高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)分層設(shè)計（全國I卷）學(xué)案第三層備考篇專題一解題常用8術(shù)系統(tǒng)歸納-第8術(shù)解題卡殼攻堅突圍

第8術(shù)解題卡殼，攻堅突圍解題卡殼，一般都是卡在壓軸題，或計算量大的題上，有時也卡在有些條件特殊的選擇題、填空題上．卡殼題不一定就是做不好的題，或是啃不動的題，而是因某些運算，或推理繁雜感到心理緊張而導(dǎo)致一下子難想出好主意，或回憶不到相關(guān)的公式、定理，或想不出相應(yīng)的輔助線、輔助函數(shù)，或把條件看錯，或在推理中錯算了一步，再無法繼續(xù)．解題過程卡在某一過渡環(huán)節(jié)上是常見的事．當(dāng)解題遇到卡殼時，應(yīng)注意調(diào)整心態(tài)、保持冷靜，注重更換思考方式、跳步或跳問解答，沉著迎戰(zhàn)．一般來說，對卡殼題的突圍關(guān)鍵在于如何針對已有的信息與所求目標(biāo)的差異進(jìn)行綜合分析，回頭整合相關(guān)的結(jié)論(包括已推得的結(jié)論)，注重信息的遷移，考查相關(guān)定義與圖形，從不同的角度再次認(rèn)識條件及結(jié)論，使之產(chǎn)生解題的靈感，從而獲得相關(guān)的“自我提示”．因此，在重審結(jié)論或剖析條件時，要注重考查命題所涉及的概念、定理，把握命題的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模仿探索，力爭做到求什么，想什么．在審查已做的運算、推理與所求結(jié)論的要求是否對路時，要注重隱含條件的挖掘與整合，仔細(xì)清查還有哪些條件未用上，還有哪些相關(guān)的通法未用到，力爭做到給什么，用什么．在溝通條件與結(jié)論時，要勇于試探、創(chuàng)新思維，注重類比、猜想、湊形、配式，力爭做到差什么，找什么．這就是我們常說的卡殼突圍術(shù)．常見的突圍策略有以下兩種．eq\a\vs4\al(策略（一）前難后易空城計)對設(shè)有多問的數(shù)學(xué)問題，若前一問不會解，而后面的幾問又是自己容易解的，或是可用前一問的結(jié)論來求解的，此時應(yīng)放棄前一問的求解，著重攻后面的幾問，并將前一問的結(jié)論作為后幾問的條件使用，巧妙地配合題設(shè)條件或有關(guān)定理來解答后面的問題．這種利用自己根本不懂或不會證明的問題作條件來解后幾問的做法，就是數(shù)學(xué)解題中的“空城計”，即：前問難作后問易，棄前攻后為上計(也可說成：前難后易前問棄，借前結(jié)論攻后題)．[例1]設(shè)函數(shù)fn(x)＝xn＋bx＋c(n∈N*，b，c∈R)．(1)設(shè)n≥2，b＝1，c＝－1，證明：fn(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)存在唯一零點；(2)設(shè)n＝2，若對任意x1，x2∈[－1，1]，有|f2(x1)－f2(x2)|≤4，求b的取值范圍；(3)在(1)的條件下，設(shè)xn是fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)的零點，判斷數(shù)列x2，x3，…，xn，…的增減性．[解](1)證明：當(dāng)b＝1，c＝－1，n≥2時，fn(x)＝xn＋x－1.∵fneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))·fn(1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n)－\f(1,2)))×1＜0，∴fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)存在零點．又∵當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))時，fn′(x)＝nxn－1＋1＞0，∴fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是單調(diào)遞增的，∴fn(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)存在唯一零點．(2)當(dāng)n＝2時，f2(x)＝x2＋bx＋c.對任意x1，x2∈[－1，1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4等價于f2(x)在[－1，1]上的最大值與最小值之差M≤4.據(jù)此分類討論如下：①當(dāng)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))＞1，即|b|＞2時，M＝|f2(1)－f2(－1)|＝2|b|＞4，與題設(shè)矛盾．②當(dāng)－1≤－eq\f(b,2)＜0，即0＜b≤2時，M＝f2(1)－f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)＋1))eq\s\up12(2)≤4恒成立．