同濟大學高等數(shù)學第七版1-3函數(shù)極限

同濟大學高等數(shù)學第七版1-3函數(shù)極限第一頁，共40頁。自變量變化過程的六種形式:

根據(jù)自變量的這種變化過程，本節(jié)主要研究以下兩種情況：二、當自變量x的絕對值無限增大時，f(x)的變化趨勢，

一、當自變量x無限地接近于x0時，f(x)的變化趨勢第二頁，共40頁。一、自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

這個函數(shù)雖在x=1處無定義，但從它的圖形上可見，當點從1的左側(cè)或右側(cè)無限地接近于1時，f(x)的值無限地接近于4，我們稱常數(shù)4為f(x)當x→1時f(x)的極限。1xyo4第三頁，共40頁。怎樣用數(shù)學語言刻劃問題無限接近于確定值A？第四頁，共40頁。1.定義定義1設函數(shù)有定義.記作或恒有在點x0某去心鄰域內(nèi)第五頁，共40頁。注：(1)定義習慣上稱為極限的ε—δ定義其三個要素：①正數(shù)ε，

②正數(shù)δ，

③不等式(3)δ與任意給定的正數(shù)ε有關。(2)有沒有極限，與

在點是否有定義無關第六頁，共40頁。必存在x0的去心鄰域?qū)τ诖肃徲騼?nèi)的x,對應的函數(shù)圖形位于這一帶形區(qū)域內(nèi).作出帶形區(qū)域第七頁，共40頁。一般說來,應從不等式出發(fā),推導出應小于怎這個正數(shù)就是要找的與相對應的這個推導常常是困難的.

但是,注意到我們不需要找最大的所以適當放大些,的式子,變成易于解出找到一個需要的找到就證明完畢.可把樣的正數(shù),第八頁，共40頁。證

這是證明嗎？非常非常嚴格！例1第九頁，共40頁。例2證明證于是恒有第十頁，共40頁。例3分析：函數(shù)在點x=1處沒有定義.但這與函數(shù)在該點是否有極限并無關系．證第十一頁，共40頁。例4證min可用保證第十二頁，共40頁。練習

證明證由于要使解出只要可取有解不等式,第十三頁，共40頁。3.左、右極限(單側(cè)極限)例如,兩種情況分別討論!記作記作第十四頁，共40頁。左極限右極限使得時,或使得時,或記作記作第十五頁，共40頁。注且此性質(zhì)常用于判斷分段函數(shù)當x趨近于分段點時的極限.第十六頁，共40頁。(1)左、右極限均存在,且相等；(2)左、右極限均存在,但不相等；(3)左、右極限中至少有一個不存在.找找例題！

函數(shù)在點x0處的左、右極限可能出現(xiàn)以下三種情況之一：第十七頁，共40頁。例5.

設函數(shù)討論時的極限是否存在.解:利用定理3.因為顯然所以不存在.第十八頁，共40頁。練習y=f(x)xOy11在x=1處的左、右極限.解第十九頁，共40頁。二、自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限第二十頁，共40頁。第二十一頁，共40頁。第二十二頁，共40頁。第二十三頁，共40頁。第二十四頁，共40頁。第二十五頁，共40頁。第二十六頁，共40頁。返回第二十七頁，共40頁。通過上面演示實驗的觀察:如何用精確的數(shù)學數(shù)學語言刻劃函數(shù)“無限接近”.第二十八頁，共40頁。第二十九頁，共40頁。2.另兩種情形Axfx=-￥?)(lim第三十頁，共40頁。解顯然有可見和雖然都存在,但它們不相等.故不存在.例5

討論極限是否存在?第三十一頁，共40頁。圖形完全落在:的圖形的水平漸近線(horizontalasymptote).則直線第三十二頁，共40頁。例6證成立.由極限的定義可知:第三十三頁，共40頁。例7證要使成立.只要有

解不等式第三十四頁，共40頁。練習試證證注意有為了使只要使有第三十五頁，共40頁。三、函數(shù)極限的性質(zhì)

函數(shù)極限與數(shù)列極限相比,有類似的性質(zhì),定理1(極限的唯一性)有極限,若在自變量的某種變化趨勢下,則極限值必唯一.定理2(局部有界性)f(x)有極限,則f(x)在上有界;f(x)有極限,且證明方法也類似.第三十六頁，共40頁。定理3(局部保號性)證(1)設A>0,取正數(shù)即有自己證第三十七頁，共40頁。只要取便可得更強的結(jié)論:證(1)也即(2)自己證.定理3(1)的證明中,不論定理

第三十八頁，共40頁。證

假設上述論斷不成立,那么由(1)就有在該鄰