新教材高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何2空間向量在立體幾何中的應用5空間中的距離第1課時兩點間的距離點到直線的距離異面直線間的距離學案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE8第1課時兩點間的距離、點到直線的距離、異面直線間的距離課標解讀課標要求素養(yǎng)要求1.理解點到直線的距離的概念.2.能靈活運用向量方法求兩點間的距離和點到直線的距離.1.數(shù)學抽象——能理解點到直線的距離的含義.2.直觀想象——能利用空間向量求兩點間的距離和點到直線的距離.自主學習·必備知識教材研習教材原句要點一兩點間的距離空間中兩點之間的距離指的仍是這兩個點連線的線段長,因為向量的長度表示的是向量的始點與①終點之間的距離,所以可通過向量來求空間中兩點之間的距離.要點二點到直線的距離給定空間中一條直線l及l(fā)外一點A,因為l與A能確定一個平面,所以過A點可以作直線l的一條垂線段,這條垂線段的長稱為點A到直線l的②距離.點到直線的距離也是這個點與直線上點的③最短連線的長度.自主思考1.在空間中怎樣求兩點之間的距離?答案：提示利用向量法轉(zhuǎn)化為求向量的模.2.如何求垂線段的長?答案：提示（1）設M為直線AB外一點,建立空間直角坐標系,寫出相關(guān)點的坐標,在已知直線AB上取一點E,點E滿足兩個條件:①AE=λAB,②（2）利用（1）中的兩個等量關(guān)系求出λ的值,進而求出點E的坐標,求出向量ME的模,即為M點到直線AB的距離.名師點睛1.點到直線的距離,即點到直線的垂線段的長度,由于直線與直線外一點確定一個平面,所以空間中點到直線的距離問題可轉(zhuǎn)化為空間某一個平面內(nèi)點到直線的距離問題．2.異面直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點間的距離（公垂線段的長）或點到直線的距離.3.用空間向量求點到直線的距離的方法：設出點在直線上的射影,利用垂直關(guān)系求出射影的坐標,轉(zhuǎn)化為求向量的模,若設P到直線AB的距離為d,向量AP在向量AB上的投影的數(shù)量為AP?AB|互動探究·關(guān)鍵能力探究點一空間中兩點間的距離自測自評1.已知點A(x,0,2)和點B(2,3,4),且|AB|=22,則實數(shù)xA.5或-1B.5或1C.2或-6D.-2或6答案：A解析：|AB|=(x-2)2+(0-3)2.從M(0,2,1)出發(fā)的光線,經(jīng)xOy平面反射后到達點N(2,0,2),則光線所走過的路程為()A.3B.4C.17D.32答案：C解析：由對稱性知M(0,2,1)關(guān)于xOy平面的對稱點為P(0,2,-1),則光線所走過的路程為|PN|=(0-23.在三棱錐S-ABC中,平面SAC⊥平面ABC,SA⊥AC,BC⊥AC,SA=6,AC=21,BC=8,則SBA.8B.9C.11D.12答案：C解析：建立以A為原點的空間直角坐標系,如圖.則A(0,0,0),B(8,21,0),∴SB=|=(8-04.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1與A.292B.29C.232答案：A解析：易知四邊形BCC∴∴12由題意可知AB2==1∴|AO|=29解題感悟計算兩點間的距離的兩種方法：（1）利用|a|2=a?a（2）用坐標法求向量的模（或兩點間的距離）,求解的圖形適宜建立空間直角坐標系時常用此方法.探究點二點到直線的距離精講精練例（1）已知A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),則點A到直線BC的距離為()A.223B.1C.2（2）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,答案：（1）A解析：（1）∵A(0,0,2),B(1,0,2),C(0,2,0),∴AB∴點A到直線BC的距離d=|=|=1×1-(答案：（2）以B為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系.則A1(4,0,1),C1(0,3,1),所以A1則BE=BA∴(4-4λ,3λ,1)?(-4,3,0)=0,∴λ=16∴BE=(4-4×1625,3×1625,1)=(36變式若將本例（2）中的條件改為“正三棱柱ABC-A1B1C答案：以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,0),A1設E滿足A1E=λ則BE又BE⊥∴λ-2+3λ=0,∴λ=1∴BE∴|∴點B到直線A1C1解題感悟用向量法求點到直線的距離的一般步驟：方法一：利用空間向量找垂線段,再求模即可.方法二：（1）建立空間直角坐標系;（2）求直線的方向向量;（3）計算所求點與直線上某一點所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影的數(shù)量;（4）利用勾股定理求點到直線的距離.遷移應用1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA答案：42解析：以D為原點,建立如圖所示的空間直角坐標系,則D1則F設點H滿足FH=λFG=(-λ,λ,λ),且D1H⊥FG,由D1H?FG=0所以|D1H|=423,2.設P為矩形ABCD所在平面外的一點,直線PA⊥平面ABCD,AB=3,BC=4,PA=1,求點P到直線BD的距離.答案：因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,所以BP=因為四邊形ABCD為矩形,所以∠BAD=90所以BD=因為BP所以BP在BD上的投影的數(shù)量為95又|BP所以點P到直線BD的距離d=(探究點三異面直線間的距離精講精練例已知四棱錐S-ABCD中,四邊形ABCD為正方形,SD⊥平面ABCD,且SD=AD=1,求異面直線SB與AC答案：以點D為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1),B(1,1,0),從而AC=(-1,1,0),設向量n＝(x,y,z)滿足n?AC→=0,在AC上取點A,在SB上取點B,AB=(0,1,0)所以異面直線SB與AC間的距離d=|解題感悟、求異面直線間的距離的方法：（1）利用幾何法,找兩條異面直線的公垂線,通過解三角形求公垂線段的長.（2）在兩異面直線l1與l2上各取一點P,Q,n為與直線l1,l2都垂直的直線的方向向量,得到異面直線l遷移應用1.在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,將菱形沿對角線AC折成直二面角D'-AC-B,折起后,直線答案：2解析：設AC∩BD=O,在菱形ABCD中,AC⊥BD,折起后,OD∵二面角D'-AC-B為直二面角,∴平面ACD∵平面ACD'∩平面ABC=AC,OD'∴OD以O為坐標原點,建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.在原菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60∴OA=OC=3∴A(-則AB設n=(x,y,z)令n?AB令x=1,則y=3又∵AD'=(3,0,1),∴直線評價檢測·素養(yǎng)提升1.若O為坐標原點,OA=(