電磁學(xué)習(xí)題解答

解：依據(jù)畢——薩定理

各電流元產(chǎn)生的.Poyl例1.載流長直導(dǎo)線，其電流強(qiáng)度為I，試計(jì)算導(dǎo)線旁任意一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直紙面向里。取任意電流元其在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為：I方向?yàn)?

若導(dǎo)線無限長：不一定要，只要。則：1=0，2=結(jié)論：(2)磁力線是沿著垂直導(dǎo)線平面內(nèi)的同心圓，其方向與電流方向成右手螺旋關(guān)系。(1)載流長直導(dǎo)線四周B與ro成反比。類比.PoylI探討8解：把銅片劃分成無限個(gè)寬為dx的瘦長條，每條有電流：由對(duì)稱性知：yadx例2.一條無限長傳送電流的扁平銅片，寬為a，厚度忽略，電流為I，求離銅片中心線正上方y(tǒng)處P點(diǎn)的rxyP.該電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場為：I其中：方向平行X軸當(dāng)y>>a時(shí)當(dāng)y<<a時(shí)x無限大載流平面9例3求載流圓線圈軸線上的磁場B，已知半徑為R，通電電流為I。解：先探討B(tài)的方向I.Pxxo與是對(duì)X軸對(duì)稱的rR02R方向沿x軸正向！動(dòng)畫102）當(dāng)x=0時(shí)，圓心處：1)無論x>0或x<0,B與X軸同向4)x>>R時(shí)：3）軸線以外的磁場較困難，可定性給出磁感應(yīng)線，電流與B線仍聽從右手螺旋關(guān)系。SN定義：磁偶極矩磁偶極子NS

n與I的方向成右手關(guān)系若有N匝線圈，總磁矩為：即:比較：(延長線上)IoR.PxBB探討11例4一個(gè)塑性圓盤，半徑為R，圓盤表面均勻分布電荷q,如果使該盤以角速度繞其軸旋轉(zhuǎn)，試證：(1)盤心處(2)圓盤的磁偶極矩Rrdr證：(1)將盤看成一系列的寬為dr的圓環(huán)構(gòu)成每一環(huán)在中心產(chǎn)生的磁場：(2)12例5.一長螺線管軸線上的磁場已知：導(dǎo)線通有電流I，單位長度上匝數(shù)為n。dlrl解：在管上取一小段dl，電流為dI=nIdl，該電流在P點(diǎn)的磁場為：P.則：..........................13P點(diǎn)不同，B不同。若管長L>>R，管內(nèi)有很大一部分場是勻整的。2)3)對(duì)半無限長螺線管2)、3)在整個(gè)管內(nèi)空間成立！管內(nèi)為勻整場探討:管外空間B0dlrlP...........................14例6.求兩個(gè)以相同速度v并排運(yùn)動(dòng)電子之間的相互作用力。vve1e2解：設(shè)兩電子相距為re2處的磁場：e2受力：.同理：16例7.半徑為R的無限長圓柱載流直導(dǎo)線，電流I沿軸線方向流淌，并且載面上電流是勻整分布。計(jì)算任意點(diǎn)P的B=？解：先分析P點(diǎn)的方向P.I由電流對(duì)稱分布可知：取過P點(diǎn)半徑為r=op的圓周L，L上各點(diǎn)B大小相等，方向沿切線r>R時(shí)由安培環(huán)路定理得：若r<R同理：BR與畢薩定理結(jié)果一樣L24例8.一無限大平面，有勻整分布的面電流，其橫截線的電流線密度為i，求平面外一點(diǎn)B=？i..........abcd解：由對(duì)稱可知并且離板等距離處的B大小相等。過P點(diǎn)取矩形回路abcdL其中ab、cd與板面等距離。00.P與P點(diǎn)到平板的距離無關(guān)。i?×i×0025例9.求通電螺繞環(huán)的磁場分布。已知環(huán)管軸線的半徑為R，環(huán)上勻整密繞N匝線圈，設(shè)通有電流I。解：由于電流對(duì)稱分布，與環(huán)共軸的圓周上，各點(diǎn)B大小相等，方向沿圓周切線方向。取以o為中心，半徑為r的圓周為L當(dāng)R1<r<R2若r<R1若r>R2IR當(dāng)R管截面<<R即r

