反比例函數(shù)中及面積有關(guān)的問題

.word.word??反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題知識(shí)點(diǎn)回憶由于反比例函數(shù)解析式及圖象的特殊性，很多中考試題都將反比例函數(shù)與面積結(jié)合起來進(jìn)展考察。這種考察方式既能考察函數(shù)、反比例函數(shù)本身的根底知識(shí)內(nèi)容，又能充分表達(dá)數(shù)形結(jié)合的思想方法，考察的題型廣泛，考察方法靈活，可以較好地將知識(shí)與能力融合在一起。下面就反比例函數(shù)中與面積有關(guān)的問題的幾種類型歸納如下:利用反比例函數(shù)中|k|的幾何意義求解與面積有關(guān)的問題kV=—設(shè)P為雙曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作X軸、y軸的垂線PM、PN,垂足分別為M、N,那么兩垂線段與坐標(biāo)軸所圍成的的矩形PMON的面積為S=|PM|x|PN|=|y|x|x|=|xy|.._對(duì)7一x.?.xy=k故S=|k|從而得結(jié)論1：過雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，所得矩形的面積S為定值|k|對(duì)于以下三個(gè)圖形中的情形，利用三角形面積的計(jì)算方法和圖形的對(duì)稱性以及上述結(jié)論，可得出對(duì)應(yīng)的代I面積的結(jié)論為：結(jié)論2：在直角三角形ABO中，面iS=結(jié)論3：在直角三角形ACB中，面積為S=2|k|結(jié)論4：在三角形AMB中，面積為S=|k|類型之一k與三角形的面積探1、如圖，雙曲線『=k〔k>0〕經(jīng)過直角三角形OAB斜邊0B的中點(diǎn)D,與直x角邊AB相交于點(diǎn)C?假設(shè)AOBC的面積為6,那Nk=.最正確答案過D點(diǎn)作DE丄x軸，垂足為E,由雙曲線上點(diǎn)的性質(zhì)，得S△AOC=S^DOE=1k,2■/DE丄x軸，AB丄x軸，HYPERLINK/.DEIIAB，.?.△OABs△OED，

又tOB=2OD,/.S△OAB=4S△DOE=2k,由S△OAB-S△OAC=S△obc,得2k-1k=6,2解得：k=4.2、如圖1-ZT-1，分別過反比例函數(shù)y=2018(x>0)的圖象上任意兩點(diǎn)A、B作xx軸的垂線，垂足分別為C、D，連接OA、OB，設(shè)AAOC和厶BOD的面積分別是S、S，比擬它們的大小，可得12,A.S>Sb.s=sc.s<sd.s、s大小不確定。121212123、在以下圖形中，陰影局部面積最大的是〔C〕4、如圖1-ZT-3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是函數(shù)y=k〔x<0〕圖象上的點(diǎn),x過點(diǎn)A作y軸的垂線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在x軸上，假設(shè)AABC的面積為1,那么k的值為

