【金版學(xué)案】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識名師講義第七章第五節(jié)橢圓(一)理

第五節(jié)橢圓(一)1.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì).2.理解數(shù)形聯(lián)合的思想.知識梳理一、橢圓的定義12的距離的和等于定長2a(2a>|F1F2平面內(nèi)與兩定點F，F(xiàn)|)的點的軌跡叫做____________，即點集＝{||1|＋|2|＝22＞|12|}是橢圓．此中兩定點1，2叫MPPFPFa,aFFFF做___________，定點間的距離叫做____________(注意：2a＝|F1F2|時，點的軌跡為線段F1F2,2a<|F1F2|時，無軌跡)．答案：橢圓焦點焦距二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2y2x2焦點在x軸上：a2＋b2＝1(a>b>0)；焦點在y軸上：a2＋b2＝1(a>b>0)．三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)222＋x2標(biāo)準(zhǔn)方程x2＋y2＝1(a>b>0)y22＝1(a>b>0)abab圖形中心(0,0)(0,0)焦點F(－c,0)，F(xiàn)(c,0)F(0，－c)，F(xiàn)(0，c)1212極點(±a,0)，(0，±b)(±b,0)，(0，±a)軸長長軸|AA|的長2a，短軸|BB|的長2b，|BO|＝b，|OF|＝c，|BF|＝a12122222c離心率e＝a(0<e<1)范圍|x|≤a，|y|≤b|y|≤a，|x|≤b對稱性對稱軸方程為x＝0，＝0；對稱中心為(0,0)yOa，b，c的關(guān)系c2＝a2－b2基礎(chǔ)自測1．橢圓x2＋4y2＝1的離心率為()33A.2B.422C.2D.322x2y21223分析：先將x＋4y＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程1＋1＝1，則a＝1，b＝2，c＝a－b＝2.43因此離心率e＝a＝2.應(yīng)選A.答案：A2．中心在原點，焦點在x軸上，若長軸長為18，且兩個焦點恰巧將長軸三均分，則此橢圓的方程是()x2y281＋72＝1x2y281＋9＝1x2y281＋45＝1x2y2＋＝181361分析：依題意知，2a＝18，∴a＝9,2c＝3×2a，∴c＝3，∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，x2y2∴橢圓方程為81＋72＝1.應(yīng)選A.答案：A，2是橢圓x2＋y23．(2013·揚州模擬)已知1＝1的兩焦點，過點2的直線交橢圓于，F(xiàn)F169FAB兩點．在△1中，如有兩邊之和是10，則第三邊的長度為________．AFB分析：依據(jù)橢圓定義，知△AF1B的周長為4a＝16，故所求的第三邊的長度為16－10＝6.答案：64．橢圓3x2＋ky2＝3的一個焦點是(0，2)，則k＝________.222y2232分析：方程3x＋ky＝3可化為x＋3＝1，a＝k>1＝b，k2223c＝a－b＝k－1＝2，解得k＝1.答案：1x2y21．(2013·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知橢圓E：a2＋b2＝1(a>b>0)的右焦點為F(3,0)，過點F的直線交橢圓于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為()x2y2x2y2A.45＋36＝1B.36＋27＝1x2y2x2y2C.27＋18＝1D.18＋9＝1分析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x1＋x2x1－x2y1＋y2y1－y2①－②得a2＋b2＝0，y－y2＋x22222212因此1k＝3－1＝2，＝2，又9＝c＝a－b，解得＝2，又＝＝－AB2xxayyaa22x2y2b＝9，a＝18，因此橢圓方程為＋＝1，應(yīng)選D.189答案：D2．如下圖，設(shè)P是圓x2＋y2＝25上的動點，點D是P在x軸上的投影，M為PD上一4點，且|MD|＝5|PD|.(1)當(dāng)點P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；4(2)求過點(3,0)且斜率為5的直線被C所截線段的長度.分析：(1)設(shè)點M的坐標(biāo)為(x，y)，點P的坐標(biāo)為(xP，yP)，xP＝x，5x2y2由已知得522＝1.∵點P在圓上，∴x＋y＝25，即軌跡C的方程為＋yP＝4y.42516(2)過點(3,0)44112且斜率為5的直線方程為y＝5(x－3)．設(shè)直線與C的交點為A(x，y)，B(x，4x2x－322y2)，將直線方程y＝5(x－3)代入C的方程，得25＋25＝1，即x－3x－8＝0.∴x1＝3－413＋41，x2＝2.2∴線段AB1221－y2216x122的長度為＝＝|AB|＝x－x＋y25－x414125×41＝5.x2y21．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓25＋16＝1的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標(biāo)為(6,4)，則|PM|＋|PF1|的最大值為______．分析：|1|＋|2|＝10，|1|＝10－|2|，||＋|1|＝10＋||－|2|.PFPFPFPFPMPFPMPF易知點M在橢圓外，連結(jié)MF并延伸交橢圓于點P，此時|PM|－|PF|取最大值|MF|，故222|PM|＋|PF1|的最大值為10＋|MF2|＝10＋6－32＋42＝15.答案：151：x223，連結(jié)橢圓的四2．(2013·茂名一模)已知橢圓2＋y2＝1(a>0，>0)的離心率為Cabb3個極點獲得的四邊形的面積為26.求橢圓C1的方程；(2)設(shè)橢圓C的左焦點為F，右焦點為F，直線l1過點F且垂直于橢圓的長軸，動直線1121l2垂直l1于點，線段2的垂直均分線交l2于點，求點的軌跡2的方程；PPFMMC設(shè)O為坐標(biāo)原點，取C2上不一樣于O的點S，以O(shè)S為直徑作圓與C2訂交此外一點R，求該圓面積的最小值時點S的坐標(biāo)．c3a＝3，a＝3，分析：(1)由題意可知a2＝b2＋c2，解得b＝2，1c＝1.2×2a×2b＝26，1x2y2因此橢圓C的方程是3＋2＝1.由于|MP|＝|MF2|距離，因此動點M的軌跡

，因此動點M到定直線l：x＝－1的距離等于它到定點F(1,0)的122是以l1為準(zhǔn)線，2為焦點的拋物線，CF22因此點M的軌跡C的方程y＝4x.(3)由于以O(shè)S為直徑的圓與→→C2訂交于點R，因此∠ORS＝90°，即OR·RS＝0.→→，y2)．設(shè)S(x1，y1)，R(x2，y2)，SR＝(x2－x1，y2－y1)，OR＝(x2→→y2222因此OR·SR＝x2(x2－x1)＋y2(y2－y1)＝2116＋y2(y2－y1)＝0，16由于y1≠y2，y2≠0，化簡得y1＝－y2＋y2，因此y222562256＝y(tǒng)＋＋32≥2y·＋32＝64，12y22y2225622＝±4時等號