖形的直觀圖，直觀圖的還原與計(jì)算【教學(xué)難點(diǎn)】直觀圖的還原與計(jì)算引入：?jiǎn)栴}1:空間幾何體 生活中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮一個(gè)物體占有的空間的形狀和大小，而不考慮其他因素，則這個(gè)空間部分通?？沙橄鬄橐粋€(gè)幾何體.除了長(zhǎng)方體外，我們以前還接觸過(guò)的幾何體還有棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.問(wèn)題2：斜二測(cè)畫法例1.如圖所示是梯形ABCD，下面用斜二測(cè)畫法來(lái)作出這個(gè)梯形水平放置時(shí)的直觀圖.（1）在梯形ABCD上，以AB為x軸，A為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示。（2）（i）畫軸和軸，使它們相交于點(diǎn)，而且；（ii）在軸上找出點(diǎn)，使得，在原圖中過(guò)D點(diǎn)作AB的垂線，設(shè)垂足為E，連接DE，在新的圖中上找出點(diǎn)，使得；（iii）在新的圖中作平行于軸，而且使；（iv）在新的圖中過(guò)作軸的平行線，使得.（3）在圖中連接，擦去作圖過(guò)程中的輔助線等，最后得到的四邊形就是梯形的直觀圖.【方法提煉】一般地，用斜二測(cè)畫法作出水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，步驟如下：（1）在平面圖形上取互相垂直的x軸和y軸，作出與之對(duì)應(yīng)的軸和軸，使得它們正方向的夾角為（或）；（2）平面圖形與x軸平行（或重合）的線段畫成與軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的不變;平面圖形與y軸平行（或重合）的線段畫成與軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)度為原來(lái)長(zhǎng)度的一半;（3）連接有關(guān)線段，擦去作圖過(guò)程中的輔助線.注：用斜二測(cè)畫法作水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，關(guān)鍵是分別作出其中與x軸與y軸平行（或重合）的線段.【知識(shí)點(diǎn)鞏固】1.平行四邊形的直觀圖可能是梯形.(×)提示平行的線段在直觀圖中仍平行，故平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形.2.畫與平面直角坐標(biāo)系xOy對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)系x′Oy′時(shí)，∠x′Oy′必須為45°.(×)提示∠x′Oy′是45°或135°.3.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對(duì)其中的線段說(shuō)法不正確的是()A.原來(lái)相交的仍相交B.原來(lái)垂直的仍垂直C.原來(lái)平行的仍平行D.原來(lái)共點(diǎn)的仍共點(diǎn)解析根據(jù)斜二測(cè)畫法，原來(lái)垂直的未必垂直.答案B【變式訓(xùn)練】用斜二測(cè)畫法畫邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形(如圖)的直觀圖.解(1)如圖①所示，以BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線AO所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.(2)畫對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，使∠x′O′y′＝45°.在x′軸上截取O′B′＝O′C′＝2cm，在y′軸上截取O′A′＝eq\f(1,2)OA，連接A′B′，A′C′，則三角形A′B′C′即為正三角形ABC的直觀圖，如圖②所示.【知識(shí)點(diǎn)鞏固】1.如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖(A′D′∥B′C′)，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為()A.平行四邊形 B.梯形C.菱形 D.矩形解析因?yàn)椤螪′A′B′＝45°，由斜二測(cè)畫法規(guī)則知∠DAB＝90°，又因四邊形A′B′C′D′為平行四邊形，所以原四邊形ABCD為矩形.答案D2.在斜二測(cè)畫法中，原圖形中兩條相等的線段，直觀圖中對(duì)應(yīng)的線段還相等嗎？提示如果兩條相等線段平行，則直觀圖中仍平行且長(zhǎng)度相等，若不平行則對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)度不確定.3.矩形的直觀圖的面積與原圖形面積有怎樣的關(guān)系？提示矩形直觀圖的面積是原圖形面積的eq\f(\r(2),4)倍.例2.下面我們來(lái)畫一個(gè)水平放置的長(zhǎng)為4，寬為3，高為2的長(zhǎng)方體的直觀圖.（1）首先，用上面的方法作出水平放置的長(zhǎng)為4，寬為3的長(zhǎng)方形的直觀圖ABCD（保留坐標(biāo)軸，如下圖所示）（2）過(guò)A作軸，使之垂直于軸，在軸上截取，過(guò)分別作的平行線，并使，然后連接；（3）擦去作圖過(guò)程中的輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線（或擦除），由此得到的就是所求長(zhǎng)方體的直觀圖，如圖所示.【方法提煉】一般地，用斜二測(cè)畫法作立體圖形直觀圖地步驟如下：（1）在立體圖形中取水平平面，在其中取互相垂直地x軸與y軸，作出水平平面上圖形地直觀圖（保留軸與軸）（2）在立體圖形中，過(guò)x軸與y軸地交點(diǎn)取z軸，并使z軸垂直于x軸與y軸過(guò)軸與軸的交點(diǎn)作z軸對(duì)應(yīng)的軸，且軸垂直于軸；圖形中與z軸平行（或重合）的線段畫成與軸平行（或重合）的線段，且長(zhǎng)度不變，連接有關(guān)線段.