隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析

關于隨機信號通過線性系統(tǒng)的分析第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/721

系統(tǒng)分類確定系統(tǒng)隨機系統(tǒng)線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/731

線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)x(t)y(t)線性時不變第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/741

信號通過線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)

h(t)x(t)y(t)時域頻域系統(tǒng)的沖激響應系統(tǒng)的傳輸函數(shù)第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/751

線性系統(tǒng)卷積定理：時域卷積定理：若給定兩個時間函數(shù)已知，則頻域卷積定理：第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/761

線性系統(tǒng)系統(tǒng)是線性的、時不變的、穩(wěn)定且物理可實現(xiàn)(因果性)穩(wěn)定：系統(tǒng)的沖激響應是絕對可積物理可實現(xiàn)：當t<0時，有h(t)=0第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/77線性系統(tǒng)1隨機信號通過線性系統(tǒng)2白噪聲通過線性系統(tǒng)3隨機序列通過線性系統(tǒng)4第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/782

隨機信號通過線性系統(tǒng)一個線性時不變系統(tǒng)可以完整地由它的沖激響應(或傳輸函數(shù))來表征。理論上，根據(jù)輸入隨機信號的統(tǒng)計特性，就能確定一個已知線性系統(tǒng)輸出的統(tǒng)計特性。一種特殊情況，當輸入為高斯過程時輸出也是高斯過程。第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/792.1

隨機信號通過線性系統(tǒng)的時域分析線性系統(tǒng)輸出的時域數(shù)字特征：數(shù)學期望均方值自相關函數(shù)互相關函數(shù)線性系統(tǒng)輸出的頻域數(shù)字特征：功率譜密度第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7102.1

時域分析—均值設線性系統(tǒng)輸入X(t)為平穩(wěn)隨機過程，其均值為

對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)系統(tǒng)輸出隨機信號的均值是常數(shù)第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7112.1

時域分析—均方值由于X(t)為平穩(wěn)隨機過程，對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7122.1

時域分析—自相關函數(shù)當一個寬平穩(wěn)隨機信號輸入到線性時不變穩(wěn)定系統(tǒng)時，其輸出隨機信號也是寬平穩(wěn)的。對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7132.1

時域分析—自相關函數(shù)若輸入隨機過程是嚴平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也將是嚴平穩(wěn)的；若輸入是各態(tài)歷經(jīng)過程，則輸出也具有各態(tài)歷經(jīng)性。第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7142.1

時域分析—互相關函數(shù)若X(t)是平穩(wěn)過程，則第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7152.1

時域分析—互相關函數(shù)輸入X(t)是平穩(wěn)過程輸出Y(t)也是平穩(wěn)過程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的

第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7162.1

時域分析—系統(tǒng)輸入為隨機過程與加性噪聲

線性系統(tǒng)h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t)假設隨機過程X1(t)、X2(t)是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的，它們之和X(t)通過線性系統(tǒng)后，產(chǎn)生對應的兩個隨機過程Y1(t)、Y2(t)之和Y(t)，可證得(1)Y1(t)、Y2(t)是各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的；(2)X(t)和Y(t)也是聯(lián)合平穩(wěn)的。第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7172.1

時域分析—系統(tǒng)輸入為隨機過程與加性噪聲若輸入的兩個平穩(wěn)過程X1(t)和X2(t)是不相關的，則有若輸入的兩個平穩(wěn)隨機過程的數(shù)學期望為零，則有

線性系統(tǒng)h(t)X1(t)X2(t)X(t)Y(t)第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7182.2

隨機信號通過線性系統(tǒng)的頻域分析頻域分析——功率譜密度自關函數(shù)和功率譜密度的關系——傅里葉變換對(1)線性系統(tǒng)輸出的功率譜密度(2)系統(tǒng)輸入與輸出間互功率譜密度第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7192.2