J-k5、探如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在函數(shù)；〔k<O,x<0〕的圖象上,過點(diǎn)A作人3〃『軸交x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C在y軸上，連結(jié)AC、BC.假設(shè)AABC的面積是3,那么k=_.試題分析：設(shè)點(diǎn)心的坐標(biāo)宵S—廠由點(diǎn)直的坐標(biāo)結(jié)合△期c的面積即可得m>￡曾=-AB-0B=—X（-皿）電解得宙-6?'7附6、如圖1-ZT-4,AOAC和^BAD都是等腰直角三角形,ZACO=ZADB=90°,反比例函數(shù)『=k在第一象限的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，假設(shè)OA2-AB2=8,那么k的值為x試題解析；設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為S,■-■AOAC和AEAD都是等腰直角三角形，.'.OA=n/yACjAB=血JOC=AC,AD=*D』■.■0A^AB:=8j；.2ACZ-2ADZ=8,即ACz-ADz=4,.'.(AC+AD)CAC-AB)=4,.'.(OC+ED)-CD=4,.'.3^=4^.-.k=4.類型之二k與平行四邊形的面積7、※如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是函數(shù)y=E〔k<0,x<0〕圖象上的點(diǎn)，過點(diǎn)A與xy軸垂直的直線交y軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C、D在x軸上，且BC//AD.假設(shè)四邊形ABCD的面積為3,那么k值為優(yōu)質(zhì)解答.word...word..tAB丄tAB丄y軸,.?.ABIICD,tBC//AD,.四邊形abcd是平彳丁四邊形，.四邊形AEOB的面!R=AB?OE,tS平行四邊形ABCD=AB?CD=3,.四邊形AEOB的面積=3,???|k|=3,■/<0,/.k=-3,故答案為：-3.8、如圖，菱形0ABC的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為〔3,4〕，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上，反比例函數(shù)y=k(x>0)的圖象經(jīng)過頂點(diǎn)B,那么k的值為〔〕。xA.12B.20C.24D.32.word.word??答案:???C的坐標(biāo)為〔3,4〕，/.CD=4,OD=3,tCB//AO,???B的縱坐標(biāo)是4,???OC=\CD2OD2=5,AO=OC=5,???四邊形coab是菱形，B的橫坐標(biāo)是8,.?.k=8x4=32,應(yīng)選D.

9、如圖1-ZT-6,函數(shù)y=-x與y=-4的圖象相交于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B兩點(diǎn)x作y軸的垂線，垂足分別為C、D,那么四邊形ACBD的面積為〔〕。C.6D.C.6D.8分析：首先根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向△AOC坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積汀關(guān)系即S=2同，得出△AOC=S△odb=2,再根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性可知OC=OD，AC=BD，即可求出四邊形ACBD的面積.解答:解：???過函數(shù)y=-4的圖象上A，B兩點(diǎn)分別作y軸的垂線，垂足分別為x點(diǎn)C，D，S=S=|k|=2，△AOC△ODB2又■/OC=OD，AC=BD，/.S=S=S=S=2，△AOC△ODA△ODB△OBC/■四邊形ABCD的面積為：S+S+S+S=4x2=8.△AOC△ODA△ODB△OBC應(yīng)選D.點(diǎn)評(píng)：此題主要考察了反比例函數(shù)y=k中k的幾何意義，即過雙曲線上x任意一點(diǎn)引X軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|；圖象上的點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=1|k|,是經(jīng)常考察的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)；同時(shí)考察了反比例函數(shù)圖象的對(duì)2稱性■10、如圖1-ZT-7,點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=2(x>0)的圖象上任意一點(diǎn)，ABx〃x軸交反比例函數(shù)y=-3的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作DABCD，其中點(diǎn)xC、D在x軸上，那么DABCD的面積未〔〕。A.2B.3C.4D.5」1心b/CODX11、如圖、1-ZT-8,在口ABOC中，兩條對(duì)角線交于點(diǎn)E，雙曲線『=k(k<0)的一x支經(jīng)過C、E兩點(diǎn)，假□ABOC的面積為10,那么k的值是〔〕。A.-5B.-10C.-4D.-523分析:設(shè)E的坐標(biāo)是(mrn)r則mn=kr平行四邊形超。匚中E是0A的中點(diǎn)r卿A的坐標(biāo)是:(2m「卽)「匸的縱樂標(biāo)是前「表示岀匸的橫坐標(biāo)’則可以得到M即0君的長(zhǎng)「然后根?平&四邊形的面積公式即可求彳尋啲值?倍「解：設(shè)E的塑標(biāo)是(mrr)「ffl!Jmn=k「「平行四邊形A盹匚中E是。A的中點(diǎn)，皿的壘標(biāo)是：(2mr2n)r匚的縱坐標(biāo)是2門rL-L-把尸加弋入/二匚得：匕云「即C的橫坐標(biāo)是：云..-.OB=AC~如「0呂邊上的高是2nfk■-(云-2m)-2n=10,gpic-4rnn=1Or；.k-4k=Wr故選占.馬罕，本題是乎形四邊形與反I：期固數(shù)的綜合應(yīng)用r根JBE點(diǎn)的坐樁表示出AC：的長(zhǎng)度是關(guān)鍵.類型之三k與矩形的面積12、如圖1-ZT-9,A、B兩點(diǎn)在雙曲線y=4上，分別過A、B兩點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂x〔〕。D.〔〕。D.無法確定k13、如圖1-ZT-10,反比例函數(shù)y=；〔x>0〕的圖象經(jīng)過矩形0ABC對(duì)角線的交點(diǎn)M,分別與AB、BC相交于點(diǎn)D、E,假設(shè)四邊形0DBE的面積為9,那么k的值為〔〕。A.1B.2C.3D.4考點(diǎn)：八、、?反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.專題：數(shù)形結(jié)合.分析：此題可從反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)E、M、D入手，分別找出△OCE、△OAD、矩形0ABC的面積與|k|的關(guān)系，列出等式求出k值.解答：k解：由題意得：E、M、D位于反比例函數(shù)圖象上，那么SAOCE=2,SA0AD=2,過點(diǎn)M作MG丄y軸于點(diǎn)G，作MN丄x軸于點(diǎn)N,那么S^ONMG=|k|,又tM為矩形ABC0對(duì)角線的交點(diǎn)，/.S矩形ABCO=4SDONMG=4|k|,

