2022-2023學年廣東省梅州市平遠縣壩頭中學九年級（下）開學數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年廣東省梅州市平遠縣壩頭中學九年級（下）開學數(shù)學試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是（）A．x2﹣5x+5＝0 B．x2+5x﹣5＝0 C．x2+5x+5＝0 D．x2+5＝02．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD＝60°，則花壇對角線AC的長等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米3．“鳳鳴”文學社在學校舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，某組共互贈了210本圖書，如果設該組共有x名同學，那么依題意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝2104．已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一個解，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣25．菱形ABCD中，已知AC＝6，BD＝8，則此菱形的周長為（）A．5 B．10 C．20 D．406．關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有兩個不相等的實根，則k的范圍是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥17．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2a2﹣4a﹣1的值為（）A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．28．已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結論：①圖象必經過（﹣2，4）；②圖象在二，四象限內；③y隨x的增大而增大；④當x＞﹣1時，則y＞8．其中錯誤的結論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．09．若點（4，6）是反比例函數(shù)圖象上的一點，則此函數(shù)圖象必經過點（）A．（4，﹣6） B．（﹣4，﹣6） C．（2，﹣12） D．（12，﹣2）10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值為2；⑥AP⊥EF．其中正確結論的序號為（）A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．11．一元二次方程x2﹣x＝0的一次項系數(shù)為．12．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OE⊥AB，垂足為E，若∠ADC＝130°，則∠AOE的大小為．13．若方程（m﹣1）x2+mx﹣3＝0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，CD＝2，則AB＝．15．如圖，將面積為32的矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A的對應點為點P，連接AP交BC于點E．若BE＝，則AP的長為．16．如圖，在矩形ABCD中的AB邊長為6，BC邊長為9，E為BC上一點，且CE＝2BE，將△ABE翻折得到△AFE，延長EF交AD邊于點M，則線段DM的長度為．17．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線y＝kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1（1，1），B2（3，2），則Bn的坐標是．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分．18．有一個長方形的花壇，長是寬的4倍，其面積為25m2，求這個長方形花壇的長和寬．19．去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點．連接DE．點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：（1）請直接用含t的代數(shù)式表示PE、QE的長；（2）當t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？（3）當t為何值時，△EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）21．現(xiàn)在全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也大增，商場從廠家購進了A、B兩種型號的空氣凈化器，已知一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元，用7500元購進A型空氣凈化器和用6000元購進B型空氣凈化器的臺數(shù)相同．（1）求一臺B型空氣凈化器的進價為多少元？（2）在銷售過程中，A型空氣凈化器因為凈化能力強，嗓音小而更受消費者的歡迎，為了增大B型空氣凈化器的銷量，商場決定對B型空氣凈化器進行降價銷售．經市場調查，當B型空氣凈化器的售價為1800元時，每天可賣出4臺，在此基礎上，售價每降低50元，每天多賣出1臺，如果每天商場銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，請問商場應將B型空氣凈化器的售價定為多少元？22．如圖，扇形OAB的半徑OA＝3，圓心角∠AOB＝90°，點C是上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG＝GH＝HE（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；（2）當點C在上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；（3）求證：CD2+3CH2是定值．23．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0）、（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E．