在發(fā)明中學習-線性代數(shù)概念引入之三-行列式

在發(fā)明中學習—線性代數(shù)概念引入之三--行列式第一頁，共30頁。一.二元一次方程組的幾何意義行列式的定義

方程組可寫成向量形式即第二頁，共30頁。1.有唯一解的條件不共線即2.消元:方程(1.1)兩邊與(1.1)作內積消去y,得其中第三頁，共30頁。就是同理得圖2因此,于是3.二階行列式—平行四邊形面積第四頁，共30頁。稱為二階行列式,記作是平行四邊形OAPB的有向面積,是兩個向量或的函數(shù),計算公式:或圖2第五頁，共30頁。3.代數(shù)算法第六頁，共30頁。利用幾何圖形表達出來,就是:第七頁，共30頁。以上算法用到二階行列式的如下基本性質(1)det(a,b)可以看成向量a,b的乘積來展開:det(ka+k1a1,b)=kdet(a,b)+k1det(a1,b)det(a,kb+k1b1)=kdet(a,b)+k1det(a,b1)如圖,就是第八頁，共30頁。(3)面積單位:det(e1,e2)=1

由(2)det(a,a)=0鄰邊重合,平行四邊形退化為線段,面積為0.det(e2,e1)=-det(e1,e2)=-1det(a,b)=-det(b,a)知

det(u,v)=det(u,v+au)第九頁，共30頁?？蓪懗善渲卸?三階行列式與體積1.三元一次方程組的幾何意義第十頁，共30頁。兩邊同時與方程作內積消去y,z,得到類似地可以得到y(tǒng),z的表達式。當時得第十一頁，共30頁。從原點O出發(fā)作有向線段OA，OB，OC使則就是以OA,OB,OC為棱的平行六面體的有向體積。稱為三階行列式，記作2.三階行列式—平行六面體體積第十二頁，共30頁。數(shù)學聊齋之三

人擠成與照片之維數(shù)變化三十多年前到重慶，公共汽車很擠。有人形容為：人擠成照片了。三維的人擠成二維的照片，體積變成0。行列式兩列(行)相等，也擠成照片。

第十三頁，共30頁。3.三階行列式的基本性質(3)det(e1,e2,e3)=1,e1,e2,e3分別是三條坐標軸上的單位向量.)可以看作的乘積來展開.(1)det((2)如果三個向量中有兩個相等,則det()=0.擠成“照片”

將三個向量中的任意兩個互換位置,則det()變?yōu)樵瓉碇档南喾磾?shù)。第十四頁，共30頁。4.利用基本性質計算三階行列式(2.1)這樣的項可以從(2.1)中去掉。只剩下i,j,k兩兩不相等的項。(2.1)變成當i,j,k中有兩個相等時，第十五頁，共30頁。代入(2.2),得又類似地有(2.2)我們有類似地有第十六頁，共30頁。第十七頁，共30頁。三.n

階行列式的引入其中n

階行列式第十八頁，共30頁。它應具有以下基本性質：(1)是的某種乘積，可以按乘法法則展開。(2)如果n個向量中有兩個相等,則=0。將n個向量

中的任意兩個互換順序，則變?yōu)椤?/p>

(3)det(e1,e2,…,en)=1，其中n維列向量ei的第i分量為1、其余分量為0。是由決定的“n維體積”第十九頁，共30頁。利用基本性質計算n階行列式(3.1)當i1,i2,…,in中有兩個相等時，這樣的項可以從(3.1)中去掉。只剩下i1,i2,…,in

兩兩不相等的項,(3.1)中的變成對1,2,…,n的全體排列(i1,i2,…,in)求和,成為:第二十頁，共30頁。將排列中任意兩個數(shù)相互交換位置,稱為這個排列的一個對換。相應地，行列式中的互換了位置，其值變?yōu)樵瓉碇档南喾磾?shù)。進行若干次對換(設為s次)可以將排列變成標準排列(12…n),相應地將變成(3.2)

以下只須對每個排列求第二十一頁，共30頁?？梢宰C明,的值由排列唯一決定,我們將記為sgn。則sgn代入(3.3)得到(3.3)于是得這可以作為n階行列式的定義。(3.4)第二十二頁，共30頁。四.n

階行列式的定義1.排列的奇偶性

由1,2,…,n按任意順序重新排列而成的有序數(shù)組稱為一個n元排列。將1,2,…,n按從小到大的順序得到的排列(12…n)稱為自然排列。在任意一個排列中,可能出現(xiàn)順序“顛倒”的情況：p<q然而jp>jq,也就是較大的數(shù)jp反而排在較小的數(shù)jq

的前面。每出現(xiàn)一對這樣的(jp,jq)

稱為這個排列的一個逆序。第二十三頁，共30頁。排列中的逆序的個數(shù)稱為這個排列的逆序數(shù)，記作。

逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列。例.排列(3142)中的逆序共有(3,1),(3,2),(4,2)等3個,因此t(3142)=3,(3142)是奇排列。自然排列(12…n)的逆序數(shù)為0,因此自然排列是偶排列。

第二十四頁，共30頁。

將排列中的某兩個數(shù)碼jp,jq互相交換位置,稱為這個排列的一個對換。每一次對換必然改變排列的奇偶性。每一個排列都可以經過有限次對換變成自然排列(12…n)。設排列經過了s次對換變成自然排列。則當s為偶數(shù)時，的奇偶性與自然排列相同,是偶排列;當s是奇數(shù)時，的奇偶性與自然排列相反,是奇排列。第二十五頁，共30頁。將n個數(shù)aij(i,j=1,2,…,n)排成n行n列的形式,按如下方式計算：2.n

階行列式的定義得到一個數(shù)，稱為

n階行列式。上面的式子中的求和號表示對所有的排列求和。第二十六頁，共30頁。五.n

元線性方程組可以寫成第二十七頁，共30頁。將(5.1)兩邊與(5.1)點乘,可以消去除外的所有未知數(shù),在0時得(Crammer法則)第二十八頁，共30頁。六.行列式與秩幾何觀點:

線性無關

秩為

n生成的空間的維數(shù)

=

n

n維體積

不為

0代數(shù)運算:detA不為0

A=0只有零解,x1A1+…+xn