（3）擦去有關(guān)輔助線，并把被面遮擋住的線段改成虛線（或擦除）.【變式訓(xùn)練】用斜二測(cè)畫法畫出正六棱錐的直觀圖.解(1)畫六棱錐P－ABCDEF的底面的直觀圖.①在正六邊形ABCDEF中，取對(duì)角線AD所在直線為x軸，取與AD垂直的對(duì)稱軸MN為y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系(如圖(1)所示).②畫相應(yīng)的x′軸和y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.以O(shè)′為A′D′及M′N′的中點(diǎn)，在x′軸上取A′D′＝AD，在y′軸上取M′N′＝eq\f(1,2)MN，以點(diǎn)N′為中點(diǎn)畫B′C′平行于x′軸，并且等于BC，再以點(diǎn)M′為中點(diǎn)畫E′F′平行于x′軸，并且等于EF.③連接A′B′，C′D′，D′E′，F(xiàn)′A′，則得到水平放置的正六邊形ABCDEF的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(2)在直觀圖中畫六棱錐的頂點(diǎn).連接OP，以O(shè)P所在直線為z軸.過(guò)O′作與z軸對(duì)應(yīng)的z′軸，在O′z′上取點(diǎn)P′，使O′P′＝OP.連接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′(如圖(2)所示).(3)擦去x′軸、y′軸、z′軸，被面遮擋住的線段A′F′，E′F′，P′F′改成虛線，便得到正六棱錐P－ABCDEF的直觀圖P′－A′B′C′D′E′F′(如圖(3)所示).需要注意的是，立體幾何中的直觀圖，不都是用斜二測(cè)畫法作出的。例如水平放置的圓，其直觀圖一般用“正等測(cè)畫法”畫成橢圓，因此，圓柱與球的直觀圖分別如圖所示.例3.如圖，一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面圖形的面積為()A.eq\f(\r(2),4)a2 B.2eq\r(2)a2C.a2 D.2a2解析由直觀圖還原出原圖，如圖，所以S＝a·2eq\r(2)a＝2eq\r(2)a2.答案B【方法提煉】由直觀圖還原平面圖形關(guān)鍵有兩點(diǎn)：(1)平行于x′軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段長(zhǎng)度擴(kuò)大為原來(lái)的2倍；(2)對(duì)于相鄰兩邊不與x′，y′軸平行的頂點(diǎn)可通過(guò)作x′軸、y′軸的平行線，變換確定其在xOy中的位置.若平面圖形的面積為S原，用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖面積為S直，則S直＝eq\f(\r(2),4)S原.【變式訓(xùn)練】已知△ABC的平面直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，那么原△ABC的面積為()A.eq\f(\r(3),2)a2 B.eq\f(\r(3),4)a2C.eq\f(\r(6),2)a2 D.eq\r(6)a2解析直觀圖是邊長(zhǎng)為a的正三角形，所以S直＝eq\f(\r(3),4)a2，則S原＝2eq\r(2)S直＝eq\f(\r(6),2)a2.答案C【自我檢測(cè)】1.關(guān)于用斜二測(cè)畫法得直觀圖，下列說(shuō)法正確的是()A.等腰三角形的直觀圖仍為等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖可能不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形解析用斜二測(cè)畫法時(shí)保持平行性不變，但線段的長(zhǎng)度、角度不確定.答案B2.一梯形的直觀圖是一個(gè)如圖所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，則原梯形的面積為()A.2 B.eq\r(2)C.2eq\r(2) D.4解析原梯形上、下兩底長(zhǎng)度與直觀圖中上、下兩底的長(zhǎng)度分別對(duì)應(yīng)相等，但高不同.原梯形的高OC是直觀圖中O′C′長(zhǎng)度的2倍，O′C′的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形的高的eq\r(2)倍，由此知原梯形的高OC的長(zhǎng)度是直觀圖中梯形高的2eq\r(2)倍，故原梯形面積是梯形O′A′B′C′面積的2eq\r(2)倍，又梯形O′A′B′C′的面積為eq\r(2)，所以原梯形的面積是4.答案D3.如圖，平行四邊形O′P′Q′R′是四邊形OPQR的直觀圖，若O′P′＝3，O′R′＝1，則原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為________.解析由四邊形OPQR的直觀圖可知原四邊形OPQR是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四邊形OPQR的周長(zhǎng)為2×(3＋2)＝10.答案104.如圖所示的直觀圖△A′O′B′，其平面圖形的面積為________.解析由直觀圖可知其對(duì)應(yīng)的平面圖形AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝eq\f(1,2)OA·OB＝6.答案6小結(jié)：1.通過(guò)從實(shí)際物體中抽象出空間幾何體，畫出空間幾何體的直觀圖.2.用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的關(guān)鍵是確定直觀圖中的頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)，因此應(yīng)盡量把頂點(diǎn)或其他關(guān)鍵點(diǎn)放在坐標(biāo)軸上或與坐標(biāo)軸平行的直線上.3.將水平放置的平面圖形的直觀圖還原成實(shí)際圖形的過(guò)程，是畫直觀圖的逆過(guò)程，即平行于x′軸的線段長(zhǎng)度不變，平行于y′軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.