第2課件1.1橋梁內力影響線

一、影響線的基本概移動荷最不利荷載位（移動荷載的最不利荷載位置。影響P=1表示單位荷載移動到該位置，該。影響線是研究移動荷載的最不利位置和計算內力、位移最大值小值的有效工具移動荷載通常是由多個間距不變的豎向集中荷載或豎向均布荷載所組P1量值的變化規(guī)律，然后根據(jù)線性疊加原理進一步研究各種實際移動荷載作圖1a為一簡支梁，當豎向單位集中荷載P1在梁上移動時，支座反力的變化規(guī)律及其圖形。繪制影響線的基本方法有兩種，靜力法和機動法。

P=1 a B

RA R b

用靜力法繪制影響線時，可先把荷載P放在任意位置，根據(jù)所選坐標系，以橫坐標x與荷載P1x之間的關系。表示這種關系的方程稱為影響線方程。根據(jù)方程即可做出影響單跨簡支梁的影響1.反力影響求圖2a所示簡支梁反力RA線，可取A為坐標原點，以x表示

B 載P=1距坐標原點A的距離，取全 作 體，由平衡條件 a

設反力向上為正，則∑MB=RA?l—P(l—由此可 Plx1

b 0 當x0時，RA當xl時，RA圖2b即為RA的影響線圖形根據(jù)影響線定義，RA影響線中 A a)該處時反力RA的大小。同時RA的 影響線只能代表RA的變化規(guī)律反A1力，而不能代表其它任何量值 b1變化規(guī)律，其量值是唯一的這就是RA的影響線方

xKl+

B 011它是x的一次函數(shù)，故RA的影響可確定這條直

c

同理，可繪出反力RB的影響線方程為 圖 同樣可繪出RB的影響線（圖2c）2求圖3a所示簡支梁上某指定截C的彎矩影響線，取A為坐標原點，以 a表示荷載P=1距坐標原點A的距離， aa

荷載P=1在截面C以左AC段（即x≤ 移動時，取截面C以右部分 體

則 bx

abb 左 右ab由此可知，MC的影響線在截面以左部分為一直

0當x0時，MC當x=a時

l

b)中跨Mc圖于是可以繪出當荷載P=1在截面C以左移動時MC的影響線(圖3b)當荷載P=1在截面C以右CB段（即x≥a）移動時，上面求得的影響線程顯然已不再適用?？扇〗孛鍯以左部分 體，則 alx

由此可見，MC的影響線在截面 a以右部分也為一直線。當x=a時

a當x=l時 MC= b ab線線于是可以繪出當荷載P=1在截 左 右b線線以右移動時MC的影響線(圖3b)。 圖3b可知MC的影響線由上述兩直線所組成，為一三角形。三角形的頂點位于截面C的下面，縱坐標ab/l通常稱截面C以左的直線為左直線，截面C以右的直線為右直從上述影響線方程可以看出，左直線可由反力RB的影響線乘以b得到，繪制MC的影響線：縱坐標ab分別將其頂點與、右兩支座處的零點用直線，則兩直線的交點與左、右零點相連的MC3b作它量值影響線的方法是非常方便由于豎向單位集中荷載P1為不帶任何單位的無名數(shù)。則反力B響線的縱矩也是無名數(shù)，彎矩影響線縱坐標的單位為長度3設要繪制截面C的剪力影響線（圖3c）。同上分析，當荷載P=1在截面以左AC段（即x≤a）移動時，取截面C以右部分 體，并規(guī)定以體順時針方向轉動的剪力為正，則 =-

a)

因此，將RB的影響線反號并截取AC段分，即得QC影響線的左直線（圖3c） 同樣，當荷載P=1在截面C以右CB11體，并規(guī)定以 體順時針方向轉c動的剪力為正，則 =因此，可直接利用RA的影響線并取CB段部分，即得QC影響線的右直線（圖3c）

l 右_ _a 1左 1線c中跨Qc圖由上可知，QC的影響線由兩段相互平行的直線組成（圖3c）反力影響

如圖4a所示的伸臂梁，仍

a RB左支座A為坐標原點，橫坐標x向右為正。顯然，無論荷載在AB部分或是在兩支座以外的 b分上移動時，由平衡條件可得到支座反力為

1+1

01 1 1

c

圖4 跨中部分為求MC和QC的影響線，可將它們表示為反力RA和RB的函數(shù)。當荷P=1在截面C以左AC段（即xa）移時，取截面C以右部分 體，則MC QC

