《線性代數(shù)一》補(bǔ)考模擬卷答案

《線性代數(shù)一》2010年下半年補(bǔ)考模擬題答案一、填空題（每小題3分，共18分）1.用行列式性質(zhì)計算：=.解：考察知識點(diǎn)：行列式性質(zhì)，包括最常見的初等變換（初等行變換3種，哪3種？對行列式變化有何影響？）其中：（1）將第二、三行加到第一行；（2）提出第一行的公因子；（3）將第一行依次乘以-y,-(x+y),分別加到第三行和第四行。注意：行列式的性質(zhì)非常重要，一定要熟練掌握，靈活應(yīng)用。2.排列的逆序數(shù)為0.解：一定要理解記住逆序數(shù)的定義。按順序來，從第一個元素到最后一個元素，都拿它與后面的元素進(jìn)行比較，結(jié)果進(jìn)行累計。第一個元素為1，后面的元素均比它大，故有0個逆序；第二個元素為2，后面的元素都比它大，同樣有0個逆序；依此類推。。。。得出每個元素，與其后面的元素進(jìn)行比較，都沒有逆序出現(xiàn)，故逆序數(shù)為0+0+……+0=03.已知向量，則=。解：考察向量的四則運(yùn)算4.設(shè),則；。（其中為自然數(shù)）。解：考察矩陣間的乘積運(yùn)算和冪運(yùn)算。直接根據(jù)定義計算即可在求冪方時，由于指數(shù)是抽象的，所以必須找出規(guī)律，因?yàn)闉閱挝痪仃?，則由單位矩陣性質(zhì)知對則……..所以，得出規(guī)律當(dāng)冪指數(shù)為偶數(shù)時，則結(jié)果其實(shí)就是單位矩陣，當(dāng)為奇數(shù)時，結(jié)果就是A本身，故.5.設(shè)階矩陣非奇異，是的伴隨矩陣，則。解：若這樣看起來比較復(fù)雜，則可以令則有：結(jié)果其實(shí)是一樣的，只是看起來容易理解一點(diǎn)。6.設(shè)是非齊次線性方程組的解，也是的解，則應(yīng)滿足的關(guān)系為。解：由題目條件得有，要使得也是解，則應(yīng)該有：，而我們知，因此，要求1二、選擇題（每小題3分，共27分）1.的充分必要條件是（C）。A、B、C、D、解：直接計算得，選C2．設(shè)以及均為階可逆矩陣，則等于（C）A、B、C、D、解：考察矩陣的逆運(yùn)算。A的逆必須滿足，。選項(xiàng)A中，不會恒等于；選項(xiàng)B中，不恒等于；同理運(yùn)算D，不是答案；選項(xiàng)C中，設(shè)的逆為P，要證P即為，，即為，選C3.設(shè)階方陣滿足關(guān)系式，其中是階單位矩陣，則必有（D）。A、B、C、D、解：同樣考察矩陣，包括逆矩陣、矩陣乘積等運(yùn)算。由于，一般我們有，因此題目我們可以得出有以下兩種結(jié)果：將與之四個選項(xiàng)對比，明顯選D。4.已知為階正交矩陣，則下列為錯誤的是（A）A、B、也為正交矩陣C、D、解：考察正交矩陣的性質(zhì)，看教材P188：由性質(zhì)1和正交矩陣行列式值有兩種可能，1或-1，故A錯；由性質(zhì)3知也為正交矩陣，故B正確；由性質(zhì)2知，而我們知，因此C項(xiàng)與D項(xiàng)均正確，答案選A。5.下列所指明的各向量組中,(B)中的向量組是線性無關(guān)的.