R...........................×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××.or26例在氫原子內(nèi),電子和質(zhì)子的間距為求它們之間電相互作用和萬有引力,并比較它們的大小.解例2、電荷Q勻整分布在半徑為R的球體內(nèi)，求它的靜電能。解：設(shè)球體的電荷是從無窮遠(yuǎn)處（電勢(shì)為零處）一點(diǎn)一點(diǎn)移來，一層一層地從里到外漸漸分布而成，當(dāng)移來的電荷為q時(shí)，半徑為r，（電荷密度不變）這時(shí)，球面上的電勢(shì)是再從無窮遠(yuǎn)處移來dq，放到半徑為r的球面上，外力抗拒q的電場力所要作的功為Vdq，于是靜電能的增量為因?yàn)樗源敕e分便得例題：帶電Q的勻整帶電導(dǎo)體球外有一同心的勻整電介質(zhì)球殼(er及各半徑如圖)，求(1)電介質(zhì)內(nèi)外的電場；(2)導(dǎo)體球的電勢(shì)；(3)電介質(zhì)表面的束縛電荷。解：(1)場強(qiáng)分布求D：取高斯面如圖由經(jīng)對(duì)稱性分析erPPS1S2R1R2erPPS1S2R1R2同理求E：同理erPPS1S2R1R2（2）求導(dǎo)體球的電勢(shì)(3)電介質(zhì)表面的束縛電荷求P：erPPS1S2R1R2求σ、q：外表面內(nèi)表面此題所給系統(tǒng)也可看作三層勻整帶電球面。由勻整帶電球面內(nèi)、外的場強(qiáng)結(jié)果，用場強(qiáng)疊加原理可得，介質(zhì)內(nèi)

