新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何加練課3對(duì)稱及其應(yīng)用學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7加練課3對(duì)稱及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的幾何意義.2.掌握中心對(duì)稱與軸對(duì)稱問(wèn)題的一般解法.3.能利用中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的知識(shí)解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.自主檢測(cè)·必備知識(shí)一、概念辨析，判斷正誤1.如果兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，那么這兩條直線關(guān)于x軸對(duì)稱.(√)2.若點(diǎn)A，B關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線AB與直線l垂直.(×)3.若直線l1，l2關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l1二、夯實(shí)基礎(chǔ)，自我檢測(cè)4.點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,-1)D.(-1,3)答案：A5.與直線3x-4y+5=0關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程為()A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0答案：D解析：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y)，則關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-x,-y)，該點(diǎn)在已知的直線上，則-3x+4y+5=0，即3x-4y-5=0.6.已知點(diǎn)M(4,2)與N(2,4)關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為()A.x+y+6=0B.x+y-6=0C.x+y=0D.x-y=0答案：D解析：∵M(jìn)(4,2),N(2,4),∴線段MN的中點(diǎn)為(3,3),k∵M(jìn)(4,2)與N(2,4)關(guān)于直線l對(duì)稱，∴l(xiāng)過(guò)點(diǎn)(3,3)，且斜率為1，∴直線l的方程為y-3=x-3，即x-y=0，故選D.7.與直線2y-x+1=0關(guān)于y-x+3=0對(duì)稱的直線的方程是()A.2x-y-8=0B.2x-y-10=0C.2x+y-12=0D.2x+y-10=0答案：A解析：設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y)，Q(x,y)是點(diǎn)P關(guān)于直線y-x+3=0的對(duì)稱點(diǎn)，則y1-yx1-x=-1,y1+y2-互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一中心對(duì)稱問(wèn)題精講精練例（1）求點(diǎn)P(x0,y0（2）求直線3x-y-4=0關(guān)于點(diǎn)(2,-1)的對(duì)稱直線l的方程.答案：（1）根據(jù)題意可知點(diǎn)A(a,b)為線段PP設(shè)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(x1,y所以點(diǎn)P'的坐標(biāo)為(2a-（2）設(shè)直線l上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則此點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)(2，-1)的對(duì)稱點(diǎn)為M1(4-x，-2-y)，且M1所以3(4-x)-(-2-y)-4=0，即3x-y-10=0.所以所求直線l的方程為3x-y-10=0.解題感悟中心對(duì)稱問(wèn)題的解法：（1）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題：若兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2（2）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題：若兩條直線l1，l2關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，則：①l1上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)必在l2上，反過(guò)來(lái)，l2上任意一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)必在l1上；②過(guò)點(diǎn)P作一直線與l1，l2分別交于A，B兩點(diǎn)，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)；③若遷移應(yīng)用1.過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l，使它被直線l1：2x+y-8=0和l2：x-3y+10=0截得的線段被點(diǎn)答案：x＋4y－4＝0解析：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為B(x,y)，則0=x+a2,1=y+8-2a2,解得x=-a,v=2a-6,則B(-a,2a-6)即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.探究點(diǎn)二軸對(duì)稱問(wèn)題精講精練例（1）坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)關(guān)于直線x-2y+2=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是()A.(-45C.(45（2）直線2x-y+3=0關(guān)于直線x-y+2=0對(duì)稱的直線的方程是.答案：（1）A（2）x-2y+3=0解析：（1）設(shè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0,y0)，則（2）設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)P(x,y)，點(diǎn)P關(guān)于x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x由x+x0∵點(diǎn)P'(x0,∴2(y-2)-(x+2)+3=0，即x-2y+3=0.