由于函數(shù)圖象在第一象限，k>0,那么P+P+9=4k,解得：k=3.應(yīng)選C.0NAa-點(diǎn)八、、評(píng)：此題考察反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點(diǎn)分別向兩條坐標(biāo)軸作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積就等于|k|，本知識(shí)點(diǎn)是中考的重要考點(diǎn)，同學(xué)們應(yīng)高度關(guān)注.v=-(x>0)k14、如圖1-ZT-11,反比例函數(shù)y=：〔,k>0〕的圖象與矩形ABC0的兩邊相交于E、F兩點(diǎn)，假設(shè)E是AB的中點(diǎn)，S=2,那么k的值為?！鰾EF

分析：設(shè)E〔a,k〕，那么B縱坐標(biāo)也為k，代入反比例函數(shù)的y=aax即可求得F的橫坐標(biāo)，那么根據(jù)三角形的面積公式即可求得k的值.解：設(shè)E〔a,k〕，那么B縱坐標(biāo)也為k,aaE是AB中點(diǎn)，所以F點(diǎn)橫坐標(biāo)為2a,代入解析式得到縱坐標(biāo)：土,2aBF=k-JL=JL，所以F也為中點(diǎn),a2a2aS=2=￡,k=8.△bef4故答案是：8.點(diǎn)評(píng)：此題考察了反比例函數(shù)的性質(zhì)，正確表示出BF的長(zhǎng)度是關(guān)鍵.k15、如圖1-ZT-12,點(diǎn)P、Q是反比例函數(shù)y=x圖象上的兩點(diǎn)，PA丄y軸于點(diǎn)A,QN丄x軸于點(diǎn)N,PM丄x軸于點(diǎn)M,QBy軸于點(diǎn)B，連接PB、QM,^ABP的面積記為S,△QMN的面積記為記為S,△QMN的面積記為S,那么SS2（填“>"“<"或“="）iQ-'MNk16、如圖1-ZT-13,在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形0ABC的邊0A、0C分別在x軸和y軸上，其中0A=6,0C=3,反比例函數(shù)y=：〔,k>0〕的圖象經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E?！?〕k的值為；〔2〕猜測(cè)△的面積與△的面積之間的關(guān)系，并說明理由。答案：〔1〕9；〔2〕SAOCD=SAOBE，理由見解析.【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)題意得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可得出k的值：t0A=6,OC=3,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，?.D〔3,3〕.???反比例函數(shù)〔x>0〕的圖象經(jīng)過點(diǎn)D,「.k=3x3=9.〔2〕根據(jù)三角形的面積公式和點(diǎn)D,E在函數(shù)的圖象上，可得出S^OCD=S^OAE，再由點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，可得出S^OCD=S^OB...類型之四k與多邊形的面積17、如圖1-ZT-14所示，過點(diǎn)A〔2,-1〕分別作y軸、x軸的平行線交雙曲線

