高中數(shù)學(xué)二章平面向量23平面向量數(shù)量積232向量數(shù)量積運(yùn)算律示范

向量數(shù)目積的運(yùn)算律示范教課設(shè)計(jì)整體設(shè)計(jì)教課剖析上節(jié)學(xué)習(xí)了向量的數(shù)目積的定義及基天性質(zhì)，并做了簡(jiǎn)單的運(yùn)算．學(xué)生對(duì)運(yùn)算的意義的理解，經(jīng)過會(huì)合運(yùn)算、向量的加法、減法、數(shù)乘向量，已打破了算術(shù)運(yùn)算的框框．學(xué)生在形式上已接受了數(shù)目積的定義，但仍是向?qū)W生說明，之所以定義這種運(yùn)算，是因?yàn)樗鼡碛幸惶變?yōu)秀的運(yùn)算律．仔細(xì)證明分派律，揭露分派律的幾何意義，為用分派律運(yùn)算解幾何題打下堅(jiān)固的基礎(chǔ)．三維目標(biāo)1．經(jīng)過經(jīng)歷研究過程，掌握向量數(shù)目積的運(yùn)算律及其幾何意義，特別是分派律的幾何意義：兩個(gè)向量和的投影等于各向量投影的和．2．經(jīng)過向量運(yùn)算律的研究，會(huì)用運(yùn)算律證明簡(jiǎn)單的幾何問題．3．經(jīng)過問題的解決，培育學(xué)生察看問題、剖析問題和解決問題的實(shí)質(zhì)操作能力，培育學(xué)生的溝通意識(shí)、合作精神，培育學(xué)生表達(dá)表達(dá)自己解題思路和研究問題的能力．要點(diǎn)難點(diǎn)教課要點(diǎn)：向量數(shù)目積的運(yùn)算律．教課難點(diǎn)：向量數(shù)目積運(yùn)算律的靈巧運(yùn)用．課時(shí)安排課時(shí)教課過程導(dǎo)入新課思路1.(直接引入)從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)目積運(yùn)算，也能像數(shù)目乘法那樣知足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)目積運(yùn)算才更存心義．此刻我們研究一下，看看它會(huì)有哪些運(yùn)算律呢？π思路2.(特例引入)讓學(xué)生計(jì)算a·b和b·a，此中|a|＝4，|b|＝2，〈a，b〉＝3.學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)向量運(yùn)算知足互換律，從而研究能否知足其余的運(yùn)算律呢？推動(dòng)新課新知研究提出問題由所學(xué)知識(shí)能夠知道，任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律，數(shù)目積是一種向量的乘法運(yùn)算，它能否知足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？2我們知道，對(duì)隨意a，b∈R，恒有a＋b2＝a2＋2ab＋b2，a＋ba－b＝a2－b2.對(duì)隨意愿量a、b，能否也有下邊近似的結(jié)論？a＋b2＝a2＋2a·b＋b2；②a＋b·a－b＝a2－b2.活動(dòng)：第一看看它有沒有互換律a·b＝b·a.由向量數(shù)目積的定義，得|a||b|cosθ＝|b||a|cosθ，能夠直接推出互換律建立．在數(shù)目乘法中，最重要的運(yùn)算律，要算分派律了．向量的數(shù)目積能否擁有分派律(a＋b)·c＝a·c＋b·c?直觀上，不太簡(jiǎn)單看出它能否建立．讓我們從向量數(shù)目積的幾何意義出發(fā)，看看分派律能否建立．我們知道，一個(gè)向量與一個(gè)軸上單位向量的數(shù)目積等于這個(gè)向量在軸上正射影的數(shù)量．假如分派律中的向量c換成它的單位向量c0，則分派律變成(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0.①證明分派律就變成證明：兩個(gè)向量和在一個(gè)方向上的正射影的數(shù)目等于各個(gè)向量在這個(gè)方向上的射影的數(shù)目和．為此，我們畫出①式兩邊的幾何圖形(圖1)，看看可否推出①式兩邊相等．圖1作軸l與向量c的單位向量c0平行．→→→作OA＝a，AB＝b，則OB＝a＋b.設(shè)點(diǎn)O，A，B在軸l上的射影為O，A′，B′，依據(jù)向量的數(shù)目積的定義有→OA′＝OA·c0＝a·c0，→A′B′＝AB·c0＝b·c0，→OB′＝OB·c0＝(a＋b)·c0，但對(duì)軸上隨意三點(diǎn)O，A′，B′，都有OB′＝OA′＋A′B′，即(a＋b)·c0＝a·c0＋b·c0，這就證了然①式建立．