③當(dāng)0≤－eq\f(b,2)≤1，即－2≤b≤0時，M＝f2(－1)－f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)－1))eq\s\up12(2)≤4恒成立．綜上可知，當(dāng)－2≤b≤2時，對任意x1，x2∈[－1，1]都有|f2(x1)－f2(x2)|≤4.故b的取值范圍為[－2，2]．(3)法一：設(shè)xn是fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)的唯一零點(n≥2)，則fn(xn)＝xeq\o\al(n,n)＋xn－1＝0，fn＋1(xn＋1)＝xeq\o\al(n＋1,n＋1)＋xn＋1－1＝0，xn＋1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，于是有fn(xn)＝0＝fn＋1(xn＋1)＝xeq\o\al(n＋1,n＋1)＋xn＋1－1＜xeq\o\al(n,n＋1)＋xn＋1－1＝fn(xn＋1)．又由(1)知fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是單調(diào)遞增的，故xn＜xn＋1(n≥2)，所以數(shù)列x2，x3，…，xn，…是遞增數(shù)列．法二：設(shè)xn是fn(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))內(nèi)的唯一零點，fn＋1(xn)fn＋1(1)＝(xeq\o\al(n＋1,n)＋xn－1)(1n＋1＋1－1)＝xeq\o\al(n＋1,n)＋xn－1<xeq\o\al(n,n)＋xn－1＝0，則fn＋1(x)的零點xn＋1在(xn，1)內(nèi)，故xn<xn＋1(n≥2)，所以數(shù)列x2，x3，…，xn，…是遞增數(shù)列．[點評]第(1)問可利用函數(shù)的單調(diào)性及零點存在性定理較容易解決，但第(2)問較麻煩，很多同學(xué)不會做或耽誤較長時間，從而延誤了第(3)問的解答．事實上，由題意可知，第(3)問的解答與第(2)問沒有任何關(guān)系，但與第(1)問是相關(guān)的，且非常容易解答，因此我們可跨過第(2)問，先解決第(3)問，從而增大了本題的得分率，這是解決此類題的上策之舉．eq\a\vs4\al(策略（二）前解倒推混戰(zhàn)術(shù))有些數(shù)學(xué)命題的求解，開始入手還較為順暢，但一到最后就難以繼續(xù)進(jìn)行了．此時若知悉它的大致趨勢和結(jié)果，可依從所求結(jié)論的形式、特點，進(jìn)行反推、湊形，直到得出大致與所要達(dá)到的目標(biāo)相當(dāng)、相同或相似的式子，再來巧妙地進(jìn)行溝通也是可行的．對于這一步雖然是自己做不到的，但這樣寫了幾下，卻可能全都是對的．也就是說，對此解答，自己是以其昏昏，卻能使人昭昭．因為別人看上去確實是一步接著一步寫的，沒有什么跳躍，也沒掉什么關(guān)鍵步．這一戰(zhàn)術(shù)與“中間會師”有點相似，但實質(zhì)卻不同．因為它不是清清楚楚地推理過來的．這種不按常規(guī)方式出牌，渾水摸魚的解題方法我們稱之為混戰(zhàn)術(shù)：解題結(jié)尾路難行，倒推湊形亦為徑．[例2]已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2有兩個零點．(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個零點，求證：x1＋x2<2.[解](1)f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)·(ex＋2①設(shè)a＝0，則f(x)＝(x－2)ex，f(x)只有一個零點．②設(shè)a>0，則當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又f(1)＝－e，f(2)＝a，取b滿足b<0且b<lneq\f(a,2)，則f(b)>eq\f(a,2)(b－2)＋a(b－1)2＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2－\f(3,2)b))>0，故f(x)存在兩個零點．③設(shè)a<0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a若a≥－eq\f(e,2)，則ln(－2a)≤1，故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．又當(dāng)x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點．若a<－eq\f(e,2)，則ln(－2a)>1，故當(dāng)x∈(1，ln(－2a))時，f′(x當(dāng)x∈(ln(－2a)，＋∞)時，f′(x因此f(x)在(1，ln(－2a))內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(－2a)，＋又當(dāng)x≤1時，f(x)<0，所以f(x)不存在兩個零點．綜上，a的取值范圍為(0，＋∞)．