y=-于點(diǎn)B、c,過點(diǎn)C作CE丄x軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BD丄y軸于點(diǎn)D，連接ED,x假設(shè)五邊形ABDEC的面積為34,那么k的值為。18、如圖1-ZT-14,點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=k〔k>0,x>0〕圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，x1過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交反比例函數(shù)y=佇x〔k<0,且|k|<k〕的圖象于E、F兩點(diǎn)。221圖1中，四邊形PEOF的面iS=〔用含k、k的式子表示〕；112圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔2,3〕，①點(diǎn)E的坐標(biāo)是〔,〕，〕〔用含k2的式子表示〕；〕〔用含k2的式子表示〕；點(diǎn)F的坐標(biāo)是〔.word...word..解答：（1）vP是點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=￡〔k>0,x>0〕圖象上一動(dòng)點(diǎn)，.?.S=kTOC\o"1-5"\h\zx1tE、F分別是反比例函數(shù)y=k〔k<0且|k|<k〕的圖象上兩點(diǎn)，x221/.SAOBF=SAAOE=1|k|,22四邊形PEOF的面積s=s+S+S=k+|k|,1矩形PBOAAOBFAAOE12Tk<0,2四邊形PEOF的面積S=S+S+S=k+|k|=k-k.1矩形PBOAAOBFAAOE1212〔2〕①tPE丄x軸，PF丄y軸可知，P、E兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)一樣，P、F兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)一樣，???E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E〔2,k2〕，F(xiàn)〔k2,3〕；23②tP〔2,3〕在函數(shù)y=k的圖象上，x?k=6,1tE、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為E〔2,k〕，F(xiàn)〔k,3〕；TOC\o"1-5"\h\z23?PE=3-k,PF=2-k223z.SAPEF=1〔3-k〕〔2-k〕=（6—k2）222312.?.SAOEF=〔k-k〕-（6_k2）2121236-k2c2~12.word.word??.?.k=±22Tk<0,2.■?k=-2..?.y=——2題型之五：k與面積綜合16、如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=12〔x>0〕x圖像上任意一點(diǎn)，以P為圓心，P0為半徑的圓與坐標(biāo)軸分別交于A、B。(1)求證：線段AB為OP的直徑；求△AOB的面積。如圖2,Q是反比例函數(shù)y=12〔x>0〕圖像上異于點(diǎn)P的另一點(diǎn)，以Q為x圓心，QO為半徑畫圓與坐標(biāo)軸分別交于點(diǎn)C、D。求證：DO?OC=BO?OA。L)證明：■.■ZAOB=9011,SZAOB是的中弦AB所對(duì)的圓周角,二陽(yáng)是①卩的直徑.⑵解：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)対<m,n)<m>0,n>0),丁點(diǎn)P是反比例III數(shù)Y=—<^>0)團(tuán)象上一點(diǎn)'.'.mii=42■I如答飢過點(diǎn)F作PXIlx軸于點(diǎn)M,PN丄y軸于點(diǎn)汕則OM=m,ON=n.由垂徑定理可知，點(diǎn)引為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N為Cffi中點(diǎn)；.■-OA=2OMr=2m^OB=2ON=2nj.'.S^\ob=—3-0*0A=—x2nx.2iiL=2mn=2x12=2斗.22C3)■-證明::若點(diǎn)Q為反比例團(tuán)數(shù)y=—(x>0>團(tuán)象上異干點(diǎn)P的另一點(diǎn),x參照(2〉』［司理可得；Scdd=-00*CO245.2則有：SicoD^s^AOE^-,即1bo*oa=1do-co,22反比例函數(shù)相關(guān)練習(xí)題1.如圖，直Sy=-x上有一長(zhǎng)為J2動(dòng)線段MN,作MH、NP都平行y軸交在條件〔2〕下，第一象限內(nèi)的雙曲Sy=k