q內(nèi)的場強(qiáng)抵消了Q的部分場強(qiáng)。

介質(zhì)外q′內(nèi)、q′外的場強(qiáng)相互抵消。erR1R2Q例題：在半徑為R無限長螺旋管內(nèi)部的磁場B隨時(shí)間作線性變化，求管內(nèi)外的感生電場。解：變更磁場所激發(fā)的感生電場的電場線是與螺線管同軸的同心圓，E到處與圓切線相切，且在同一條電場線上E的大小到處相等。EEEEEEE解：任取一電場線作閉合回路，可求出離軸線為r處的感生電場E的大小為：（1）當(dāng)r<R，所以E的方向如圖所示。（2）當(dāng)r>R，所以r所以REO電磁感應(yīng)習(xí)題課【例1】載有電流I長直導(dǎo)線的平面內(nèi)有一長方形線圈，邊長為l1和l2(l2//I)，t=0時(shí)與I相距為d，若從t=0起先以勻加速度a移動(dòng)線圈，v0=0，求t時(shí)刻線圈內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。電磁感應(yīng)習(xí)題課【例1】載有電流I長直導(dǎo)線的平面內(nèi)有一長方形線圈，邊長為l1和l2(l2//I)，t=0時(shí)與I相距為d，若從t=0起先以勻加速度a移動(dòng)線圈，v0=0，求t時(shí)刻線圈內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。電磁感應(yīng)習(xí)題課【例1】載有電流I長直導(dǎo)線的平面內(nèi)有一長方形線圈，邊長為l1和l2(l2//I)，t=0時(shí)與I相距為d，若從t=0起先以勻加速度a移動(dòng)線圈，v0=0，求t時(shí)刻線圈內(nèi)的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。電磁感應(yīng)習(xí)題課【例2】勻整磁場B中，在直角坐標(biāo)系框架上有一長導(dǎo)體棒PQ，若其夾角的勻整變更，且在PQ轉(zhuǎn)動(dòng)過程中P點(diǎn)保持不動(dòng)，求=0時(shí)棒中的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。電磁感應(yīng)習(xí)題課【例3】兩塊長為l、寬為b的平行導(dǎo)體板相距為a(a<<l、b)，若導(dǎo)體板內(nèi)通有勻整分布但方向相反的電流，求導(dǎo)體組的自感系數(shù)。電磁感應(yīng)習(xí)題課【例4】如圖所示(t=0時(shí)刻)，一無限長直導(dǎo)線與一矩形線圈共面，直導(dǎo)線中通有電流I=I0e-kt(I0、k為正常數(shù)），矩形線圈以速度v向右作平動(dòng)，求任一時(shí)刻t矩形線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。電磁感應(yīng)習(xí)題課【例4】如圖所示(t=0時(shí)刻)，一無限長直導(dǎo)線與一矩形線圈共面，直導(dǎo)線中通有電流I=I0e-kt(I0、k為正常數(shù)），矩形線圈以速度v向右作平動(dòng)，求任一時(shí)刻t矩形線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。真空中的磁場習(xí)題課例題1：分析書上習(xí)題12.32等效圓電流！真空中的磁場習(xí)題課例題2：一長為l=0.9m，帶電量q=1×10-10C的勻整帶電細(xì)棒，以速度v=1m/s沿X軸正向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)細(xì)棒運(yùn)動(dòng)到與Y軸重合時(shí)，細(xì)棒下端與坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離a=0.1m，如圖所示，求原點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。真空中的磁場習(xí)題課例題3：分析書上習(xí)題12.19真空中的磁場習(xí)題課例題4：分析書上習(xí)題12.27真空中的磁場習(xí)題課例題5：無限長直導(dǎo)線載有電流I1，垂直紙面對(duì)外，一段載有電流I2的導(dǎo)線MN置于同一平面內(nèi)，相對(duì)位置如圖所示，求導(dǎo)線MN所受的安培力。真空中的磁場習(xí)題課解：分析可知左邊a段的受力方向垂直紙面對(duì)外，右邊b段的受力方向垂直紙面對(duì)里真空中的磁場習(xí)題課解：分析可知左邊a段的受力方向垂直紙面對(duì)外，右邊b段的受力方向垂直紙面對(duì)里或者左右兩段綜合考慮可得到：真空中的磁場習(xí)題課例題6：分析書上習(xí)題12.21例1.長直導(dǎo)線通有電流I，在它旁邊放有一矩形導(dǎo)體回路.求：1）穿過回路中的；2）若I=kt（k=常）回路中i=？3）若I=常數(shù)，回路以v向右運(yùn)動(dòng)，i=？4）若I=kt，且回路又以v向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，求i=？解：設(shè)回路繞行方向?yàn)轫槙r(shí)針，1）2）

I=kt時(shí)，在t時(shí)刻，逆時(shí)針方向Ilr3）I=常數(shù)，t時(shí)刻，此時(shí)回路的磁通：順時(shí)針方向a+vtb+vt64）綜合2）、3），t時(shí)刻回路的磁通：此題若這樣考慮：而：則：這樣就有:2）3）4）錯(cuò)在那里？7例2.彎成角的金屬架COD,導(dǎo)體棒MN垂直O(jiān)D以恒定速度v在金屬架上向右滑動(dòng)，且t=0.x=0，已知磁場的方向垂直紙面對(duì)外，求下列狀況中金屬架內(nèi)的i:1）磁場B分布勻整，且磁場不隨時(shí)間變更。2）非勻整時(shí)變磁場，B=kxcost。解：設(shè)回路繞向逆時(shí)針1）t時(shí)刻，x=vt。方向與繞向相反，只出現(xiàn)在MN上。此處可干脆利用勻整場：82）B不勻整與繞向相同。與繞向相反。xdx9例4.在例3中,如圖放入一邊長為l的正方形導(dǎo)體回路oabc。求：1）回路各邊的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)；2）i總；