左部分為體，則：MC QC

a

ala+

bMc影響b0因為RA和RB的影響線方程在b)關系可知，MC和QC的影響線方程在c)兩種梁上也完全相同。因此，只需將支梁上相應的彎矩和剪力影響線向兩

b+l+1+1 al

Qc影響1-1 分延長，即可得到伸臂梁的和QC力影響線，如圖4d、e所示

圖4伸臂梁中跨 設要繪制截面K的彎矩和剪影響線（圖5a）。為方便起見，取K點為坐標原點，并規(guī)定橫坐標

Px 以向左為正。當荷載P=1在截面K a右（KE段）移動時，取截面K以部分 體，則顯然MK和QK均于零，故該二影響線在KE部分均 b基線重合。當P=1在截面K以1（DK段）時，仍取截面K以左部 c1 體，可得

d-d--

Mk影響Qk影響MK QK

圖5 分影線據(jù)此可以作出DK部分的MK和QK影響線。綜上所述，伸臂梁部分截K的MK和QK影響線分別如圖5b、c所示對于支座處截面的剪力影響

PxD

Px 須對支座左、右兩邊的截面分別討論因為這兩個截面是分別屬于伸臂和跨中a部分。例如：支座A左截面的剪力QA

R RA1的影響線，可由QK的影響線使截面K1于支座A的左截面而得到（圖 d對于支座A右截面的剪力QA右 影響線，則可由QC的影響線（圖使截面C趨于支座A的右截面而得

QA左--QA右1+11-1（圖5e）

圖5 分影線程，關x次函數(shù)，故均是由直線段所組成。但般為曲線形。四、機動法作單跨機動法作影響線的理論依據(jù)是理論力學中的虛位移原，一 系系作用下處于平衡的必要和充分條件是：在任何微小的虛位移中，力系所虛功；為了求解出反力RA，首先去掉與它應的聯(lián)系（即支座A處的豎向約束）， a以正向的反力RA代替其作用（圖6b）。

P P時，原結構變?yōu)榫哂幸粋€自由度的機使其產生微小的虛位移（圖6b）,以δA和δPb分別表示RA和P的作用點沿力的作用方向功的總和應等于零，有 cRAAPP

d dP 1+1-根據(jù)影響線的定義：P=1，則：

圖式中δ為力A作用點沿其力方給定虛位移的情況個常。δP為P1x各點的豎向虛令δA=1，則上式成為RAδ反P1移動時虛位δP便代表了的影響線。（圖6c），而符號相反。由于δP是以與力P向一致者為正，故δP向下為正。因而可知：當δP向下時，A為負；當δP向上時，RA為正。這就恰好與在影響線中縱坐標以向上為正相一致由上述可知：要作某一反力或某一內力的影響線時，只需將與該量的聯(lián)系去掉并使所得機構沿該量值的正方向發(fā)則由此得到的虛位移圖即代表該量值的影響線。這種繪制影響線的方法稱為機動法。機另種途徑其優(yōu)點過具體計算就能夠迅速繪出影響線的輪廓。這對于設計工作將有很，且有利于對靜力作的影響線進行較核。為進一步說明機動法的應用，下面再舉兩個例子。如圖7a梁，用機動法作截面C的彎矩影響線和剪力影響截面C彎矩影響MC相應的，即將截面C處改為鉸接，一對力偶Mc代替原有聯(lián)系的作用（該處便不能傳遞彎矩，但仍能傳遞剪力和軸力）。后使與Mc的正方向發(fā)生虛（圖7b），虛功方程為：M()

PC CP Pa (a若使α+β=1，即AC與BC兩部分 相對轉角等于1，則所得到的虛位移即表示MC的影響線（圖7c） 令：影響線頂點至基線的距離 b

la+b= d

B B

則：tga

tgb

Ca因此有a

a c

yc=lcc

ycab

a+b=b+b所以

a 圖截面C的剪力影響首先將與QC相應的聯(lián)系去掉將截面C處改為用兩根水平鏈桿相（該處便不能傳遞剪力，但仍能傳

P 彎矩和軸力），并以一對正向剪力 a 代替原有聯(lián)系的作用（圖7d）使機

沿QC的正方向發(fā)生虛位移，由虛功理得 d

1dCg1dCpQc(

)PP

Q P12 CC12圖若使121，即與兩部分沿截面C方向的位移等于，Q（7e。必須注意于A與兩部分是兩根平行鏈桿相聯(lián)，它們之間只能作相對平行移動，故在移圖中1與2應為平行直線，是QC影響線的左右兩直線相互平行A CC1a CC2b a

P

Ratgb RCC1CC2(ab)tgltgAtg d

d

B B1 1右右線左線+l圖1以

CC

e

1 1

CC2 五、多跨對于多跨靜定梁，只需分清它的基本結構和附屬部分以及這些部分間的傳力關系，再利用單跨靜定梁的已知影響線，即可順利完成按靜力ABCKDEFal圖8a所示多跨靜定梁，圖8b為結構拆分的層疊圖，ABCKDEFalaEEFCKDAB圖8按靜力法求多跨當P=1在CE段移動時，附屬部分EF是不受力的，可將其撤去?；静糠諥C則相當于CE梁的支座，故此時Mk的影響線與CE段單獨作為一伸臂的，故Mk影響線在AC段的豎坐標為零。最后考慮P=1在附屬部分EF段移動時的情況，此時CE梁相當于在鉸E處受到力VE的作用（圖8c）。因此，VEl-x)/l即x的一次函數(shù)，故此時CE梁相當于在鉸E處受到力VE

b c

aa

圖8按靜力法求多跨由此可知Mk影響線必為一直線，只需要定出兩點即可將其繪出。當P=1作用于鉸E處時Mk值已由CE段的影響線得出；而P=1作用于支座F處時有Mk=0。于是可繪出Mk的整個影響線如圖（8d）所示。當P=1在量值本身所在的梁段上移動時，量值的影響線與相應的單跨靜定梁相同按上述方法，不難作出QB左和RF的影響線如圖8e、f所示ABEFCKDadABEFCKDa1e 1