A.向量組中含有零向量

B.任何一個向量都不能被其余向量線性表出

C.存在一個向量可以被其余向量線性表出

D.向量組的向量個數(shù)大于向量的維數(shù)解：考察線性相關(guān)和無關(guān)的性質(zhì)。首先，零向量與任何向量都是線性相關(guān)的，因此線性無關(guān)的向理組中不可能有零向量，A錯；定理3.7，教材P132，向量組線性相關(guān)充要條件是其中至少有一個向量是其余向量的線性組合，即至少有一個向量可以由其余向量線性表出（見P124定義3.5）,其逆否定題為：任何一個向量都不能被其余向量線性表出則是線性無關(guān)，B正確；C中是使得定理3.5線性相關(guān)成立的條件，故錯誤；D中，向量組的維數(shù)即等于向量組的秩，即是其極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)，若向量組的向量個數(shù)大于向量的維數(shù)，說明極大無關(guān)組不是向量組本身，而只是其子集，說明向量組線性相關(guān)，D錯誤，選擇B。6.下列敘述中，錯誤的有（C）A、若向量正交，則對于任意實(shí)數(shù)也正交B、若向量與向量都正交，則與的任一線性組合也正交C、若向量正交，則中至少有一個零向量D、若向量與任意同維向量正交，則是零向量解：對于A，因，則對于B，因，，則對于C，設(shè),則，但是均為非零向量，C錯。對于D，設(shè),則，同理可證，故是零向量。選C。7.設(shè)為階矩陣，且相似，則以下錯誤的是（C）A、；B、；C、有相同的特征向量；D、有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。解：考察相似的定義及相關(guān)性質(zhì)，教材P117相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，因此，明顯選C。8.若是矩陣，是非齊次線性方程組所對應(yīng)的導(dǎo)出組，則下列結(jié)論正確的是（D）A、若僅有零解，則有惟一解；B、若有非零解，則有無窮多個解；C、若有無窮多個解，則僅有零解；D、若有無窮多個解，則有非零解。解：考察與之間的關(guān)系，請參看教材第三章第五節(jié)。同時要注意到因?yàn)榻獾男问綖椋阂粋€特解+的基礎(chǔ)解系，當(dāng)然它也可以無解；若僅有零解，等價于只有唯一解，即基礎(chǔ)解系就為零，因此要么無解，要么解的形式：一個特解+0（即唯一解），因此A錯；若有非零解，即基礎(chǔ)解系不等于0，則要么無解，要么解的形式：一個特解+的非零基礎(chǔ)解系，即有無窮多解，因此B錯；反過來，若有無窮多個解，則解的形式必為：一個特解+的非零基礎(chǔ)解系，因此有非零解，故C錯，選D。9.設(shè)向量組，則其極大線性無關(guān)組為（C）。A、B、C、D、解:考察極大線性無關(guān)組的定義及求解，設(shè)進(jìn)行初等行變換其中：（1）將第一行的(-1)倍加到第二行,第一行的(-3)倍加到第三行,第一行的（-1）倍加到第四行;（2）將第二行的(-1)倍加到第三行，第一行的（-2）倍加到第四行;（3）互換第三行和第四行；（4）將第二行除以2;（5）將第三行加到第一行；第三行的（-2）倍加到第二行；第二行加到第一行;由于矩陣的初等變換不改變其列向量的線性關(guān)系,故得該向量組有兩個極大線性無關(guān)組，分別為（實(shí)際上,上式只需化簡到(2)后面的矩陣(記為B)即可.對矩陣B,通過觀察可知.）因此，只有選項(xiàng)C符合答案，故選C。三、（8分）計算行列式：解：考察行列式的計算，期間最多用到的就是初等行變換的性質(zhì)。依此類推，作如下的初等行變換四、（10分）已知矩陣，，又，試求矩陣。解：因此，要先求則因此，五、（10分）已知向量組.(1)試求為何值時，向量組線性相關(guān)？(2)試求為何值時，向量組線性無關(guān)？(3)當(dāng)向量組線性相關(guān)時，將表示為和的線性組合。解：設(shè)有數(shù)組，使得寫成方程組即等價于：，其系數(shù)矩陣的行列為：，，則方程組不是僅有唯一解，即有非零解，因此向量組線性相關(guān)當(dāng)，則齊次線性方程組有唯一解，此解必為零解，即此時，向量組線性無關(guān)當(dāng)k=5時，向量組線性相關(guān)，則系數(shù)矩陣的秩小于3，為因此有以下方程成立：，則可取為自由未知量，取=1，則有因此即：因此將表示為和的線性組合為：六、（12分）已知線性方程組求：（1）對應(yīng)齊次方程組的基礎(chǔ)解系；（2）該方程組的通解。解：對方程組的增廣矩陣作初等變換，具體過程如下：從而得出對于齊次方程組AX=0來講，有兩個等式，五個未知量，故讓為自由變量，故為求基礎(chǔ)解系，分別令從而求得基礎(chǔ)解系：故齊次線性方程組解的形式為要求得線性方程組的解，需先求一個特解，我們由令自由變量都等于零，則可以得一個特解為：從而方程組的通解為：七、（15分）已知（1）求非奇異矩陣，使為對角矩陣.（2）求