3）回路內(nèi)有靜電場嗎？若有哪點(diǎn)（c與a）電勢(shì)高。解：1）同理：o2）i總=ab+bc或：注：依據(jù)對(duì)稱性：1），2）的計(jì)算可以倒過來進(jìn)行。173）有靜電場！在哪里。ab=bc會(huì)使正電荷在c點(diǎn)，聚集而a點(diǎn)有負(fù)電荷積累Uac=Ua–

Uc=

i–

IiRio等效電路結(jié)論一樣或:Uaoc=Ua–Uc=0–

IiRi<018解：例5.將半徑為a的金屬圓盤，厚為h，電導(dǎo)率為，同軸放置在軸對(duì)稱勻強(qiáng)磁場中，求圓盤電流強(qiáng)度及產(chǎn)生的熱功率。設(shè)B均勻，dB/dt>0。取半徑為r,厚度為dr的圓筒,其電動(dòng)勢(shì)其上電阻為：h總電流：產(chǎn)生的熱功率：20例6.勻整磁場B中ab棒沿導(dǎo)體框向右以v運(yùn)動(dòng)，且dB/dt=0,求其上的i。解：由定義用法拉第定律：xx232.動(dòng)的計(jì)算例7.在真空中，有一無限長直導(dǎo)線電流I旁，有一半圓弧導(dǎo)線以v向右運(yùn)動(dòng)。已知r，R。求Ek、

QP，P與Q哪點(diǎn)電勢(shì)高？解：1）在導(dǎo)線上隨意dl處的Ek距電流為r'：2）方向向上dl=Rd3）i從Q→P，UP>UQ。能否用直線PQ來代替PQ？明顯：否！25例8.金屬桿oa長L,在勻強(qiáng)磁場B中以角速度反時(shí)針繞點(diǎn)o轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小、方向。BoaL解法一：方向：解法二：隨意時(shí)刻通過扇形截面的磁通量依據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律:棒兩端的電位差:26思索：1）半徑為L的金屬圓盤以轉(zhuǎn)動(dòng)2）以下各種狀況中=？27Loa（2）互感的計(jì)算r解：分析:很難算出！圓環(huán)中:y12=B1pr2

=

moni1pr2

設(shè)螺線管通有i1，則B1=m0ni1。例9.長直螺線管單位長度上有n匝線圈，另一半徑為r的圓環(huán)放在螺線管內(nèi),環(huán)平面與管軸垂直。求M？注：1o原則上可對(duì)任一線圈產(chǎn)生磁場計(jì)算另一線圈的磁通量yM=y/i。2o互感在電工和無線電技術(shù)中應(yīng)用廣泛如:變壓器，互感器……互感往往也是有害的……但很多實(shí)際問題中M很難算出。30(2)自感L的計(jì)算例10.計(jì)算一螺線管的自感,截面積為S,長為l,單位長度上的匝數(shù)為n，管中充有的磁介質(zhì)，求L。解：設(shè)螺線管通有I的電流,則管內(nèi)磁場為B=nI管內(nèi)全磁通:=N=NBS=N

nIS=n2I

lSV=lS注：除線圈外，任何一個(gè)實(shí)際電路都存在電感，輸電線相當(dāng)于單匝回路，回路上有分布電感。33例11.兩根平行輸電導(dǎo)線，中心距離為d，半徑為a，求：兩導(dǎo)線單位長度上的分布電感（d>>a）。解：如圖，設(shè)導(dǎo)線中有電流I。單位長度上的磁通量：drdr343.磁能與自感系數(shù)若已知L→反之，已知Wm→

