第2章極限與連續(xù)

第2章極限與連續(xù)數(shù)列與函數(shù)的極限2.1無窮大量與無窮小量2.2極限的運算法則2.3極限存在的準(zhǔn)則和兩個重要極限2.4函數(shù)的連續(xù)性2.52.1數(shù)列與函數(shù)的極限

極限的思想源于某些實際問題的精確求解(例如圓的面積)。極限方法是高等數(shù)學(xué)的基本方法。本節(jié)將介紹數(shù)列和函數(shù)極限的概念和性質(zhì)。

2.1.1數(shù)列的極限與性質(zhì)

1.數(shù)列定義1無窮多個數(shù)有順序地排成一列x1,x2,…,xn,…稱為數(shù)列,記為{xn},其中xn

稱為一般項或通項。顯然,數(shù)列的項是其下標(biāo)的函數(shù),因此數(shù)列還可以表示為

xn=f(n),n∈N+在初等數(shù)學(xué)中,我們關(guān)心數(shù)列的通項公式以及前n項的和,現(xiàn)在我們要研究:當(dāng)n無限增大時,數(shù)列的整體變化趨勢。以上討論的3個數(shù)列有共同的特性:當(dāng)n無限增大時,其通項都無限接近某個常數(shù)。把這種特性抽象出來,就形成了極限的定義。

2.數(shù)列的極限概念定義2設(shè){xn}為一數(shù)列,如果存在常數(shù)a,當(dāng)n無限增大時,xn

無限接近常數(shù)a,則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限,或者說數(shù)列{xn}收斂于a,記為如果不存在這樣的常數(shù)a,則稱數(shù)列{xn}沒有極限,或者說數(shù)列{xn}發(fā)散。由數(shù)列極限的定義和例1的分析可知由數(shù)列極限的定義可知,數(shù)列收斂于a是指:n無限增大時,后邊的所有項都要整體地?zé)o限接近常數(shù)a。為了描述這種整體性和無限接近的趨勢,我們引入極限的數(shù)量化定義。定義2‘(ε-N定義)設(shè){xn}為一數(shù)列,如果存在常數(shù)a,對于任意給定的正數(shù)ε(不論它多么小),總存在正整數(shù)N,使得當(dāng)n>N時恒有|xn-a|<ε則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限,或者說數(shù)列{xn}收斂于a,記為如果不存在這樣的常數(shù)a,則稱數(shù)列{xn}沒有極限,或者說數(shù)列{xn}發(fā)散。該定義表明:無論你想象到的正數(shù)ε有多小,總能找到一個確定界限N,使得數(shù)列從N+1開始以后的所有項到固定常數(shù)a的距離都比ε還要小。這樣就精確描述了整體無限接近的趨勢。

3.收斂數(shù)列的性質(zhì)定理1(極限的唯一性)如果數(shù)列{xn}收斂,則它的極限是唯一的。借助數(shù)列極限的幾何意義說明定理的正確性。對于數(shù)列{xn},如果存在正數(shù)M,使得對一切xn都有xn≤M,則稱數(shù)列{xn}有界;如果這樣的正數(shù)M不存在,則稱數(shù)列{xn}無界。定理2(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂,則數(shù)列{xn}必有界。由定理2可知,有界是數(shù)列收斂的必要條件。我們常用該定理判斷數(shù)列發(fā)散。例如,{(-1)nn}的通項的絕對值(-1)nn=n,故{(-1)nn}無界,所以{(-1)nn}必發(fā)散。注意,有界數(shù)列不一定收斂。例如,數(shù)列{(-1)n}的通項xn≤1,是有界數(shù)列,但該數(shù)列發(fā)散。若a>0,適當(dāng)選取ε(a-ε>0),如圖2-3所示。由幾何意義可知,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時,一切xn

要落在(a-ε,a+ε)內(nèi),故有xn>0。定理4如果數(shù)列{xn}收斂于a,則數(shù)列{xn}的任何子數(shù)列都收斂,且收斂于a。由定理4可知,若{xn}的兩個子數(shù)列收斂于不同的數(shù),則{xn}必發(fā)散。故原數(shù)列發(fā)散。

2.1.2函數(shù)的極限與性質(zhì)

1.x→∞時函數(shù)f(x)的極限定義3設(shè)函數(shù)f(x)當(dāng)|x|大于某一正數(shù)時有定義,當(dāng)自變量趨于無窮大(x→∞)時,若函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)A,則稱x→∞時函數(shù)f(x)的極限為A,記為定義4設(shè)函數(shù)f(x)在形如[a,+∞)的區(qū)間上有定義,當(dāng)自變量趨于正無窮(x→+∞)時,若函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)A,則稱x→+∞時函數(shù)f(x)的極限為A,記為定義5設(shè)函數(shù)f(x)在形如(-∞,b]的區(qū)間上有定義,當(dāng)自變量x趨于負(fù)無窮(x→-∞)時,若函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)B,則稱x→-∞時函數(shù)f(x)的極限為B,記為

2.x→x0時函數(shù)f(x)的極限定義6設(shè)函數(shù)f(x)在點x0

的某一去心鄰域(x0)內(nèi)有定義,若當(dāng)自變量x無限趨近x0(x→x0)(不取x0)時,函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)A,則稱x→x0

時函數(shù)f(x)的極限為A,記為由定義可知,x→x0

時函數(shù)f(x)的極限描述了自變量x在無限趨近x0

這種變化過程中,函數(shù)f(x)的變化趨勢。因此,該極限是否存在以及極限為何值,與函數(shù)在x0

點有無定義以及函數(shù)值是多少都無關(guān);另外,x趨近x0

有兩個方向(左側(cè)和右側(cè)),x不論從哪個方向無限趨近x0,函數(shù)f(x)都要無限接近同一個常數(shù),極限才能存在。把定義6中自變量的變化趨勢改為x由x0

