集合補課習題

集合補課習題集合元素的“三性”及其應(yīng)用集合的特征是學好集合的基礎(chǔ)解集合題的關(guān)鍵它主要指集合元素的確定性互異性和無序性些質(zhì)為我們提供了題的依據(jù)別是元素的互異性有慎易錯面就集合元素的這三個性質(zhì)及應(yīng)用加以說明．一、注意正確理解其意義1．確定性：即對任意給定的對象，相對于某個集合來說，要么屬于這個集合，要么不屬于這個集合，二者必居其一，關(guān)鍵是理解“確定”的含義．2．互異性：對于一個給定的集合，集合中的元素一定是不同的（或說是互異的個集合中的任何兩個元素都是不同的對象同對象歸入任一個集合時能為這個集合的一個元素．3序性由于集合中元素是確定且互異的素完全相同的集合是相等的集合此集合中的元素與順序無關(guān)．二、注意正確利用“三性”解題例下命題正確的有哪幾個？⑴很小的實數(shù)可以構(gòu)成集合集1集5不同的集合集5集，同一個集合；⑷由∣∣0.5這數(shù)組成的集合有5個素．分析題主要考查對集合念的理解這問題的關(guān)鍵是以集合中元素的確定性、互異性、無序性為標準作出判斷．解很小一模糊概念有明確的標準我們很難確定某一個對象是否在其中，不符合集合元素的確定性，因此小的實數(shù)”不能構(gòu)成集合，故⑴錯．⑵1，｝由兩個數(shù)1，組成的集合，根據(jù)集合元素的無序性，它51是同一個集合，故⑵錯．⑶，由個點（1，）成的單元素集合，由于（1，）（，）示兩個不同的點，所以，不同的兩個集合，故⑶錯．⑷＝，∣－∣＝，因此，由，∣－∣0.5這數(shù)組成的集合為有個素因此，⑷也錯．例已集合Ａ＝｛，＋，2＝｛中Ａ＝Ｂ，求的值．分析本最常見的錯誤是認為兩個集合的對應(yīng)項相同出相應(yīng)的關(guān)系式然求出的值，這顯然違背了集合的無序性．解：∵Ａ＝Ｂ，及集合元素的無序性，∴有以下兩種情形：①消去，解得＝，此時＝，與集合中元素的互異性矛盾，1．②消去，解得＝－，或（去的值為．評注本中利集合元素的序性和兩集合相等時的元素特征，得出兩個方程組開了解題的大門求值后又利用了集合元素的互異性進行檢驗證了所求的結(jié)果的準確性．例設(shè)＝｛ｘ∣＋（ｂ2）＋ｂ1＝，ｂＡ中所有元素之和．錯解：由＋（ｂ2）＋ｂ＋＝得（＋＋＋）＝０（）ｂ＝０，1＝－，時Ａ中的元素之和為2．

（）ｂ０時1＋x2＝ｂ．分析上述解法錯在）上，當ｂ＝０時，方程有二重根，集合Ａ＝｛元之和為－，錯的原因是忽視了集合中元素的“互異性，列舉法表示合時，要特別注意元素的“互異性例4已集合，，＝+4-2,2-}，求．分析：∵AB={3,7}∴+4+2=7．即=1，=－至此不少學生認為大功告成，事實上，這只求出了集合，集合B中元素是什么它否滿足元素的互異有于進一檢查．=－時2－=7，在B中重復(fù)出這與元素的互異性相矛盾，故應(yīng)舍－．=1時B={0,7,3,1}且AB={3,7}∴=1評注集元素的確定性，互異序在解題中有重要的指導作用，忽視這一點差之毫厘則失之千里．集合學習中的錯誤種種數(shù)學是一門嚴謹?shù)膶W科在合習中由對概念理解不清或考慮問題不全面等稍不留心就會不知不覺地產(chǎn)生錯誤文歸納集合學習中的種種錯誤期助同學們避免此類錯誤的再次發(fā)生．一、混淆集合中元素的形成例集，則．錯解：解方程組得剖析：產(chǎn)錯誤的原因在于沒有弄清楚集合中元素的形式淆集與數(shù)集集合中的元素都是有序數(shù)對，即平面直角坐標系中的點，而不是數(shù)，因而是點集，而不是數(shù)集．二、忽視空集的特殊性例已，若則的值為．錯解：由得由得或3或剖析由忽視空集的特殊性――集是任何集合的子集生丟解的錯誤以上只討論了的情形，還應(yīng)討論的情形，當時的值為．三、忽視集合中的元素的互異性這一特征例已集合，且求的值．錯解：，必有或剖析由忽視集合中元素應(yīng)互這一特征產(chǎn)生增解的錯誤．求出的值后，還必須檢驗是否滿足集合中元素應(yīng)互異這一特征．事實上當，不足中元素應(yīng)互異這一特征，故應(yīng)舍去．（）時，滿足且集合中元素互異．