頻域分析—系統(tǒng)輸出的功率譜密度輸出自相關函數(shù)和功率譜密度的關系由輸入和輸出的功率譜密度可確定系統(tǒng)的幅頻特性系統(tǒng)的功率傳輸函數(shù)

第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7202.2

頻域分析—系統(tǒng)輸出的平均功率系統(tǒng)輸出的平均功率第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7212.2

頻域分析—系統(tǒng)輸入與輸出間互功率譜密度系統(tǒng)輸入與輸出間的互相關函數(shù)系統(tǒng)輸入與輸出間的互功率譜密度由和互功率譜密度的測量可以確定線性系統(tǒng)傳輸函數(shù)

第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7222.2

頻域分析—系統(tǒng)輸入為兩個平穩(wěn)隨機信號若輸入是兩個聯(lián)合平穩(wěn)的隨機過程X1(t)和X2(t)之和，則有輸出功率譜密度

第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/723若輸入的兩個聯(lián)合平穩(wěn)的隨機過程X1(t)和X2(t)是不相關的輸出功率譜密度

2.2

頻域分析—系統(tǒng)輸入為兩個平穩(wěn)隨機信號第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7242.2頻域分析—系統(tǒng)輸入為兩個平穩(wěn)隨機信號若輸入的兩個聯(lián)合平穩(wěn)的隨機過程X1(t)和X2(t)的數(shù)學期望均為0輸出功率譜密度

第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/725線性系統(tǒng)1隨機信號通過線性系統(tǒng)2白噪聲通過線性系統(tǒng)3隨機序列通過線性系統(tǒng)4第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7263

白噪聲通過線性系統(tǒng)白噪聲是具有均勻功率譜密度的平穩(wěn)隨機過程系統(tǒng)輸出功率譜密度

設線性系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為，輸入白噪聲功率譜密度為

輸入信號是白噪聲，則輸出隨機信號的功率譜主要是由系統(tǒng)的幅頻特性決定；系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過，具有一定的選擇性。第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7273

白噪聲通過線性系統(tǒng)——輸出自相關函數(shù)系統(tǒng)輸出功率譜密度

系統(tǒng)輸出自相關函數(shù)系統(tǒng)輸出平均功率第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7283

白噪聲通過線性系統(tǒng)——等效噪聲帶寬在一般的線性系統(tǒng)中，通常用3dB帶寬來表示系統(tǒng)對輸入確定信號頻譜的選擇性；等效噪聲帶寬則用來描述系統(tǒng)對輸入白噪聲功率譜的選擇性。它們都僅由系統(tǒng)本身的參數(shù)決定。

第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日當系統(tǒng)比較復雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實際系統(tǒng)，在等效時要用到一個非常重要的概念——等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。若在保持平均功率不變的條件下，把實際系統(tǒng)輸出功率譜密度等效成一定帶寬內(nèi)為均勻的功率譜密度。若等效的功率譜密度的高度為則這個帶寬就定義為等效噪聲帶寬2023/3/7293

白噪聲通過線性系統(tǒng)——等效噪聲帶寬

等效原則：平均功率相等等效系統(tǒng)的功率譜密度第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日計算實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵

消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為

理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為等效噪聲帶寬第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

對于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在＝0處，即對于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路)

的最大值出現(xiàn)在處，即第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日3

隨機過程的帶寬第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日3

隨機過程的帶寬

信號的等效均方帶寬：

定義為歸一化功率譜密度的標準差。第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日3

隨機過程的帶寬第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關系數(shù)

輸出相關時間

3

白噪聲通過理想低通系統(tǒng)第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關系數(shù)

輸出相關時間

3

白噪聲通過理想低通系統(tǒng)第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關系數(shù)

輸出相關時間

3

白噪聲通過理想低通系統(tǒng)第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關系數(shù)

輸出相關時間

3

白噪聲通過理想低通系統(tǒng)第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關系數(shù)

輸出相關時間

3

白噪聲通過理想低通系統(tǒng)第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A0設白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關系數(shù)