①式兩邊同乘以|c|，得(a＋b)·c＝a·c＋b·c.至此，我們達(dá)成了分派律的研究與證明．此外，簡(jiǎn)單考證數(shù)乘以向量的數(shù)目積，能夠與隨意一個(gè)向量互換聯(lián)合，即對(duì)隨意實(shí)數(shù)λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．至此，我們研究并證了然數(shù)目積的運(yùn)算律：已知a，b，c和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)目積知足以下運(yùn)算律：①a·b＝b·a(互換律)；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘聯(lián)合律)；③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分派律)．應(yīng)向?qū)W生特別指出：(1)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0不可以推出b必定是零向量．這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量b，都有a·b＝0.(2)已知實(shí)數(shù)a、b、c(b≠0)，則ab＝bca＝c.但對(duì)向量的數(shù)目積，該推理不正確，即a·b＝b·c不可以推出a＝c.由圖2很簡(jiǎn)單看出，固然a·b＝b·c，但a≠c.圖2(3)關(guān)于實(shí)數(shù)a、b、c有(a·b)c＝a(b·c)；但關(guān)于向量a、b、c，(a·b)c＝a(b·c)不建立．這是因?yàn)?a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(b·c)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不必定共線，所以(a·b)c＝a(b·c)不建立．議論結(jié)果：(1)數(shù)目積知足a·b＝b·a(互換律)；(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(數(shù)乘聯(lián)合律)；(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分派律)．(2)1°(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝a2＋2a·b＋b2；2°(a＋b)·(a－b)＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝a2－b2＝|a|2－|b|2.明顯由1°式解出：3°a·1a2a22＝((|＋|)－||－||)．b2bb此時(shí)可向?qū)W生點(diǎn)明(2)中的三個(gè)向量表達(dá)式，有著深刻的幾何意義．后邊立刻就要學(xué)到．應(yīng)用示例思路1例1在△ABC中，設(shè)邊BC，CA，AB的長(zhǎng)度分別為a，b，c.證明：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.活動(dòng)：依據(jù)上邊的議論結(jié)果，教師指導(dǎo)學(xué)生自己達(dá)成證明．證明：如圖→→→3，設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，圖322→2→→則a＝|a|＝|BC|＝BC·BC→→→→＝(AC－AB)·(AC－AB)＝(b－)·(－)cbc＝b·b＋c·c－2b·c＝|b|2＋|c|2－2|b||c|cosA＝b2＋c2－2bccosA.同理可證其余二式．評(píng)論：這就是上邊議論結(jié)果②中1°，3°的式子，我們把這個(gè)結(jié)果稱為余弦定理，以后我們還要特意議論它的意義，教材把它放到必修5中去了，以便那個(gè)時(shí)候再返回到低的層面上循環(huán).變式訓(xùn)練1．已知a、b是平面內(nèi)兩個(gè)相互垂直的單位向量，若向量c知足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是( )2A．1B．2C.2D.2答案：C2．已知|a|＝6，|b|＝4，a與b的夾角為60°，求(a＋2b)·(a－3b)．解：(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－a·b－6b·b＝|a|2－a·b－6|b|2＝|a|2－|a||b|cosθ－6|b|262－6×4×cos60°－6×42＝－72.例2求證：菱形的兩條對(duì)角線相互垂直．