的值為1．四、沒有弄清全集的含義例設(shè)集，求值．錯解：且或剖析：沒有正確理解全集的含義，產(chǎn)生增解的錯誤．全集中應(yīng)含有討論集合中的一切元素，所以還須檢驗．（）時，此時滿足．（）時，應(yīng)舍去五、沒有弄清事物的本質(zhì)例若試問是否相等．錯解：剖析：只看到兩集合的形式區(qū)別，沒有弄清事物的本質(zhì)，事實上是偶數(shù)集，也是偶數(shù)集，兩集合應(yīng)相等，盡管形式不同．換句話說，兩集合中所含元素完全相同，六、誤用數(shù)學符號例用填空錯解：錯誤的原因在于沒有弄清符號“”與“”之間的區(qū)別“”表示元素與集合之間的關(guān)系表示集合與集合之間的關(guān)系，表示集合，亦是集合集合中的數(shù)學思想方法例析數(shù)學思想和數(shù)學方法是數(shù)學的靈魂知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁息會越來越多的要求人們自覺地運用數(shù)學思想提出問題和用數(shù)學方法解決問題幾年的高考數(shù)學試題來越注重對數(shù)學思想和數(shù)學方法的考查已成為高考熱點問題幫助同學們更好地理解和掌握最常用的基本數(shù)學思想和數(shù)學方法合學們已經(jīng)學過的集合中有關(guān)的數(shù)學思想方法要點歸納如下，以擴大讀者的視野．一、等價轉(zhuǎn)化思想在解集合問題時，當一種集合的表達式不好入手時，可將其先轉(zhuǎn)化為另一種形式：=B或?qū)?A轉(zhuǎn)為，將轉(zhuǎn)化為，將轉(zhuǎn)化為等．例已M={(x，y)|=x＋a}，，y=2}，使=立的實數(shù)a的值圍。解：等于方程組無解。把＋代方程x＋中消去y，得關(guān)于x的一元二次方程2x＋2ax＋－。問題又轉(zhuǎn)化為一元二次方程①無實根，即eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)－××(a－0由此解得a＞或a＜－。故所求實數(shù)a的值范圍{＞或＜－。

