-新教材高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)練29指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=(2a2-5a+3)ax在R上單調(diào)遞增,則a的值為()A.3 B.2 C. D.【解析】選B.由2a2-5a+3=1,解得a=2,a=,又函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則a=2,f(x)=2x.2.函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[1,2] D.[1,3]【解析】選A.令u=-3+4x-x2,y=3u為增函數(shù),所以y=的增區(qū)間就是u=-3+4x-x2的增區(qū)間(-∞,2].3.能滿足不等式<的a的取值范圍為()A. B.(1,2)C.(0,4) D.【解析】選D.因?yàn)閥=在R上是減函數(shù)且<,所以2a+1>3-2a,即a>.結(jié)合選項(xiàng)知D符合.4.若2x+1<1,則x的取值范圍是()A.(-1,1) B.(-1,+∞)C.(0,1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)【解析】選D.不等式2x+1<1=20,因?yàn)閥=2x在R上是增函數(shù),所以x+1<0,即x<-1.5.若f(x)=3x+1,則()A.f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減B.y=3x+1與y=+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱C.f(x)的圖象過點(diǎn)(0,1)D.f(x)的值域?yàn)閇1,+∞)【解析】選B.f(x)=3x+1在R上單調(diào)遞增,則A錯(cuò)誤;y=3x+1與y=3-x+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則B正確;由f(0)=2,得f(x)的圖象過點(diǎn)(0,2),則C錯(cuò)誤;由3x>0,可得f(x)>1,則D錯(cuò)誤.6.函數(shù)y=ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為,則函數(shù)y=3a2x-1在[0,1]上的最大值為()A.16 B.15 C.12 D.【解析】選C.因?yàn)楹瘮?shù)y=ax在定義域上是單調(diào)函數(shù),且y=ax在[0,1]上的最大值與最小值的和為,所以1+a=,解得a=,所以函數(shù)y=3·a2x-1=3·=12·,因?yàn)楹瘮?shù)y=在定義域上為減函數(shù),所以y=3·a2x-1在[0,1]上的最大值為當(dāng)x=0時(shí),函數(shù)值是12.二、填空題(每小題5分,共10分)7.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí)f(x)=2x-3,則當(dāng)x<0時(shí)f(x)=.

【解析】設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=2-x-3,又f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以-f(x)=2-x-3,所以f(x)=3-2-x.答案:3-2-x8.若函數(shù)f(x)=則不等式f(x)≥的解集為.

【解析】當(dāng)x≥0時(shí),由f(x)≥,得≥,所以0≤x≤1.當(dāng)x<0時(shí),不等式≥明顯不成立,綜上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}.答案:{x|0≤x≤1}三、解答題(每小題10分,共20分)9.解下列方程:(1)33x-2=81.(2)=.(3)52x-6×5x+5=0.【解析】(1)因?yàn)?1=34,所以33x-2=34,所以3x-2=4,解得x=2.(2)因?yàn)?,所以=,所以=,解得x=.(3)令t=5x,則t>0,原方程可化為t2-6t+5=0,解得t=5或t=1,即5x=5或5x=1,所以x=1或x=0.10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].(1)設(shè)t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值與最小值.(2)求f(x)的最大值與最小值.【解析】(1)設(shè)t=3x,x∈[-1,2],函數(shù)t=3x在[-1,2]上是增函數(shù),故有≤t≤9,故t的最大值為9,最小值為.(2)由f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函數(shù)的對(duì)稱軸為t=1,且≤t≤9,故當(dāng)t=1時(shí)函數(shù)有最小值3,t=9時(shí)函數(shù)有最大值67.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.已知>,則a,b的大小關(guān)系是()A.1>a>b>0 B.a<bC.a>b D.1>b>a>0【解析】選B.因?yàn)閒(x)=是減函數(shù)且>,所以a<b.2.若函數(shù)f(x)=(1-2a)x在實(shí)數(shù)集R上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B.C. D.【解析】選B.由已知,得0<1-2a<1,解得0<a<,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.3.(多選題)若4x+2x+1+m>1對(duì)一切實(shí)數(shù)x成立,則能滿足不等式的實(shí)數(shù)m的取值可以是()A.-1 B.1 C.0 D.2【解析】選BD.4x+2x+1+m>1等價(jià)于(2x)2+2·2x+1>2-m,即(2x+1)2>2-m.因?yàn)?x∈(0,+∞),所以2x+1∈(1,+∞),所以2-m≤1.解得m≥1.4.若方程++a=0有正數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-3,0) B.(0,1)C.(0,3) D.(3,6)【解析】選A.令=t,因?yàn)榉匠逃姓?所以t∈(0,1).方程轉(zhuǎn)化為t2+2t+a=0,所以a=1-(t+1)2.因?yàn)閠∈(0,1),所以a∈(-3,0).二、填空題(每小題5分,共20分)5.若-1<x<0,a=2-x,b=2x,c=0.2x,則a,b,c的大小關(guān)系是.

【解析】因?yàn)?1<x<0,所以由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得:2x<1,2-x>1,0.2x>1,又因?yàn)?.5x<0.2x,所以b<a<c.答案:b<a<c6.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,則a=;f(2)=.

【解析】因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,所以f(2)=22-2-2=.答案:27.若0<a<1,函數(shù)y=ax在[-1,1]上的最大值與最小值的差是1,則底數(shù)a=.

【解析】若0<a<1,則a-1-a=1,即a2+a-1=0,解得a=或a=(舍去).答案:8.已知函數(shù)f(x)=2|x-a|(a為常數(shù)),若f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),則a的取值范圍是.

【解析】由函數(shù)f(x)=2|x-a|=可得,當(dāng)x≥a時(shí)函數(shù)為增函數(shù),而已知f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),所以a≤1.答案:(-∞,1]三、解答題(共30分)9.(10分)已知3x≤,求函數(shù)y=的值域.【解析】由3x≤,得3x≤3-2x+6,所以x≤-2x+6,解得x≤2.又因?yàn)閥=在x∈(-∞,2]上是減函數(shù),所以y=≥=,故y=的值域?yàn)?10.(10分)已知函數(shù)f(x)=-1.(1)作出f(x)的簡(jiǎn)圖.(2)若關(guān)于x的方程f(x)=3m有兩個(gè)解,求m的取值范圍.【解析】(1)f(x)=如圖所示:(2)作出直線y=3m,當(dāng)-1<3m<0,即-<m<0時(shí)函數(shù)y=f(x)與y=3m有兩個(gè)交點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=3m有兩個(gè)解.11.(10分)已知函數(shù)f(x)=1-.(1)求函數(shù)f(x)的定義域,判斷并證明f(x)的奇偶性.(2)用單調(diào)性定義證明函數(shù)f(x)在其定義域上是增函數(shù).(3)解不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0.【解析】(1)因?yàn)?x>0,3x+1≠0,函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)=1-==,所以f(-x)===-f(x).所以f(x)是定義在R上的奇函數(shù).(2)任取x1,x2∈R且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=1--=-==,因?yàn)閤1<x2,所以-<0.f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在其定義域上是增函數(shù).(3