L。兩根平行輸電線相距為d，半徑為a，若維持I不變。（前已求得，單位長度上的自感）2）磁能改變多少？增加或減少,說明能量來源？例12.求：1）當(dāng)d→d’時(shí)，磁力作的功。dd'1）單位長度受力解：F>02）能量從何而來！42導(dǎo)線移動(dòng)時(shí)，會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)ei。而要維持I不變，電源力必需克服eL作功，從而將外電源的能量轉(zhuǎn)變?yōu)榇拍茉隽亢痛帕ψ鞴刹糠?。以下作出定量證明：外電源克服eL作功，則eL作負(fù)功。0能量守恒43Wm→L解：設(shè)電纜通有電流I，則兩圓柱面間的磁場為：abr同軸電纜，兩圓柱面半徑分別為a、b，充滿磁介質(zhì)m，求單位長度Mm與L。例13.44例14.一矩形金屬線框，邊長為a、b(b足夠長)，線框質(zhì)量為m,自感系數(shù)為L,電阻忽視，線框以初速度v0沿x軸方向從磁場外進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B0的勻整磁場中，求:矩形線圈在磁場內(nèi)的速度與時(shí)間的關(guān)系式v=v(t)和沿x軸方向移動(dòng)的距離與時(shí)間的關(guān)系式x=x(t)解法一：線圈的一部分進(jìn)入磁場后，線圈內(nèi)有

動(dòng)，自。聯(lián)立45方程的通解：46解法二：47例1.長直螺線管內(nèi)充溢勻整磁介質(zhì)r單位長度上的匝數(shù)為n，通有電流I。求管內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁介質(zhì)表面的面束縛電流密度。解：順磁質(zhì)抗磁質(zhì)××因管外磁場為零，取圖示的回路依據(jù)：××...10隨意載流導(dǎo)體在磁場中所受的合力為：所以安培力是洛侖茲力的宏觀表現(xiàn)；洛侖茲力是安培力的微觀來源。安培力的實(shí)質(zhì)：磁場通過洛侖茲力而施于導(dǎo)體的作用力。洛侖茲力→建立橫向電場→使導(dǎo)體受電場力作用例1.在均勻磁場中有一彎曲導(dǎo)線ab，通有I電流，求其受磁場力。解：由安培定律方向垂直板面對(duì)外LabB安培定律若l與B均在板面內(nèi)則F=ILabBsinI15例2.求兩平行無限長直導(dǎo)線通有相同電流的相互作用力。a解：1）求F12方向垂直同理：2）單位長度的受力：兩力大小相等，方向相反：為吸引力為排斥力在I2上取電流元I2dl2I2dl2處的磁場為：指向I1指向I2結(jié)論：16求下列電流之間的相互作用：①②③④⑤18例1.圖中所示為一沿x軸放置的“無限長”分段勻整帶電直線，電荷線密度分別為+（x>0）和-（x<0），則oxy坐標(biāo)平面上點(diǎn)（0，a）處的場強(qiáng)E為：(A)0(B)(C)(D)[B][C]例2如圖所示，一個(gè)帶電量為q的點(diǎn)電荷位于正立方體的A角上，則通過側(cè)面abcd的電場強(qiáng)度通量等于：（A）q/60

;

（B）q/120

；（C）q/240;（D）q/360

.(A)(B)(C)(D)[B]例3.真空中一半徑為R的球面勻整帶電Q，在球心o處有一帶電量為q的點(diǎn)電荷，設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則在球內(nèi)離球心o距離的r的P點(diǎn)處的電勢(shì)為：例4.半徑為r的勻整帶電球面1，帶電量為q；其外有一同心的半徑為R的勻整帶電球面2，帶電量為Q，則此兩球面之間的電勢(shì)差U1-U2為：(A)(B)(C)(D)[