的某一側(cè)無限趨近x0,則得到單側(cè)極限的概念。定義7若當(dāng)x從x0

的左側(cè)(x<x0)(或右側(cè)(x>x0))無限趨近x0

時,函數(shù)f(x)無限接近某個常數(shù)A(或B),則稱x→x0(或x→x0)時函數(shù)f(x)的左極限(右極限)為A(或B),記為關(guān)于函數(shù)在一點處的極限和單側(cè)極限有如下關(guān)系。

3.函數(shù)極限的性質(zhì)類似于數(shù)列極限,函數(shù)極限有如下性質(zhì)。

2.2無窮大量與無窮小量無窮量是一類重要的極限,在證明極限的性質(zhì)和計算中起著基礎(chǔ)性的作用。本節(jié)介紹無窮大量和無窮小量、無窮小量的性質(zhì)以及無窮小量的應(yīng)用。2.2.1無窮大量定義1如果當(dāng)x→x0(或某一變化過程中)時,|f(x)|無限增大,則稱函數(shù)f(x)為x→x0

時(或該變化過程中)的無窮大量,簡稱無窮大,記為特別地,若在某一變化過程中,f(x)無限增大(可大于任一正數(shù)),則稱f(x)為該變化過程中的正無窮大量,簡稱正無窮大,記為

limf(x)=+∞若在某一變化過程中,f(x)無限減小(可小于任一負(fù)數(shù)),則稱f(x)為該變化過程中的負(fù)無窮大量,簡稱負(fù)無窮大,記為limf(x)=-∞定義中的變化過程可以是:x→x0,x→x0

(x0),x→∞(±∞),n→∞等。

2.2.2無窮小量定義2如果在自變量的某種變化過程中,變量α的極限為零,即limα=0則稱α為這種變化過程中的無窮小量,簡稱無窮小。2.2.3無窮小的比較2.3極限的運算法則

本節(jié)介紹函數(shù)極限的四則運算以及復(fù)合函數(shù)的極限。

2.3.1極限的四則運算由無窮小和變量極限的關(guān)系以及無窮小的性質(zhì),可得到函數(shù)極限的四則運算法則。2.3.2復(fù)合函數(shù)的極限2.4極限存在的準(zhǔn)則和兩個重要極限本節(jié)首先介紹兩個極限存在的充分條件:夾逼準(zhǔn)則和單調(diào)有界定理,然后根據(jù)這兩個條件推導(dǎo)出兩個重要極限:,最后介紹利用等價無窮小求極限的方法。

2.4.1極限存在的準(zhǔn)則此準(zhǔn)則也適用于其他變化趨勢下的極限,例如x→∞,x→x+0等。特別地,對于數(shù)列我們也有類似的夾逼準(zhǔn)則。定義1如果數(shù)列{xn}滿足x1≤x2≤…≤xn≤xn+1≤…,則數(shù)列{xn}稱為單調(diào)增加數(shù)列;如果數(shù)列{xn}滿足x1≥x2≥…≥xn

≥xn+1≥…,則數(shù)列{xn}稱為單調(diào)減小數(shù)列。單調(diào)增加數(shù)列和單調(diào)減少數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限。

2.4.2兩個重要極限2.4.3等價無窮小量求極限該極限的計算是錯誤的。兩個等價無窮小量的差應(yīng)該是它們的高階無窮小,而不一定是0。因此,在和式和差式中,等價無窮小的代換要謹(jǐn)慎使用,一般情況下求出的極限不是0或∞可以放心替換。該極限的正確求法為2.5函數(shù)的連續(xù)性

許多自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象都是不斷變化的,例如樹木生長、四季更迭、水滴石穿等。這些變化都具有一定的連續(xù)性,即在很短的時間內(nèi)現(xiàn)象的變化也很微小。這一特性在數(shù)學(xué)上稱為函數(shù)的連續(xù)性,即自變量變化很小時,函數(shù)的變化量也很小。本節(jié)介紹函數(shù)連續(xù)的概念、間斷點的分類、初等函數(shù)的連續(xù)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2.5.1連續(xù)的概念和性質(zhì)2.5.2初等函數(shù)的連續(xù)性

1.連續(xù)函數(shù)的運算由極限性質(zhì)可得到連續(xù)函數(shù)的如下性質(zhì)。總結(jié)以上,所有的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)。由于初等函數(shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算和復(fù)合得到的,因而所有的初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間。有些函數(shù)的定義域為孤立點,不能形成區(qū)間,因而函數(shù)在該點沒有極限也就無法連續(xù)。例如,初等函數(shù)

2.5.3函數(shù)的間斷點定義5若函數(shù)y=f(x)在x0

的某去心鄰域內(nèi)有定義,但在x0

處不連續(xù),則稱f(x)在x0

處間斷,稱x0

為f(x)的間斷點。根據(jù)單側(cè)極限的存在性,可將間斷點分為兩類。定義6若函數(shù)y=f(x)在x0

處左右極限都存在,但函數(shù)在x0

處不連續(xù),則稱x0

為f(x)的第一類間斷點。若函數(shù)y=f(x)在x0

處至少一個單側(cè)極限不存在,則稱x0

為f(x)的第二類間斷點。

2.5.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有幾個重要的性質(zhì),現(xiàn)以定理的形式給出。定理5(有界性最值定理)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上一定有界,且可以取到最大值和最小值。定理6(零點定理)設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號,則至少存在一點ξ∈(a,b)使得