（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，DE＝，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．24．如圖①，在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，點E為對角線AC上一動點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF，連接BF．（1）求證BF＝AE；（2）如圖②，若F點恰好落在AC，求OF的長；（3）如圖③，當點F落在△OBC的外部，構成四邊形DEMF時，求四邊形DEMF的面積．25．已知正方形ABCD與正方形CEFG（點C、E、F、G按順時針排列），M是AF的中點，連接DM，EM．（1）如圖1，點E在CD上，點G在BC的延長線上，求證：DM＝EM，DM⊥EM．簡析：由M是AF的中點，AD∥EF，不妨延長EM交AD于點N，從而構造出一對全等的三角形，即≌．由全等三角形性質，易證△DNE是三角形，進而得出結論．（2）如圖2，E在BC的延長線上，點G在BC上，（1）中結論是否成立？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明理由．（3）當AB＝5，CE＝3時，正方形CEFG的頂點C、E、F、G按順時針排列．若點E在直線CD上，則DM＝；若點E在直線BC上，則DM＝．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是（）A．x2﹣5x+5＝0 B．x2+5x﹣5＝0 C．x2+5x+5＝0 D．x2+5＝0【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．解：一元二次方程x2﹣2（3x﹣2）+（x+1）＝0的一般形式是x2﹣5x+5＝0．故選：A．【點評】去括號的過程中要注意符號的變化，不要漏乘，移項時要注意符號的變化．2．如圖，已知某廣場菱形花壇ABCD的周長是24米，∠BAD＝60°，則花壇對角線AC的長等于（）A．6米 B．6米 C．3米 D．3米【分析】由四邊形ABCD為菱形，得到四條邊相等，對角線垂直且互相平分，根據∠BAD＝60°得到三角形ABD為等邊三角形，在直角三角形ABO中，利用勾股定理求出OA的長，即可確定出AC的長．解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝AD＝24÷4＝6（米），∵∠BAD＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∴BD＝AB＝6（米），OD＝OB＝3（米），在Rt△AOB中，根據勾股定理得：OA＝＝3（米），則AC＝2OA＝6米，故選：A．【點評】此題考查了勾股定理，菱形的性質，以及等邊三角形的判定與性質，熟練掌握菱形的性質是解本題的關鍵．3．“鳳鳴”文學社在學校舉行的圖書共享儀式上互贈圖書，每個同學都把自己的圖書向本組其他成員贈送一本，某組共互贈了210本圖書，如果設該組共有x名同學，那么依題意，可列出的方程是（）A．x（x+1）＝210 B．x（x﹣1）＝210 C．2x（x﹣1）＝210 D．x（x﹣1）＝210【分析】根據題意列出一元二次方程即可．解：由題意得，x（x﹣1）＝210，故選：B．【點評】本題考查的是一元二次方程的應用，在解決實際問題時，要全面、系統(tǒng)地申清問題的已知和未知，以及它們之間的數(shù)量關系，找出并全面表示問題的相等關系．4．已知x＝1是一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一個解，則m的值是（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得到關于m的一元一次方程，解之即可．解：把x＝1代入方程x2+mx﹣2＝0得：1+m﹣2＝0，解得：m＝1，故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解，正確掌握代入法是解題的關鍵．5．菱形ABCD中，已知AC＝6，BD＝8，則此菱形的周長為（）A．5 B．10 C．20 D．40【分析】根據菱形對角線互相垂直平分的性質，可以求得BO＝OD，AO＝OC，在Rt△AOD中，根據勾股定理可以求得AB的長，即可求菱形ABCD的周長．解：根據題意，設對角線AC、BD相交于O．則AC⊥BD．則由菱形對角線性質知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4．所以，在直角△ABO中，由勾股定理得AB＝＝＝5．則此菱形的周長是4AB＝20．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了菱形各邊長相等的性質，本題中根據勾股定理計算AB的長是解題的關鍵．6．關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有兩個不相等的實根，則k的范圍是（）A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1【分析】根據判別式的意義得到Δ＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，然后解不等式即可．解：∵關于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故選：A．【點評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判別式Δ＝b2﹣4ac：當Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ＜0，方程沒有實數(shù)根．7．已知a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2a2﹣4a﹣1的值為（）A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2【分析】根據一元二次方程的解的定義，把x＝a代入方程求出a2﹣2a的值，然后整體代入代數(shù)式進行計算即可得解．解：∵a是方程x2﹣2x﹣1＝0的一個根，∴a2﹣2a﹣1＝0，整理得，a2﹣2a＝1，∴2a2﹣4a﹣1＝2（a2﹣2a）﹣1＝2×1﹣1＝1．故選：A．【點評】本題考查了一元二次方程的解，利用整體思想求出a2﹣2a的值，然后整體代入是解題的關鍵．8．已知反比例函數(shù)y＝﹣，下列結論：①圖象必經過（﹣2，4）；②圖象在二，四象限內；③y隨x的增大而增大；④當x＞﹣1時，則y＞8．其中錯誤的結論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】根據反比例函數(shù)的性質，可得答案．