A]例5．一“無限大”帶負(fù)電荷的平面，若設(shè)平面所在處為電勢(shì)零點(diǎn)，取軸垂直帶電平面，原點(diǎn)在帶電平面處，則其四周空間各點(diǎn)電勢(shì)隨距離平面的位置坐標(biāo)變更的關(guān)系曲線為:[A][A]例6.半徑為R的勻整帶電球面，總電量為Q，設(shè)無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，則該帶電體所產(chǎn)生的電場的電勢(shì)U，隨離球心的距離r變更的分布曲線為：(A)(B)(C)(D)(E)例7.下面說法正確的是[D](A)等勢(shì)面上各點(diǎn)場強(qiáng)的大小確定相等；(B)在電勢(shì)高處，電勢(shì)能也確定高；(C)場強(qiáng)大處，電勢(shì)確定高；(D)場強(qiáng)的方向總是從電勢(shì)高處指向低處.例8.已知一高斯面所包圍的體積內(nèi)電量代數(shù)和，則可確定：高斯面上各點(diǎn)場強(qiáng)均為零。穿過高斯面上每一面元的電通量均為零。穿過整個(gè)高斯面的電通量為零。以上說法都不對(duì)。[C]高斯面例9：兩同心勻整帶電球面，帶電量分別為q1、-q2,半徑分別為R1、R2,求各區(qū)域內(nèi)的場強(qiáng)和電勢(shì)。解：在三個(gè)區(qū)域中的隨意點(diǎn)分別作同心球面高斯球面，設(shè)面內(nèi)電荷為q，則高斯面上述結(jié)果可干脆由勻整帶電球面電荷的場和疊加原理得出。高斯面電勢(shì)分布可由疊加原理和場強(qiáng)積分二法求出。下面用一法求解。例1：帶正電的導(dǎo)體A，接近不帶電的導(dǎo)體B，導(dǎo)體B的電勢(shì)如何變更。答案：上升。例2：兩導(dǎo)體板分別帶電Qa、Qb。求各表面的電荷面密度。解：在導(dǎo)體極板內(nèi)，取A、B兩點(diǎn)，由靜電平衡條件聯(lián)立求解1.兩外表面電荷等量同號(hào)。2.兩內(nèi)表面電荷等量異號(hào)。有探討：①②例3：球形電容器由半徑為R1帶電為Q的導(dǎo)體球和與它同心的導(dǎo)體球殼構(gòu)成，其間充有r1、r2兩種介質(zhì)，求：(1)場強(qiáng)分布；(2)

兩極間電勢(shì)差；(3)

電容C。解：(1)I區(qū)：E1=0II區(qū)：作高斯球面導(dǎo)體內(nèi)III區(qū)：同理導(dǎo)體內(nèi)IV區(qū)：V區(qū)：（2）兩極間電勢(shì)差(3)電容C例4：球形電容器兩球面的半徑分別為R1、R2，帶電量分別為+Q和Q，

極間充有電介質(zhì)

，求：電容器能量。解：極間場強(qiáng)能量密度體元練習(xí)1兩個(gè)長直螺線管半徑不同，但它們通過的電流和線圈密度相同，問這兩個(gè)螺線管內(nèi)部的磁感應(yīng)強(qiáng)度是否相同？（A）相同（B）不相同（C）不確定答案：[A]練習(xí)2

通有電流I

的單匝環(huán)型線圈，將其彎成N=2的兩匝環(huán)型線圈，導(dǎo)線長度和電流不變，問：線圈中心o點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B和磁矩pm是原來的多少倍？答案：[

B]（A）4倍，1/4倍（B）4倍，1/2倍（C）2倍，1/4倍（D）2倍，1/2倍本章小結(jié)與習(xí)題課解：本章小結(jié)與習(xí)題課練習(xí)3如圖所示組合載流導(dǎo)體，求o點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。cROIRabde本章小結(jié)與習(xí)題課解：分析：由于o點(diǎn)在ab與de的延長線上，所以ab段與de段導(dǎo)線在o點(diǎn)產(chǎn)生的B

為0;bc段與cd段導(dǎo)線在o點(diǎn)產(chǎn)生的磁場方向相同。cROIRabde本章小結(jié)與習(xí)題課方向垂直向里cROIabde本章小結(jié)與習(xí)題課o點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為：cROIRabde本章小結(jié)與習(xí)題課Ro練習(xí)4

在半徑為R的半球型木制骨架上密繞N匝線圈，線圈內(nèi)通有電流I，求：球心o點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B。解：由于線圈密繞，電流對(duì)o點(diǎn)張角勻整分布。本章小結(jié)與習(xí)題課OR⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙xxr可將半球面上的電流分割成無限多載流圓環(huán)，利用載流圓環(huán)在軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度公式：則電流元的磁場：本章小結(jié)與習(xí)題課其中