平方根（原卷版）

6.1平方根一、算數(shù)平方根1、概念：如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根。2、表示方法：a的算術(shù)平方根記為a，讀作”根號a“，a叫做被開方數(shù)。也就是，在等式x2=a(a≥0)中，規(guī)定x=a。注：被開方數(shù)越大，對應(yīng)的算術(shù)平方根也越大。這個結(jié)論對所有正數(shù)都成立。3、算數(shù)平方根的性質(zhì)若a有意義，則被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)；算數(shù)平方根本身也是非負(fù)數(shù)。4、a的結(jié)果有兩種情況當(dāng)a注：①無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù)；②許多正有理數(shù)的算術(shù)平方根（例如3,5，7等）都是無限不循環(huán)小數(shù)。5、求一個數(shù)的算數(shù)平方根①利用夾值法估算（無理）數(shù)的大??；②正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個，零的算術(shù)平方根是零；③a2=|a|=a(a≥0)-a，注意二、平方根1、平方根的概念：如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根。如果x2=a,那么x叫做a的平方根。（算術(shù)平方根的符號a,實(shí)際上省略了2a中的根指數(shù)2。因此，a,也可讀作“二次根號a2、表示方法：正數(shù)a的正的平方根可用a表示，a也是a的算術(shù)平方根；正數(shù)a的負(fù)的平方根可用-a3、開平方的概念：求一個數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。（注：開平方運(yùn)算的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)才有意義）4、平方根的性質(zhì)：正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。5、平方與開平方互為逆運(yùn)算x←→x=+a是x的平方x是a的平方根x的平方是aa的平方根是x6、解題注意①正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個；②正數(shù)的正平方根就是它的算術(shù)平方根，而正數(shù)的負(fù)平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)。題型一算數(shù)平方根概念的理解【例1】16的算術(shù)平方根是（）A．8 B．4 C．-256 D．±4【變式1-1】實(shí)數(shù)400的算術(shù)平方根______.【變式1-2】面積為7的正方形的邊長是（）A．7的平方根 B．7的算術(shù)平方根C．7的立方根 D．7的負(fù)平方根【變式1-3】當(dāng)a=5時，代數(shù)式a+4的值為______．【變式1-4】一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是a，則和這個自然數(shù)相鄰的下一個自然數(shù)是________．題型二利用算數(shù)平方根的性質(zhì)求解【例2】若15-n是整數(shù)，則正整數(shù)n不可能是（????）A．6 B．9 C．11 D．14【變式2-1】當(dāng)x等于（）時，-3-4-A．2，小 B．2，大 C．±2，小 D．±2，大【變式2-2】已知a-2+b+52+c+1A．4 B．－2 C．－4 D．2【變式2-3】已知a、b滿足2a+8+b-3=0，題型三求算數(shù)平方根的取值范圍【例3】估計(jì)2×A．7到8之間 B．6到7之間 C．5到6之間 D．4到5之間【變式3-1】56.7≈7.53，567≈23.81，則5.67【變式3-2】寫出一個比3大且比13小的整數(shù)是____．【變式3-3】如圖，用邊長為3的兩個小正方形拼成一個面積為18的大正方形，則大正方形的邊長最接近的整數(shù)是（????）A．4 B．5 C．6 D．7題型四與算數(shù)平方根有關(guān)的規(guī)律探索【例4】17.2=4.147，1.72=1.311，則A．13.11 B．±13.11 C．41.47 D．±41.47【變式4-1】觀察下列各式：1+13=213，2+14=314，3+15=4A．2 B．4 C．6 D．8【變式4-2】觀察分析下列數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：0，-3，6，-3，23，-15，32，……，則第【變式4-3】解決下列題目：（1）用計(jì)算器計(jì)算：11-2=_____，1111-22=_____，111111-222=_____，（2）觀察題（1）中各式的計(jì)算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（3）試運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律猜想：1111111111-22222=_____題型五平方根概念的理解【例5】16的平方根是（）A．2 B．2 C．±2 D．±【變式5-1】下列說法正確的是（???）A．a(chǎn)2+1一定是正數(shù) B．81C．平方根等于它本身的數(shù)是1和0 D．-81平方根是-9【變式5-2】如果1-x有平方根，則x的取值范圍是【變式5-3】判斷下列說法是否正確（1）0的平方根是0；（2）負(fù)數(shù)有1個平方根；（3）平方根是它本身的數(shù)是0和1；（4）算術(shù)平方根是它本身的數(shù)是0和1；（5）正數(shù)有2個平方根，它們互為相反數(shù).題型六求代數(shù)式的平方根【例6】關(guān)于x的多項(xiàng)式7x3-11mx2-15x+9與多項(xiàng)式22xA．3 B．-3 C．±3 D．±【變式6-1】若x-2+|y+7|+(z-7)2=0，則A．±2 B．4 C．2 D．±4【變式6-2】已知4-a2與b+1互為相反數(shù)，則a-b的平方根是（????A．5 B．3 C．±5 D．【變式6-3】已知2a-1的算術(shù)平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是13的整數(shù)部分，求a+2b-c的平方根．題型七已知平方根，利用性質(zhì)求解【例7】平方根是±1A．13 B．16 C．19【變式7-1】已知某數(shù)的一個平方根是11，那么這個數(shù)是____，它的另一個平方根是____．【變式7-2】如果正數(shù)A的兩個平方根分別是2x-1與3x-4，求A的值．【變式7-3】若m是169的正的平方根，n是121的負(fù)的平方根，求：（1）m＋n的值；（2）m+n題型八平方根的實(shí)際應(yīng)用【例8】某小區(qū)有一塊面積為500平方米的長方形空閑草地，其長寬之比是5：4，準(zhǔn)備在里面開辟一個面積為360平方米的正方形運(yùn)動場地，且要求運(yùn)動場地四周留出1米的路．請問能在此草地開辟出符合要求的運(yùn)動場地嗎？請通過計(jì)算說明．【變式8-1】面積為36cm2正方形紙片沿邊的方向剪出一個長方形紙片，能否使剪出長方形紙片的長、寬之比為3∶2，且面積為24cm【變式8-2】一個底為正方形的水池