輸出相關時間

該式表明：輸出隨機信號的相關時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越寬，相關時間越小，輸出隨機信號隨時間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機信號隨時間變化就越緩慢。

3

白噪聲通過理想低通系統(tǒng)第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日A|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。3

白噪聲通過理想帶通系統(tǒng)第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為

3

白噪聲通過理想帶通系統(tǒng)第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日輸出相關函數(shù)為

3

白噪聲通過理想帶通系統(tǒng)第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日輸出自相關函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當滿足時，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)?？梢娛荝Y()的慢變化部分是RY()的包絡。而是RY()的快變化部分．

理想帶通系統(tǒng)輸出的相關函數(shù)等于其相應的低通系統(tǒng)輸出的相關函數(shù)與的乘積。3

白噪聲通過理想帶通系統(tǒng)第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日3

白噪聲通過理想帶通系統(tǒng)第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日輸出的相關系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關時間是由相關系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關時間與低通系統(tǒng)的相關時間一致：3

白噪聲通過理想帶通系統(tǒng)第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜系統(tǒng)輸出功率譜為

3

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜輸出相關函數(shù)

3

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜輸出相關函數(shù)

3

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜輸出平均功率

相關系數(shù)3

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應為：設輸入白噪聲的功率譜

等效噪聲帶寬相關時間3

白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7523

最佳線性濾波器

很多應用中需要在噪聲背景中檢測微弱信號，接收機輸出的信噪比越高，越容易估計信號，所以通常以輸出信噪比最大作為準則來設計接收機。特別的當噪聲是白噪聲時，最佳濾波器稱為匹配濾波器。第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/753線性系統(tǒng)1隨機信號通過線性系統(tǒng)2白噪聲通過線性系統(tǒng)3隨機序列通過線性系統(tǒng)4第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7544

隨機序列通過線性系統(tǒng)隨機序列通過線性系統(tǒng)后統(tǒng)計特性改變

自相關函數(shù)(2)功率譜密度

隨機序列通過兩類系統(tǒng)(1)一階FIR濾波器（MA模型）q階非遞歸濾波器(2)一階遞歸濾波器（AR模型）p階遞歸濾波器第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7554

隨機序列通過一階FIR濾波器

一階FIR濾波器

當a=b=1/2時，平均器b0b1(n)1nnh(n)系統(tǒng)的沖擊響應是有限長度的系統(tǒng)是穩(wěn)定的，因果的。第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)的傳遞函數(shù)取a=1,b=1輸入均值為零，相關函數(shù)為RX(m)m功率譜為相關函數(shù)是有限長度的，X(n)一定是平穩(wěn)的第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7574

隨機序列通過q階非遞歸濾波器

輸出的自相關函數(shù)q階非遞歸濾波器

（滑動平均movingaverage模型）

該濾波器也稱為橫向濾波器（TransversalFilter)，濾波器一定是穩(wěn)定的和因果的（Stableandcausal）這是一個全零濾波器第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7584

隨機序列通過一階遞歸濾波器

一階遞歸濾波器

第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H()系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：|a|<1第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日均值：mx=E[y(n)]=0假定X(0)=0自相關函數(shù)為：y(n)是非平穩(wěn)的，但當|a|<1時是漸近平穩(wěn)的。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件和漸近平穩(wěn)的條件相同第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7614

隨機序列通過一階遞歸濾波器

一階遞歸濾波器

這種濾波器具有“無限長”的記憶，因而對所有的k值輸出的自相關函數(shù)均不嚴格為零，即所有的輸出時刻對應的隨機變量都是相關的。然而，當樣本之間的間隔k增加時，可以預料到自相關函數(shù)將減小。這表明了隨時間間隔的增加，相互依存性減少（濾波器的記憶隨時間增大而減?。５?1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期日2023/3/7624

隨機序列通過p階遞歸濾波器

p階遞歸濾波器

（自回歸Autoregresive模型）這是一個全極點濾波器第62頁，共68頁，2023