《線性代數(shù)》第四章 矩陣的特征值與特征向量

線性代數(shù)矩陣的特征值與特征向量第四章本章主要討論方陣的特征值與特征向量、方陣的相似對角化等問題，然后介紹向量空間、基與維數(shù)，以及向量的內(nèi)積、長度及正交等知識．第四章4.1方陣的特征值與特征向量一、特征值與特征向量定義１設(shè)是階矩陣，如果存在數(shù)和維非零列向量，使得（1）成立，則稱數(shù)是方陣的特征值，稱非零向量為的對應(yīng)于特征值的特征向量．（１）式也可以寫為．（2）定義２設(shè)是階矩陣，則含有的矩陣稱為的特征矩陣．行列式是的次多項(xiàng)式，記作，稱為方陣的特征多項(xiàng)式．方程稱為方陣的特征方程．顯然，特征方程的根（特征根）就是的特征值．第四章4.1方陣的特征值與特征向量二、特征值和特征向量的簡單性質(zhì)定理１階矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的特征值．定理２階矩陣可逆的充分必要條件是其任一特征值不等于零．定理３設(shè)是方陣的個(gè)特征值，依次是與之對應(yīng)的特征向量，如果各不相等，則線性無關(guān)．即的不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)．第四章4.2

n維向量空間一、向量空間與子空間第四章4.2

n維向量空間一、向量空間與子空間定義２設(shè)有向量空間，若，則稱是維向量空間的子空間．任何由維向量空間所組成的向量空間，都是的子空間．例１本身是維向量空間的子空間；只有一個(gè)零向量構(gòu)成的空間也是維向量空間的子空間．定義３設(shè)為向量空間，如果向量組滿足：（i）線性無關(guān)；（ii）中任一向量都可由線性表出．則稱向量組為向量空間的一個(gè)基（或一組基），一個(gè)基中向量的個(gè)數(shù)稱為向量空間的維數(shù)，并稱為維向量空間．第四章4.2

n維向量空間二、向量的內(nèi)積定義４設(shè)有維向量

，稱為向量與的內(nèi)積．定義５設(shè)維向量，則稱為維向量的長度．第四章4.2

n維向量空間二、向量的內(nèi)積定義６設(shè)，是兩個(gè)非零的維向量，則定義，之間夾角的余弦為

．因此夾角為．第四章4.2

n維向量空間三、向量正交定義７若中兩個(gè)非零向量，之間的夾角等于90°(即)，則稱與正交（或垂直），記作．零向量與任何向量都正交．定理１中兩個(gè)非零向量，正交的充分必要條件是它們的內(nèi)積等于零．定理２設(shè)是一組兩兩正交的維非零向量，則線性無關(guān)．定義８設(shè)維向量是向量空間的一個(gè)基，如果兩兩相交，且都是單位矩陣，則稱是的一個(gè)規(guī)范正交基．第四章4.2

n維向量空間四、正交矩陣定義９如果階矩陣滿足，則稱為正交矩陣，簡稱正交陣．第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對角化一、相似矩陣定義１設(shè)，都是階矩陣，若有可逆矩陣，使，則稱矩陣與相似，記作，或稱是的相似矩陣．對進(jìn)行運(yùn)算，稱為對進(jìn)行相似變換，可逆矩陣稱為把變成的相似變換矩陣．定理１若階矩陣與相似，則與的特征多項(xiàng)式相同，從而與的特征值亦相同．推論若階矩陣與對角陣相似，則是的個(gè)特征值．第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對角化一、相似矩陣定理２階矩陣相似于對角陣（即矩陣可對角化）的充分必要條件是矩陣有個(gè)線性無關(guān)的特征向量．推論若階矩陣有個(gè)不同的特征值，則矩陣與對角陣相似．證設(shè)有個(gè)不同的特征值，對應(yīng)的特征向量．根據(jù)§4.1定理3，向量組線性無關(guān)，所以由定理2可知，與對角陣相似，其中第四章4.3

相似矩陣與矩陣的對角化二、對稱矩陣的對角化定理３對稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù)．定理４設(shè)，是對稱矩陣的兩個(gè)特征值，，是對應(yīng)的特征向量，若，則與正交．定理５設(shè)為階對稱矩陣，則必有正交矩陣，使