評析在解集合符號的基礎(chǔ)上確地將集合語言轉(zhuǎn)化為初中已學過的數(shù)學問題后用所學的知識和方法把問題解決化可以把抽象知識用簡潔的學語言表達出來，提高解題效率．二、分類討論思想解答集合問題時常常遇到這樣的情況：解題過程中，解到某一步時，不能再以統(tǒng)一的方法、統(tǒng)一的形式繼續(xù)進行為時研究的數(shù)學對象已包含了多種可能的情形須定一個標準這標準劃分成幾個用不同形式去解決的小問題些小問題一一加以解決，從而使問題得到解決，這就是分類討論的思想方法．例設(shè)合A={x|＋4x，，={x|＋＋＋－，，，若，求實數(shù)a的值范圍。分析：可分為B=，，=A三種情況討論。解：∵，－，∴分以下三種情況：⑴當A時B={0，，由此知0和4是程＋＋＋－1=0的個根，由根與系數(shù)之間的關(guān)系，得：a=。⑵當BA，又可分為：①時，eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)＋1)－－0解得＜－；②≠B={0}或B={－并eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)4(a＋－4(a－解得a=－此B滿足題意。綜合⑴、⑵知，所求實數(shù)a的值為≤1或a=。評析解類討論問題的實質(zhì)是整體化為部分來解決于含參數(shù)的計劃問題常需要對參數(shù)分類討論。在分類時要注意“不重不漏空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，=時也滿足BA．所以中應(yīng)考慮B=B≠種情況，就是說，正是空集引法的分類討論．三、開放思想開放型問題是相對于中學課本中有明確條件和結(jié)論的封閉型問題而言的問題的知識覆蓋面大，綜合性較強，靈活選擇方法的要求較高，再加上題意新穎，構(gòu)思精巧，具有相當?shù)纳疃群碗y度．集合中的開放型問題問題大多是結(jié)論不定性開放型問題．例設(shè)合A={(xy)|y－－0}，集合By)|＋－2y＋=0}集合Cy)|ykx＋}，是否存在k，，使得？若存在，請求出，b的值；若不存在，請說明理由．解：因為，即，所以且．將＋代入－x－1=0得kx(2kb－＋－1=0，因為，所以eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)(2kb－－－＜，－＋＜，若此不等式有解，應(yīng)有16b－16＞，＞．又將ykx＋代4x－＋0，得：＋2k)x－2b)=，因為，所以eq\o\ac(△,=)eq\o\ac(△,)(22k)－－，即－＋－＜，此不等式有解，應(yīng)有4－4(8b－＞，得b．②由不等式①、②及，b=．將=代入由eq\o\ac(△,0)和＜組的不等式組，得，再注意到kN，得．故存在自然數(shù)k=1，b=2使．評析：在數(shù)學命題中，常以適合某種性質(zhì)的結(jié)論“存在(肯型在否型)否存在論型)”形式出現(xiàn)在就是有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對象，對于這類問題無論用什么方法只要找出一個，就說明存在在”就是無論用什么方法都找不出一個適合某種已知條件或性質(zhì)的對象，這類問題一般需要推理論證存”結(jié)論

有兩種：一種是可能或存在；另一種是不存在，則需要說明理由．高考中解集合問題的幾種方法集合是歷來高考查的重要內(nèi)容之一整個高中內(nèi)容的基礎(chǔ)由于集合知識的抽象性給處理集合問題帶來一定的困難，為此結(jié)合歷年高考集合題，例析解集合問題的幾種常用方法，供參考。數(shù)軸法由實數(shù)與數(shù)軸上的點對應(yīng)關(guān)系以數(shù)軸上的點或區(qū)間表示數(shù)集而觀形象地分析問題和解決問題。例(2005年天津理工高設(shè)合－≥，∈，≥，∈}則∩=()A．－，－2．－，2∪，C．－，3)∪∞D(zhuǎn)－，3)∪，∞解：集合1|≥，∈≥x≤－2，xR}集合≥，∈}={x|x<－或x≥，把集合和集合所表示的范圍在數(shù)軸上表示出來，可得AB=(－，3)∪，∞例(2005年重慶理工高集合A={∈－－0}，∈R||x－<2}，∩=___________。解：∈－6<2<x<B={x∈－<2}={x|0x<把合A和集合所表示的范圍在數(shù)軸上表示出來，可得∩={x|0<例3(2005年南理工高集合，={x||x－b|<，a=1是A∩φ”的充分條件，則b的值范圍可以().．－≤0．．≤。．－<b<－D－≤b<解：集合A={x|}={x|－，當“=1“時B={x||xb|<1}=－1b<+以上兩個圖都ABφ，因為“a=”“∩Bφ”充分條件，由圖可得－≤，故選。性質(zhì)法在解集合問題時，用常用性質(zhì)求解，往往快捷迅速，如CA∪C(AB)，∩A∪φA=,φ∪φA，集合A中有n個素其子集個為真子集個數(shù)為2－等。例4(2000年季高考設(shè)集U={a，，，，e}，合A={a，，，，，，那么CA∩CB（A．φ．．，．，解：CB=C(∪CU=φ，選A.例年國高)設(shè)集12，集合，2，合B={234}則∪CB(A．{0}．，C．{01，D．，，，，解：因為A∩，，∪C(∩，，故C.

例年津文史高)集合≤且x的子集個數(shù))A．16B．C7D．解：集合，，共個素，其真子集個數(shù)為2－故選列舉法對于