2.2 基本不等式（第2課時(shí)）（同步備課+分層作業(yè)） 高一數(shù)學(xué)同步備課系列（人教A版2019必修第一冊(cè)）（解析版）

2.2基本不等式（第2課時(shí)）（分層作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2021·河北·大名縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式即可求出．【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)椋蔬x：C．2．（2022·全國·高一）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，，所以（?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），即的最小值為4.故選：D.3．（2022·河南南陽·高一階段練習(xí)）已知，且，則的最大值為（

）A．2 B．5 C． D．【答案】D【分析】直接由基本不等式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值為.故選：D4．（2021·全國·高一專題練習(xí)）若對(duì)任意的都有，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】利用基本不等式，可求得的最小值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號(hào)成立，所以，故選：A5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）下列說法正確的為（

）A．B．函數(shù)的最小值為4C．若則最大值為1D．已知時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取得最小值8【答案】C【分析】利用基本不等式及其對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)分別判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng),只有當(dāng)時(shí)，才滿足基本不等式的使用條件，則不正確；對(duì)于選項(xiàng),，令，即在上單調(diào)遞增，則最小值為,則不正確；對(duì)于選項(xiàng),，則正確；對(duì)于選項(xiàng),當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，等號(hào)成立，則不正確.故選：.6．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，用基本不等式求的最小值時(shí)，有，則取得最小值時(shí)的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】利用基本不等式取等號(hào)的條件進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即取得最小值．故選：C7．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）某汽車客運(yùn)站購買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車營運(yùn)的總利潤y（單位：萬元）與營運(yùn)年數(shù)x為二次函數(shù)關(guān)系，如圖所示，則當(dāng)每輛客車營運(yùn)的年平均利潤最大時(shí)，其營運(yùn)年數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先由題意，根據(jù)待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再由基本不等式即可求解.【詳解】由題意可設(shè)，且當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故選:C．8．（2021·湖南·衡陽市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，則的最值為（

）A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3【答案】C【分析】配湊目標(biāo)式，利用基本不等式，即可求得目標(biāo)式的最值.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值3；令，對(duì)函數(shù)，其在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，無最大值.故時(shí)，無最大值.故選：C.9．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若不等式對(duì)滿足條件的恒成立，則實(shí)數(shù)k的最大值為（

）A．2 B．4C．6 D．8【答案】B【分析】根據(jù)已知及基本不等式可得，可求出實(shí)數(shù)k的最大值．【詳解】解：根據(jù)

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，化簡可得，因?yàn)?，所以，，所以運(yùn)用，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，又因?yàn)楹愠闪?，所以，即k的最大值是4．故選：B．10．（2022·全國·益陽平高學(xué)校高一期末）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【分析】利用基本不等式可求解.【詳解】因?yàn)椋?因?yàn)?，所以，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值是6.故選：A二、多選題11．（2022·全國·高一）設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．的最小值為B．的最小值為2C．的最大值為1D．的最小值為2【答案】CD【分析】由已知條件結(jié)合基本不等式及其相關(guān)變形，分別檢驗(yàn)各個(gè)選項(xiàng)即可判斷正誤.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即，時(shí)取等號(hào)，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，即的最大值為2，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確；對(duì)于選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，則正確,故選:.12．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（多選）已知，都為正數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用基本不等式結(jié)合已知條件逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，都為正?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為，所以A正確，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，由選項(xiàng)A可知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，但，都為正數(shù)，故等號(hào)取不到，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)?，都為正?shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，所以D正確，故選：ABD三、填空題13．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）用一根長為12m的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架（不計(jì)損耗），要使這個(gè)窗戶通過的陽光最充足，則框架的寬為______m．【答案】【分析】首先設(shè)框架的寬為x，再表示框架的面積，利用基本不等式求最值，即可求框架的寬.【詳解】設(shè)框架的寬為x，則其高為，要使這個(gè)窗戶通過的陽光最充足，只要窗戶的面積S最大，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故框架的寬為m．故答案為：14．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則函數(shù)的最大值為___________.【答案】【分析】由于，需要構(gòu)造函數(shù)，才能運(yùn)用基本不等式.【詳解】因?yàn)?，所以?當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，取最大值，即.故答案為：3.15．（2022·甘肅·張掖市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值是___________.【答案】【分析】利用基本不等式求函數(shù)最小值，注意等號(hào)成立的條件即可.【詳解】由題設(shè)知，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故函數(shù)最小值為.故答案為：.16．（2021·吉林油田高級(jí)中學(xué)高一開學(xué)考試）若“，不等式恒成立”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式求出，，根據(jù)不等式“，不等式恒成立”可得答案.【詳解】由基本不等式可知，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”），因?yàn)椤?，不等式恒成立”，?故答案為：17．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是________．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，恒成立等價(jià)于恒成立，有基本不等式得出a的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，不等式成立；當(dāng)時(shí)，根據(jù)恒成立，則等價(jià)于恒成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；只需即可．故答案為：18．（2022·江蘇·高一）已知，，且，則的最小值為_________【答案】【分析】利用基本不等式“1”的妙用進(jìn)行求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：19．（2022·陜西·長安一中高一階段練習(xí)）函數(shù)的最小值為___．【答案】【分析】令，則，化簡得到，集合基本不等式，即可求解.【詳解】因?yàn)?，令，則，又因?yàn)?，可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的最小值為.故答案為：.20．（2022·江蘇·高一）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為___________．【答案】【分析】將函數(shù)解析式變形為，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.故答案為：.四、解答題21．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，求函數(shù)的最大值.【答案】4【分析】根據(jù)題意,設(shè),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得當(dāng)時(shí),有最大值16,進(jìn)而分析可得的最大值,即可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,設(shè)則,分析可得當(dāng)時(shí),有最大值16,則此時(shí)有最大值;故函數(shù)的最大值為4.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)最值的計(jì)算,關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思路,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值.22．（2022·全國·高一專題練習(xí)）求函數(shù)的最值.【答案】最小值為，無最大值【分析】利用分式變形結(jié)合換元法構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)，利用對(duì)勾函數(shù)最值求解即可【詳解】解：，令，則，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故的最小值為，無最大值.【能力提升】一、單選題1．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足，且不等式恒成立，則c的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，得出，進(jìn)一步得到的最小值，再根據(jù)不等式恒成立，得出求出c的取值范圍．【詳解】解：，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“”成立，又不等式恒成立，，的取值范圍是．故選：B．2．（2020·全國·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)計(jì)用的材料制造某種長方體形狀的無蓋車廂，按交通部門的規(guī)定車廂寬度為，則車廂的最大容積是（

