同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-3函數(shù)極限

同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)第七版1-3函數(shù)極限第一頁(yè)，共40頁(yè)。自變量變化過程的六種形式:

根據(jù)自變量的這種變化過程，本節(jié)主要研究以下兩種情況：二、當(dāng)自變量x的絕對(duì)值無限增大時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)，

一、當(dāng)自變量x無限地接近于x0時(shí)，f(x)的變化趨勢(shì)第二頁(yè)，共40頁(yè)。一、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限

這個(gè)函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當(dāng)點(diǎn)從1的左側(cè)或右側(cè)無限地接近于1時(shí)，f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當(dāng)x→1時(shí)f(x)的極限。1xyo4第三頁(yè)，共40頁(yè)。怎樣用數(shù)學(xué)語言刻劃問題無限接近于確定值A(chǔ)？第四頁(yè)，共40頁(yè)。1.定義定義1設(shè)函數(shù)有定義.記作或恒有在點(diǎn)x0某去心鄰域內(nèi)第五頁(yè)，共40頁(yè)。注：(1)定義習(xí)慣上稱為極限的ε—δ定義其三個(gè)要素：①正數(shù)ε，

②正數(shù)δ，

③不等式(3)δ與任意給定的正數(shù)ε有關(guān)。(2)有沒有極限，與

在點(diǎn)是否有定義無關(guān)第六頁(yè)，共40頁(yè)。必存在x0的去心鄰域?qū)τ诖肃徲騼?nèi)的x,對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi).作出帶形區(qū)域第七頁(yè)，共40頁(yè)。一般說來,應(yīng)從不等式出發(fā),推導(dǎo)出應(yīng)小于怎這個(gè)正數(shù)就是要找的與相對(duì)應(yīng)的這個(gè)推導(dǎo)常常是困難的.

但是,注意到我們不需要找最大的所以適當(dāng)放大些,的式子,變成易于解出找到一個(gè)需要的找到就證明完畢.可把樣的正數(shù),第八頁(yè)，共40頁(yè)。證

這是證明嗎？非常非常嚴(yán)格！例1第九頁(yè)，共40頁(yè)。例2證明證于是恒有第十頁(yè)，共40頁(yè)。例3分析：函數(shù)在點(diǎn)x=1處沒有定義.但這與函數(shù)在該點(diǎn)是否有極限并無關(guān)系．證第十一頁(yè)，共40頁(yè)。例4證min可用保證第十二頁(yè)，共40頁(yè)。練習(xí)

證明證由于要使解出只要可取有解不等式,第十三頁(yè)，共40頁(yè)。3.左、右極限(單側(cè)極限)例如,兩種情況分別討論!記作記作第十四頁(yè)，共40頁(yè)。左極限右極限使得時(shí),或使得時(shí),或記作記作第十五頁(yè)，共40頁(yè)。注且此性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當(dāng)x趨近于分段點(diǎn)時(shí)的極限.第十六頁(yè)，共40頁(yè)。(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個(gè)不存在.找找例題！

函數(shù)在點(diǎn)x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：第十七頁(yè)，共40頁(yè)。例5.

設(shè)函數(shù)討論時(shí)的極限是否存在.解:利用定理3.因?yàn)轱@然所以不存在.第十八頁(yè)，共40頁(yè)。練習(xí)y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解第十九頁(yè)，共40頁(yè)。二、自變量趨向無窮大時(shí)函數(shù)的極限第二十頁(yè)，共40頁(yè)。第二十一頁(yè)，共40頁(yè)。第二十二頁(yè)，共40頁(yè)。第二十三頁(yè)，共40頁(yè)。第二十四頁(yè)，共40頁(yè)。第二十五頁(yè)，共40頁(yè)。第二十六頁(yè)，共40頁(yè)。返回第二十七頁(yè)，共40頁(yè)。通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:如何用精確的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第二十八頁(yè)，共40頁(yè)。第二十九頁(yè)，共40頁(yè)。2.另兩種情形Axfx=-￥?)(lim第三十頁(yè)，共40頁(yè)。解顯然有可見和雖然都存在,但它們不相等.故不存在.例5

討論極限是否存在?第三十一頁(yè)，共40頁(yè)。圖形完全落在:的圖形的水平漸近線(horizontalasymptote).則直線第三十二頁(yè)，共40頁(yè)。例6證成立.由極限的定義可知:第三十三頁(yè)，共40頁(yè)。例7證要使成立.只要有

解不等式第三十四頁(yè)，共40頁(yè)。練習(xí)試證證注意有為了使只要使有第三十五頁(yè)，共40頁(yè)。三、函數(shù)極限的性質(zhì)

函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質(zhì),定理1(極限的唯一性)有極限,若在自變量的某種變化趨勢(shì)下,則極限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有極限,則f(x)在上有界;f(x)有極限,且證明方法也類似.第三十六頁(yè)，共40頁(yè)。定理3(局部保號(hào)性)證(1)設(shè)A>0,取正數(shù)即有自己證第三十七頁(yè)，共40頁(yè)。只要取便可得更強(qiáng)的結(jié)論:證(1)也即(2)自己證.定理3(1)的證明中,不論定理

第三十八頁(yè)，共40頁(yè)。證

假設(shè)上述論斷不成立,那么由(1)就有在該鄰