新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用5空間中的距離第1課時(shí)兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)到直線的距離異面直線間的距離學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8第1課時(shí)兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、異面直線間的距離課標(biāo)解讀課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.理解點(diǎn)到直線的距離的概念.2.能靈活運(yùn)用向量方法求兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離.1.數(shù)學(xué)抽象——能理解點(diǎn)到直線的距離的含義.2.直觀想象——能利用空間向量求兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到直線的距離.自主學(xué)習(xí)·必備知識(shí)教材研習(xí)教材原句要點(diǎn)一兩點(diǎn)間的距離空間中兩點(diǎn)之間的距離指的仍是這兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長(zhǎng),因?yàn)橄蛄康拈L(zhǎng)度表示的是向量的始點(diǎn)與①終點(diǎn)之間的距離,所以可通過(guò)向量來(lái)求空間中兩點(diǎn)之間的距離.要點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離給定空間中一條直線l及l(fā)外一點(diǎn)A,因?yàn)閘與A能確定一個(gè)平面,所以過(guò)A點(diǎn)可以作直線l的一條垂線段,這條垂線段的長(zhǎng)稱為點(diǎn)A到直線l的②距離.點(diǎn)到直線的距離也是這個(gè)點(diǎn)與直線上點(diǎn)的③最短連線的長(zhǎng)度.自主思考1.在空間中怎樣求兩點(diǎn)之間的距離?答案：提示利用向量法轉(zhuǎn)化為求向量的模.2.如何求垂線段的長(zhǎng)?答案：提示（1）設(shè)M為直線AB外一點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),在已知直線AB上取一點(diǎn)E,點(diǎn)E滿足兩個(gè)條件:①AE=λAB,②（2）利用（1）中的兩個(gè)等量關(guān)系求出λ的值,進(jìn)而求出點(diǎn)E的坐標(biāo),求出向量ME的模,即為M點(diǎn)到直線AB的距離.名師點(diǎn)睛1.點(diǎn)到直線的距離,即點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度,由于直線與直線外一點(diǎn)確定一個(gè)平面,所以空間中點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為空間某一個(gè)平面內(nèi)點(diǎn)到直線的距離問(wèn)題．2.異面直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離（公垂線段的長(zhǎng)）或點(diǎn)到直線的距離.3.用空間向量求點(diǎn)到直線的距離的方法：設(shè)出點(diǎn)在直線上的射影,利用垂直關(guān)系求出射影的坐標(biāo),轉(zhuǎn)化為求向量的模,若設(shè)P到直線AB的距離為d,向量AP在向量AB上的投影的數(shù)量為AP?AB|互動(dòng)探究·關(guān)鍵能力探究點(diǎn)一空間中兩點(diǎn)間的距離自測(cè)自評(píng)1.已知點(diǎn)A(x,0,2)和點(diǎn)B(2,3,4),且|AB|=22,則實(shí)數(shù)xA.5或-1B.5或1C.2或-6D.-2或6答案：A解析：|AB|=(x-2)2+(0-3)2.從M(0,2,1)出發(fā)的光線,經(jīng)xOy平面反射后到達(dá)點(diǎn)N(2,0,2),則光線所走過(guò)的路程為()A.3B.4C.17D.32答案：C解析：由對(duì)稱性知M(0,2,1)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)為P(0,2,-1),則光線所走過(guò)的路程為|PN|=(0-23.在三棱錐S-ABC中,平面SAC⊥平面ABC,SA⊥AC,BC⊥AC,SA=6,AC=21,BC=8,則SBA.8B.9C.11D.12答案：C解析：建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系,如圖.則A(0,0,0),B(8,21,0),∴SB=|=(8-04.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1與A.292B.29C.232答案：A解析：易知四邊形BCC∴∴12由題意可知AB2==1∴|AO|=29解題感悟計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法：（1）利用|a|2=a?a（2）用坐標(biāo)法求向量的模（或兩點(diǎn)間的距離）,求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)常用此方法.探究點(diǎn)二點(diǎn)到直線的距離精講精練例（1）已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點(diǎn)A到直線BC的距離為()A.223B.1C.2（2）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,答案：（1）A解析：（1）∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴AB∴點(diǎn)A到直線BC的距離d=|=|=1×1-(答案：（2）以B為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以A1則BE=BA∴(4-4λ,3λ,1)?(-4,3,0)=0,∴λ=16∴BE=(4-4×1625,3×1625,1)=(36變式若將本例（2）中的條件改為“正三棱柱ABC-A1B1C答案：以B為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),A1設(shè)E滿足A1E=λ則BE又BE⊥∴λ-2+3λ=0,∴λ=1∴BE∴|∴點(diǎn)B到直線A1C1解題感悟用向量法求點(diǎn)到直線的距離的一般步驟：方法一：利用空間向量找垂線段,再求模即可.方法二：（1）建立空間直角坐標(biāo)系;（2）求直線的方向向量;（3）計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影的數(shù)量;（4）利用勾股定理求點(diǎn)到直線的距離.遷移應(yīng)用1.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA答案：42解析：以D為原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則D1則F設(shè)點(diǎn)H滿足FH=λFG=(-λ,λ,λ),且D1H⊥FG,由D1H?FG=0所以|D1H|=423,2.設(shè)P為矩形ABCD所在平面外的一點(diǎn),直線PA⊥平面ABCD,AB=3,BC=4,PA=1,求點(diǎn)P到直線BD的距離.答案：因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,所以BP=因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形,所以∠BAD=90所以BD=因?yàn)锽P所以BP在BD上的投影的數(shù)量為95又|BP所以點(diǎn)P到直線BD的距離d=(探究點(diǎn)三異面直線間的距離精講精練例已知四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,SD⊥平面ABCD,且SD=AD=1,求異面直線SB與AC答案：以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1),B(1,1,0),從而AC=(-1,1,0),設(shè)向量n＝(x,y,z)滿足n?AC→=0,在AC上取點(diǎn)A,在SB上取點(diǎn)B,AB=(0,1,0)所以異面直線SB與AC間的距離d=|解題感悟、求異面直線間的距離的方法：（1）利用幾何法,找兩條異面直線的公垂線,通過(guò)解三角形求公垂線段的長(zhǎng).（2）在兩異面直線l1與l2上各取一點(diǎn)P,Q,n為與直線l1,l2都垂直的直線的方向向量,得到異面直線l遷移應(yīng)用1.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,將菱形沿對(duì)角線AC折成直二面角D'-AC-B,折起后,直線答案：2解析：設(shè)AC∩BD=O,在菱形ABCD中,AC⊥BD,折起后,OD∵二面角D'-AC-B為直二面角,∴平面ACD∵平面ACD'∩平面ABC=AC,OD'∴OD以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.在原菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60∴OA=OC=3∴A(-則AB設(shè)n=(x,y,z)令n?AB令x=1,則y=3又∵AD'=(3,0,1),∴直線評(píng)價(jià)檢測(cè)·素養(yǎng)提升1.若O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA=(