K

Q左E左

f

RF1圖8按靜力法求多跨1按機動按機動法求解多跨靜定梁的影響線更為方便。首先去掉與所求反力或內力的相應聯(lián)系，使所得到的體系沿X的正方向發(fā)生單位位移，此時根據(jù)每一剛片位移圖應為一段直線以及在每一豎向支座處豎向位移為零的條件。便可迅速繪ABCKDEFalABa+b=ABCKDEFalABa+b=EFCMKADFEABBCDEFa

ab MKa1 QB左11d RF1

a) l

l

b l l aa+b=1

aa+b=1

中跨MK影響++K-

中跨QK影響 a+b=a+b=-bK 支點MB影響+RB右影響--+-xK+反力RB影響

+K反力+K反力RD影響

RB左影響+-++-+首先討論當若干個集中力荷載或分布荷載作用于某已知位置時，如何利y1+1.集中力荷線上的縱距分別為y1、y2…yn，要求解這些集中荷載作用下所產生的某一量S的大小

根據(jù)影響線的定義和特點，影響線上的縱距y1代表荷載P1SP1PP1SP1y1SP1y1P2y2PnynPi(P1x1P2x2Pnxn)tgtgPi

CaB1 xy因∑Pixi為各力對O點CaB1 xyOPixiRx代入上式，SRxtgR

式 y——為合力R所對應得影響線縱坐標

圖2、分布力荷若將任意分布荷載沿其長度分成微段，則每一微段dx上的荷載qx?dx都作為集中荷載（圖13a），故在ab區(qū)段內的分布荷載所產生的量值S為bSaqx

b若qx為均布q時（圖13b、13c），則上式為S

yxdxq

（4式中ω——表示影響線在均布荷載范圍ab區(qū)段內的面積合a-byxa a -SbS(a

Sa+-b(a+-b圖

(c由此可見，在均布荷載作用下求量值S時，只需把影響線在荷載分布六、利用影響線求最不利荷載位量值都將隨荷載的位置求出各（或最小值）是我們的最終目的，以作為設計的依據(jù)。首先必須確定使發(fā)生最大值（或最小值）因此，尋求某一量值的最大值的關鍵，就是確定其最不利荷載位置，當其位就可按前述方法求解該量值的最大值（或最小值）。1、一個集中荷 P+-P+-+-S這是最+-SS=P·集中荷載P置于S影響線最大縱坐標處即產生

S

(a

(b最小縱坐標處即產生Smin值 圖2、均布荷b這里是指可以任意截斷布置的均布荷載，也稱為可動均布荷載（如b群荷載）。由式Sqayxdxq可得：將荷載布滿對應影響線所有面a反將布滿對應影響線所有負號積的部分，則i值；如圖15所示求的最大、最小值時相應的最不利荷--S++q--S++q-S-++qa b 合力為Ri（i=1~n）,則S1可表示為：S1R1y1R2y2Rnaaaa aab當整個荷載組向右移動一微小距離Δx時，其相應的量值S2S2R1(y1y1)R2(y2y2)Rn(ynyn故S的增量為SS2S1R1y1R2y2R1xtga1R2xtga2RnxnRixni其中Δx為一常數(shù)，上式可寫為 SxRitg量值S的增加率和減小率

SR

（5 使S成為極大值的條件是：荷載自該位置向左或向右移動時，S的當荷載向左移動時，Δx0

SR 當荷載向右移動時，Δx0

SR 即：當荷載先向左、后向右移動時，Ri可能為極大當荷載先向左、后向右移動時，Ri可能為極小值

必須由正變負，S才必須由負變正，S才 Ritgai變號的荷載稱為臨界荷載，而把

應的不利荷載位置可能有幾個，這就需將與各臨界荷載對應的S極SPi

dsΔSSqω可知，S為x的二次函數(shù)，故此時最不利荷載位置可按一ds0的條件來確定。對于常遇的形圖 述別式以化為更便于應用的形式。設臨界荷載 Pk處于三角形影響線的頂點位置以a載力，以b表荷則根據(jù)荷載向左、向右移時，判式由正負可以寫出如兩個：(RaPK)tgRbtgRatg(RbPK)tg式中α、β為水平基線與影響間的傾角（圖17），其正負號規(guī)

h同前。若以tghtgh代 則 RaPk RaPk

（6

圖 這就是三角形影響線上確定臨界荷載 。上式可以理解為：把Pk入影響線的哪一邊，則哪一邊上的“平均荷載”就大