高中數(shù)學函數(shù)單調(diào)性判斷方法

時間：二O二一年七月二十九日高中數(shù)學函數(shù)單一性的判斷方法之邯鄲勺丸創(chuàng)作時間：二O二一年七月二十九日單一性是函數(shù)的重要性質(zhì),它在數(shù)學中有很多應(yīng)用,如我們經(jīng)常使用求函數(shù)單一性的方法求函數(shù)的值域.那么,有哪些求函數(shù)單一性的方法呢？方法一：定義法關(guān)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個區(qū)間A上的隨意兩個值x1,x2（1）當x1x2時,都有f(x1)f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù)；（2）若當x1x2時,都有f(x1)f(x2),則說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù).比如：依據(jù)函數(shù)單一性的定義,證明：函數(shù)在上是減函數(shù).要證明函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù),設(shè)隨意x1,x2R且x1x2,則f(x1)f(x2)x23x13(x2x1)(x22x1x2x12),由于x1x2因此x2x10,且在x1與x2中起碼有一個不為0,不妨設(shè)x20,那么x22x1x2x12(x1x2)23x220,因此f(x1)f(x2),故f(x)在(,)上24為減函數(shù).方法二：性質(zhì)法時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日除了用基本初等函數(shù)的單一性以外,利用單一性的相關(guān)性質(zhì)也能簡化解題.若函數(shù)f(x)、g(x)在區(qū)間B上擁有單一性,則在區(qū)間B上有：f(x)與c?f(x)當c＞0擁有同樣的單一性,當c＜0擁有相反的單一性；當f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)＋g(x)都是增(減)函數(shù)；當f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)?g(x)當二者都恒大于0時也是增(減)函數(shù),當二者都恒小于0時也是減(增)函數(shù)；比如,已知f（x）在R上是減函數(shù),那么-5f（x）為____函數(shù).這道題很簡單,我們依據(jù)單一性的性質(zhì),很簡單就能判斷它是增函數(shù).方法三：同增異減法（辦理復合函數(shù)的單一性問題）關(guān)于復合函數(shù)y＝f[g(x)]知足“同增異減”法(應(yīng)注意內(nèi)層函數(shù)的值域),可令t＝g(x),則三個函數(shù)y＝f(t)、t＝g(x)、y＝f[g(x)]中,如有兩個函數(shù)單一性同樣,則第三個函數(shù)為增函數(shù)；如有兩個函數(shù)單一性相反,則第三個函數(shù)為減函數(shù).注：（1）奇函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有同樣的單一性,偶函數(shù)在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單一性；（2）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)有同樣的單一性；（3）假如f(x)在區(qū)間D上是增（減）函數(shù),那么f(x)在D的任一子區(qū)間上也是增（減）函數(shù).比如,求函數(shù)y=log4(x2－4x+3)的單一區(qū)間.時間：二O二一年七月二十九日時間：二O二一年七月二十九日u＞0,u=x2－4x+3,解得原復合函數(shù)的定義域為x＜1或x＞3.當x∈(－∞,1)時,u=x2－4x+3為減函數(shù),而y=log4u為增函數(shù),因此(－∞,1)是復合函數(shù)的單一減區(qū)間；當x∈(3,±∞)時,u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù),因此,(3,+∞)是復合函數(shù)的單一增區(qū)間.方法四：圖像法畫出函數(shù)的圖形,直接依據(jù)圖像走勢,判斷函數(shù)在某一子區(qū)間的單調(diào)性.比如,畫出函數(shù)yx22|x|1圖象并寫出函數(shù)的單一區(qū)間.x22x1(x0)(x1)22(x0)解：y2x1(x0)即y2(x0)x2(x1)2如下圖,單一增區(qū)間為(,1]和[0,1],單一減區(qū)間為[1,0]和[1,)方法五：導數(shù)法函數(shù)的單一性與導數(shù)的關(guān)系：在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),假如假如

f'(x)0,那么函數(shù)f'(x)0,那么函數(shù)

f(x)yf(x)

在這個區(qū)間內(nèi)單一遞加,在這個區(qū)間內(nèi)單一遞減.比如,求函數(shù)f(x)x42x23的單一區(qū)間.解：函數(shù)f(x)的定義域為R,f(x)x44x4(x1)(x1)x令f(x)0,得1x0或x1．∴函數(shù)f(x)的單一遞加區(qū)間為（－