已知：ABCD是菱形，AC和BD是它的兩條對(duì)角線(圖4)．圖4求證：AC⊥BD.證明：因?yàn)椤鶤C＝AB＋AD，→→→BD＝AD－AB，→→→→→→→2→2.所以AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|－|AB|→→→→因?yàn)閨AB|＝|AD|，所以AC·BD＝0.所以AC⊥BD.評(píng)論：上邊議論結(jié)果②中的3°式，作出圖來，顯示的即為平行四邊形的性質(zhì)．當(dāng)?shù)仁接覀?cè)等于0時(shí)，也就證了然菱形的對(duì)角線相互垂直，這點(diǎn)可對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生點(diǎn)明一下．思路2例1已知在四邊形→→→→ABCD中，AB＝a，BC＝b，CD＝c，DA＝d，且a·b＝c·d＝b·c＝d·a，試問四邊形ABCD的形狀怎樣？→→→→解：∵AB＋BC＋CD＋DA＝0，即a＋b＋c＋d＝0，a＋b＝－(c＋d)．由上可得(a＋b)2＝(c＋d)2，即a2＋2a·b＋b2＝c2＋2c·d＋d2.又∵a·b＝c·d，故a2＋b2＝c2＋d2.同理可得a2＋d2＝b2＋c2.由上兩式可得a2＝c2，且b2＝d2，即|a|＝|c|，且|b|＝|d|，也即AB＝CD，且BC＝DA，∴ABCD是平行四邊形．→→故AB＝－CD，即a＝－c.→→又a·b＝b·c＝－a·b，即a·b＝0，∴a⊥b，即AB⊥BC.綜上所述，ABCD是矩形．評(píng)論：此題考察的是向量數(shù)目積的性質(zhì)應(yīng)用，利用向量的數(shù)目積解決相關(guān)垂直問題，然后聯(lián)合四邊形的特色從而判斷四邊形的形狀．例2已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a|－|b|＝|a＋b|，求向量b與a－b的夾角．活動(dòng)：教師指引學(xué)生利用向量減法的平行四邊形法例，畫出以a，b為鄰邊的ABCD，→→→→.由|a|－|b|＝|a＋|，可知∠ABC＝60°，b→若AB＝，CB＝，則CA＝＋，DB＝－與DBabababb所成角是150°.我們還能夠利用數(shù)目積的運(yùn)算，得出向量b與a－b的夾角，為了穩(wěn)固數(shù)目積的相關(guān)知識(shí)，我們采納此外一種角度來思慮問題，教師賜予必需的點(diǎn)撥和指導(dǎo)，即由cosb·a－bb，a－b〉＝|b||a－b|作為切入點(diǎn)，進(jìn)行求解．解：∵|b|＝|a＋b|，|b|＝|a|，∴b2＝(a＋b)2.|b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.∴a·b＝－1|b|2.2而b·(a－b)＝b·a－b2＝－12|b|2－|b|2＝－32|b|2，①由(a－)2＝2－＋2＝|b|2－×(－1)|b|2＋2＝2，ba2a·bb22|b|3|b|而|a－b|2＝(a－b)2＝3|b|2，∴|a－b|＝3|b|.②b·a－b∵cos〈b，a－b〉＝|b||a－b|，3|b|23代入①②，得cos〈b，a－b〉＝－2|b|·3|b|＝－2.5π又∵〈b，a－b〉∈[0，π]，∴〈b，a－b〉＝.變式訓(xùn)練設(shè)向量c＝ma＋nb(m，n∈R)，已知|a|＝22，|c|＝4，a⊥c，b·c＝－4，且b與c的夾角為120°，求m，n的值．解：∵a⊥c，∴a·c＝0.又c＝ma＋nb，∴c·c＝(ma＋nb)·c，即|c|2＝ma·c＋nb·c.∴|c|2＝nb·c.由已知|c|2＝16，b·c＝－4，16＝－4n.∴n＝－4.從而c＝ma－4b.b·c＝|b||c|cos120°＝－4，1∴|b|·4·(－2)＝－4.∴|b|＝2.由c＝ma－4b，得a·c＝ma2－4a·b，∴8m－4a·b＝0，即a·b＝2m.①再由c＝ma－4b，得b·c＝ma·b－4b2.∴ma·b－16＝－4，即ma·b＝12.②聯(lián)立①②得222m＝12，即m＝6.∴m＝±6.故m＝±6，n＝－4.講堂小結(jié)1．先由學(xué)生回首本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，經(jīng)過回首數(shù)目積的定義、幾何意義，數(shù)目積的重要性質(zhì)，研究獲得了數(shù)目積的運(yùn)算律．2．教師進(jìn)行簡(jiǎn)要總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法：概括類比、數(shù)形聯(lián)合等．