(2)證明：不妨設(shè)x1<x2，由(1)知，x1∈(－∞，1)，x2∈(1，＋∞)，2－x2∈(－∞，1)，又f(x)在(－∞，1)內(nèi)單調(diào)遞減，所以x1＋x2<2等價于f(x1)>f(2－x2)，即f(2－x2)<0.由于f(2－x2)＝－x2eeq\a\vs4\al(2－x2)＋a(x2－1)2，而f(x2)＝(x2－2)eeq\a\vs4\al(x2)＋a(x2－1)2＝0，所以f(2－x2)＝－x2eeq\a\vs4\al(2－x2)－(x2－2)eeq\a\vs4\al(x2).設(shè)g(x)＝－xe2－x－(x－2)ex，則g′(x)＝(x－1)(e2－x－ex)．所以當(dāng)x>1時，g′(x)<0，而g(1)＝0，故當(dāng)x>1時，g(x)<0.從而g(x2)＝f(2－x2)<0，故x1＋x2<2.[點評]本題在證明x1＋x2<2時，如果直接從題目條件出發(fā)，很難證明該結(jié)論成立，而通過分析，將x1＋x2<2轉(zhuǎn)化為x1<2－x2<1，利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性及f(x1)＝f(x2)，將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式f(x1)>f(2－x2)，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(2－x2)，轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)g(x)的最大值小于0，從而使問題得證．[應(yīng)用體驗]1．設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求證：當(dāng)x∈(1，＋∞)時，1＜eq\f(x－1,lnx)＜x；(3)設(shè)c＞1，求證：當(dāng)x∈(0，1)時，1＋(c－1)x＞cx.解：(1)由題設(shè)，f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.當(dāng)0＜x＜1時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞1時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．(2)證明：由(1)知，f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0.所以當(dāng)x≠1時，lnx＜x－1.故當(dāng)x∈(1，＋∞)時，lnx＜x－1，lneq\f(1,x)＜eq\f(1,x)－1，即1＜eq\f(x－1,lnx)＜x.(3)證明：由題設(shè)c＞1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，則g′(x)＝c－1－cxlnc.令g′(x)＝0，解得x0＝eq\f(ln\f(c－1,lnc),lnc).當(dāng)x＜x0時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x＞x0時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．由(2)知1＜eq\f(c－1,lnc)＜c，故0＜x0＜1.又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0＜x＜1時，g(x)＞0.所以當(dāng)x∈(0，1)時，1＋(c－1)x＞cx.2．已知函數(shù)f(x)＝lnx，g(x)＝x＋m(m∈R)．(1)若f(x)≤g(x)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)已知x1，x2是函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的兩個零點，且x1<x2，求證：x1x2<1.解：(1)令F(x)＝f(x)－g(x)，則F(x)＝lnx－x－m(x>0)，F(xiàn)′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，當(dāng)x>1時，F(xiàn)′(x)<0；當(dāng)0<x<1時，F(xiàn)′(x)>0，所以F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0，1)上單調(diào)遞增，所以F(x)在x＝1處取得最大值，為－1－m.若f(x)≤g(x)恒成立，則F(x)≤0恒成立，所以－1－m≤0，解得m≥－1.所以實數(shù)m的取值范圍為[－1，＋∞)．(2)證明：由(1)可知，函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的兩個零點x1，x2滿足0<x1<1<x2，要證x1x2<1，只需證x2<eq\f(1,x1)，由于F(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而只需證F(x2)>Feq\b\lc\(\rc\)(\a\v