）A．（38－3m3 B．16m3 C．4m3 D．14m3【答案】B【詳解】設(shè)長方體車廂的長為xm，高為hm，則，即，∴，即，解得，∴．∴車廂的容積為．當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)等號(hào)成立．∴車廂容積的最大值為．選B．二、多選題3．（2022·全國·高一單元測(cè)試）已知，，且，則（

）A．的取值范圍是B．的取值范圍是C．的最小值是3D．的最小值是【答案】BD【分析】根據(jù)基本不等式可求得，判斷A;將變形為結(jié)合基本不等式，求得，判斷B；由整理得到結(jié)合基本不等式可判斷C,D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即，解得，即，A錯(cuò)誤；對(duì)于B,由，,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，得，所以,B正確；對(duì)于C,由，，，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立,但，所以．（等號(hào)取不到）,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由C的分析知：，,,，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D正確，故選：BD4．（2021·重慶市鳳鳴山中學(xué)高一期中）下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有．A．如果，那么取得最大值時(shí)的值為B．如果，，，那么的最小值為6C．函數(shù)的最小值為2D．如果，，且，那么的最小值為2【答案】AB【解析】A.將其配成頂點(diǎn)坐標(biāo)式即可得出答案；B.將其配成代入即可得其最小值；C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無解D.根據(jù)題意構(gòu)造，將“1”替換為，代入用基本不等式.【詳解】解：對(duì)于A.如果，那么，當(dāng)時(shí)取得最大值，故正確；對(duì)于B.如果，，則整理得，所以或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故正確；對(duì)于C.函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)此時(shí)無解，不能取得最小值2，故錯(cuò)誤；對(duì)于D.如果，，且，那么當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最小值，故錯(cuò)誤.故選：AB【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.三、填空題5．（2021·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）不等式的解集為，則的最大值為____________.【答案】【分析】分、兩種情況討論，根據(jù)題意可得出、所滿足的不等關(guān)系式，結(jié)合基本不等式可求得的最大值.【詳解】當(dāng)時(shí)，即不等式的解集為，則，，要使得有意義，此時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，若不等式的解集為，則，即，所以，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，則，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.綜上所述，的最大值為.故答案為：.6．（2022·陜西·長安一中高一期中）已知，且，那么下列不等式：①；②；③；④中，正確的序號(hào)是________．【答案】①②④【分析】利用基本不等式及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可；【詳解】解：對(duì)于①:，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），所以①正確；對(duì)于②：由①有，設(shè)，則在上單調(diào)遞減．所以，所以②正確；對(duì)于③：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)），．所以③錯(cuò)誤．對(duì)于④：（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立），所以④正確．故答案為：①②④．7．（2021·遼寧·高一期中）已知，，若不等式恒成立，則的最大值是______.【答案】【分析】問題轉(zhuǎn)化為恒成立，由基本不等式求的最小值可得．【詳解】，，不等式恒成立，恒成立，又當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，的最小值為，所以，即的最大值為，故答案為：．8．（2021·浙江省桐鄉(xiāng)市高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為__________.【答案】【分析】由基本不等式分析，換元結(jié)合對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可求最小值.【詳解】由題意，，因?yàn)?，令，，由?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到，故的最小值為.故答案為：9．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，且，則的最大值為____．【答案】【解析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.【詳解】由，，得，即又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值為，故答案為：.10．（2021·湖北孝感·高一期中）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】4【分析】將用的表達(dá)式表示，結(jié)合，利用均值不等式求出，從而確定的范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，又且，所以，解得?結(jié)合知，有最大值4.故答案為：4.11．（2021·江蘇·南京市第十三中學(xué)高一期末）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為________.【答案】【解析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.【詳解】由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二元二次等式條件下二元分式的最大值，注意根據(jù)已知條件可因式分解從而采用換元法來改造目標(biāo)代數(shù)式，再根據(jù)目標(biāo)代數(shù)式的特征再次換元，從而得到能使用基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，本題屬于難題.四、解答題12．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】【分析】令，當(dāng)時(shí)，，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求出的范圍，再代入，最終可求出的值域，再根據(jù)即可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．【詳解】令當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立或即或或或綜合得因?yàn)椴坏仁胶愠闪?，則.13．（2021·全國·高一課時(shí)練習(xí)）（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）當(dāng)時(shí)，求的最小值．【答案】（1）7；（2）5．【分析】（1）原函數(shù)可化為，然后利用基本不等式求最小值；（2）原函數(shù)可化為，然后利用基本不等式求最小值.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即．14．（2021·新疆喀什·高一期中）某校為了美化校園環(huán)境，計(jì)劃在學(xué)?？盏亟ㄔO(shè)一個(gè)面積為的長方形草坪，如圖所示，花草坪中間設(shè)計(jì)一個(gè)矩形ABCD種植花卉，矩形ABCD上下各留1m，左右各留1.5米的空間種植草坪，設(shè)