我們經(jīng)過類比實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算，獲得了數(shù)目積知足的三條運(yùn)算律，而且這些運(yùn)算律近似于實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律，很方便記憶和運(yùn)用．3．在意會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，鼓舞學(xué)生多角度、發(fā)散性地思慮問題．如在研究完數(shù)量積知足的運(yùn)算律以后，又接著研究了三個(gè)向量a，b，c，數(shù)目積不知足聯(lián)合律，這點(diǎn)常常被學(xué)生忽略．作業(yè)課本本節(jié)習(xí)題2.4A組2、3、4.設(shè)計(jì)感想1．本節(jié)是平面向量的核心部分，也是解決物理、幾何問題的基礎(chǔ)，其重要性不言而喻，也是高考的熱門之一．應(yīng)讓學(xué)生聯(lián)合上節(jié)中數(shù)目積的定義、重要性質(zhì)綜合概括整理一下，并進(jìn)行必需的基礎(chǔ)練習(xí)．2．聯(lián)合學(xué)生的概括整合，教師依據(jù)學(xué)生掌握的狀況可再次提示幾個(gè)常有思想誤區(qū)，如向量夾角的定義、范圍，三個(gè)向量的積的聯(lián)合律問題等．以便學(xué)生更深層次地理解數(shù)目積的內(nèi)涵和外延，確實(shí)掌握好數(shù)學(xué)觀點(diǎn)．3．關(guān)于本節(jié)教材中的例1可視教課狀況作適量引申，試試試看也不失為一種教法，對(duì)必修5的教課也許存心想不到的利處．備課資料一、向量的向量積在物理學(xué)中，因?yàn)樽h論像力矩以及物體繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí)的角速度與線速度之間的關(guān)系等這種問題的需要，就一定引進(jìn)兩向量乘法的另一運(yùn)算——向量的向量積．定義以下：兩個(gè)向量a與b的向量積是一個(gè)新的向量：cc的模等于以a及b兩個(gè)向量為邊所作成的平行四邊形的面積；(2)c垂直于平行四邊形所在的平面；(3)其指向使a、b、c三向量成右手系——假想一個(gè)人站在c處觀看a與b時(shí)，a按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)小于180°的角而達(dá)到b.如圖5.圖5向量a與b的向量積記作a×b.設(shè)a與b兩個(gè)向量的夾角為θ，則|a×b|＝|a||b|sinθ.在上邊的定義中已默認(rèn)了a、b為非零向量，若這兩個(gè)向量中起碼有一個(gè)是零向量，則a×b＝0.向量的向量積聽從以下運(yùn)算律：a×b＝－b×a；(2)a×(b＋c)＝a×b＋a×c；(3)(ma)×b＝m(a×b)．二、備用習(xí)題1．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ等于( )A．－1B．1C．－2D．22．設(shè)a，b，c是隨意的非零平面向量，且它們相互不共線，有以下四個(gè)命題：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·c)a－(c·a)b不與c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.此中正確的選項(xiàng)是()A．①②B．②③C．③④D．②④→→|b||c|2b·c23．在△ABC中，設(shè)AB＝b，AC＝c，則－等于( )A．0B.1S△ABC2C．SD．2S△ABC△ABC4．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系中x軸、y軸方向上的單位向量，且a＝(m＋1)i－3j，bi＋(m－1)j，假如(a＋b)⊥(a－b)，則實(shí)數(shù)m＝________.5．若向量a，b，c知足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，則a·b＋b·c＋c·a________.6．設(shè)|a|＝3，|b|＝4，a與b的夾角為150°，求：(1)(a－3b)·(2a＋b)；(2)|3a－4b|.7．已知|a|＝2，||＝3，a與b的夾角為45°，且向量λ＋b與a＋λb的夾角為ba銳角，務(wù)實(shí)數(shù)λ的取值范圍．π8．已知|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為3，求向量m＝2a＋b與n＝a－4b的夾角的余弦值．解答：1．A4.－25.－136．(1)－30＋3