∴所求直線的方程為x-2y+3=0.解題感悟軸對(duì)稱問(wèn)題的解法：（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題：求P(x0,y0)關(guān)于Ax＋By＋C＝0的對(duì)稱點(diǎn)P'(x,y)，利用y-y0x-x0?-AB=-1,A?x0+x2+B?y0+y2+C=0可以求點(diǎn)P'的坐標(biāo).（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題：若兩條直線l1遷移應(yīng)用1.若點(diǎn)A(3,4)關(guān)于直線l:y=kx的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，則k的值是()A.12或-2B.-答案：A解析：∵點(diǎn)A(3,4)關(guān)于直線l:y=kx的對(duì)稱點(diǎn)在x軸上，∴可設(shè)其對(duì)稱點(diǎn)為(t,0).則4-03-t×k=-1，42=k?3+t2，消去t化為2.已知直線l:x-y-1=0，l1:2x-y-2=0.若直線l2與l1關(guān)于A.x+y-1=0B.x+2y-1=0C.x-2y-1=0D.x-2y+1=0答案：C解析：若直線l2與l1關(guān)于l對(duì)稱，則直線l1，l的交點(diǎn)在直線l2上，設(shè)直線l1，l的交點(diǎn)為A在直線l1上任取一點(diǎn)(2,2)，易知其關(guān)于直線l對(duì)稱的點(diǎn)為B(3,1)，則點(diǎn)B在直線l由A，B兩點(diǎn)可知，直線l2的斜率k=則直線l2的方程為y-0=12探究點(diǎn)三對(duì)稱的應(yīng)用問(wèn)題精講精練例（1）（2021山東東營(yíng)高二期末）設(shè)入射光線沿直線2x-y+1=0射向直線y=x，則被y=x反射后，反射光線所在的直線方程是()A.x-2y-1=0B.x-2y+1=0C.3x-2y+1=0D.x+2y+3=0（2）（2020福建泉州科技中學(xué)高二期中）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬，再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)閤2+y2≤3，若將軍從點(diǎn)A.10-3C.25-答案：（1）A（2）C解析：（1）因?yàn)槿肷涔饩€關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)都在反射光線上，所以在入射光線上任取點(diǎn)A(1,3)，B(0,1)，這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)是A'(3,1),B'(1,0)所以所求的直線方程是y-0=12(x-1)（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線x+y=5的對(duì)稱點(diǎn)為A'根據(jù)題意得A'易知AA'的中點(diǎn)為(a+32,b+12)，直線由{a+32+b+12∴A'(4,2)，則A則“將軍飲馬”的最短總路程為25解題感悟（1）求入射光線或反射光線所在直線的方程，其實(shí)質(zhì)是兩條直線關(guān)于某直線的對(duì)稱問(wèn)題，或者為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題；（2）“將軍飲馬”問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是兩點(diǎn)到直線上的點(diǎn)的距離之和的最小值問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的求解方法求得對(duì)稱點(diǎn)，進(jìn)而可知三點(diǎn)共線時(shí)，距離之和為最小值.遷移應(yīng)用1.（2021山東臨沂一中高二月考）光線沿著直線ax-y+2=0射到直線y=-x上，經(jīng)反射后沿著直線3x+y-b=0射出，則()A.a=-13，b=6B.a=3C.a=3，b=-16D.a=-答案：D解析：易知點(diǎn)(0,2)在直線ax-y+2=0上，且點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)為(-2,0)，所以點(diǎn)(-2,0)在直線3x+y-b=0上，即-6-b=0，解得b=-6.易知點(diǎn)(0,-6)在直線3x+y+6=0上，且點(diǎn)(0,-6)關(guān)于直線y=-x對(duì)稱的點(diǎn)為(6,0)，則點(diǎn)(6,0)在直線ax-y+2=0上，即6a+2=0，解得a=-12.（2020山東青州第一中學(xué)高二月考）已知點(diǎn)A(-3,8)和B(2,2)，在x軸上求一點(diǎn)M，使得|AM|+|BM|最小，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為()A.(-1,0)B.(0,C.(22答案：D解析：找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接AB'，與x軸交于M此時(shí)|AM|+|BM|最小，由B與B'關(guān)于x軸對(duì)稱得B又A(-3,8)，所以直線AB'的方程為化簡(jiǎn)得y=-2x+2，令y=0，解得x=1，所以M(1,0)，故選D．評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升課堂檢測(cè)1.已知點(diǎn)A(2,4)，B關(guān)于點(diǎn)P(0,-1)對(duì)稱，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A.(1,32C.(-2,-6)D.(-6,-2)答案：C2.點(diǎn)A(0,-3)關(guān)于直線l:x+y-3=0對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(5,2)B.(6,3)C.(3,6)D.(6,-3)答案：B3.若光線從點(diǎn)P(-3,3)射到y(tǒng)軸上，經(jīng)y軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q(-1,-5)，則光線從點(diǎn)P到點(diǎn)Q走過(guò)的路程為()A.10B.5+17C.45答案：C素養(yǎng)演練數(shù)學(xué)運(yùn)算——利用對(duì)稱解決最值問(wèn)題1.已知點(diǎn)A(3,0)，B(0,3)，M(1,0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P,Q分別在線段AB，BO上運(yùn)動(dòng)，則△MPQ的周長(zhǎng)的最小值為()A.4B.5C.25D.答案：C解析：易知過(guò)A(3,0)，B(0,3)兩點(diǎn)的直線方程為x+y-3=0，設(shè)M(1,0)關(guān)于直線x+y-3=0對(duì)