解：①當x＝﹣2時，y＝4，即圖象必經過點（﹣2，4），正確；②k＝﹣8＜0，圖象在第二、四象限內，正確；③k＝﹣8＜0，每一象限內，y隨x的增大而增大，錯誤；④k＝﹣8＜0，每一象限內，y隨x的增大而增大，若0＞x＞﹣1，y＞8，x＞0時，y＜8，故④錯誤，故選：B．【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質，熟記反比例函數(shù)的性質是解題關鍵．9．若點（4，6）是反比例函數(shù)圖象上的一點，則此函數(shù)圖象必經過點（）A．（4，﹣6） B．（﹣4，﹣6） C．（2，﹣12） D．（12，﹣2）【分析】根據反比例函數(shù)圖象的性質，xy＝k，只有橫縱坐標的乘積等于相同值的點，在一個圖象上，進而得出答案即可．解：∵點（4，6）是反比例函數(shù)圖象上的一點，∴xy＝4×6＝24，4個選項中，只有（﹣4，﹣6）點，xy＝（﹣4）×（﹣6）＝24，故此函數(shù)圖象必經過點（﹣4，﹣6），故選：B．【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，根據所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標的積應等于比例系數(shù)得出是解題關鍵．10．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，P是對角線BD上一點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，連接AP，EF．給出下列結論：①PD＝EC；②四邊形PECF的周長為8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值為2；⑥AP⊥EF．其中正確結論的序號為（）A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥【分析】①根據正方形的對角線平分對角的性質，得△PDF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，求得DP＝EC．②先證明四邊形PECF為矩形，根據等腰直角三角形和矩形的性質可得其周長為2BC，則四邊形PECF的周長為8；③根據P的任意性可以判斷△APD不一定是等腰三角形；④由②可知，四邊形PECF為矩形，則通過正方形的軸對稱性，證明AP＝EF；⑤當AP最小時，EF最小，EF的最小值等于2；⑥證明∠PFH+∠HPF＝90°，則AP⊥EF．解：①如圖，延長FP交AB與G，連PC，延長AP交EF與H，∵GF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC，∵四邊形ABCD是正方形∴∠DBC＝45°∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∴∠PDF＝∠DPF＝45°，∴PF＝EC＝DF，∴在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝EC2+EC2＝2EC2，∴DP＝EC．故①正確；②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，∴四邊形PECF為矩形，∴四邊形PECF的周長＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，故②正確；③∵點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，∠ADP＝45°，∴當∠PAD＝45°或67.5°或90°時，△APD是等腰三角形，除此之外，△APD不是等腰三角形，故③錯誤．④∵四邊形PECF為矩形，∴PC＝EF，由正方形為軸對稱圖形，∴AP＝PC，∴AP＝EF，故④正確；⑤由EF＝PC＝AP，∴當AP最小時，EF最小，則當AP⊥BD時，即AP＝BD＝＝2時，EF的最小值等于2，故⑤正確；⑥∵BD平分∠ABC，PG⊥AB，PE⊥BC，∴PG＝PE，∵AP＝PC，∠AGP＝∠EPF＝90°，∴△AGP≌△FPE（SAS），∴∠BAP＝∠PFE，∵GF∥BC，∴∠AGP＝90°，∴∠BAP+∠APG＝90°，∵∠APG＝∠HPF，∴∠PFH+∠HPF＝90°，∴AP⊥EF，故⑥正確；本題正確的有：①②④⑤⑥；故選：A．【點評】本題考查了正方形的性質，垂直的判定，等腰三角形的性質，勾股定理的運用．本題難度較大，綜合性較強，在解答時要認真審題．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分．11．一元二次方程x2﹣x＝0的一次項系數(shù)為﹣1．【分析】根據一元二次方程的定義和項、系數(shù)的定義得出即可．解：一元二次方程x2﹣x＝0的一次項系數(shù)為﹣1，故答案為：﹣1．【點評】本題考查了一元二次方程和項、系數(shù)等定義，能理解定義的內容是解此題的關鍵．12．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，OE⊥AB，垂足為E，若∠ADC＝130°，則∠AOE的大小為65°．【分析】先根據菱形的鄰角互補求出∠BAD的度數(shù)，再根據菱形的對角線平分一組對角求出∠BAO的度數(shù)，然后根據直角三角形兩銳角互余列式計算即可得解．解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．故答案為：65°．【點評】本題主要考查了菱形的鄰角互補，每一條對角線平分一組對角的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵．13．若方程（m﹣1）x2+mx﹣3＝0是關于x的一元二次方程，則m的取值范圍是m≠1．【分析】本題根據一元二次方程的定義求解．一元二次方程必須滿足兩個條件：（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（2）二次項系數(shù)不為0．由這兩個條件得到相應的關系式，再求解即可．解：根據一元二次方程的定義可得：m﹣1≠0，解得：m≠1，故答案是：m≠1．【點評】此題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點D是AB的中點，CD＝2，則AB＝4．【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到結論．解：∵∠ACB＝90°，D為AB中點，∴CD＝AB，∴AB＝2CD，∵CD＝2，∴AB＝2CD＝4．故答案為：4．【點評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形的性質是解題的關鍵．15．如圖，將面積為32的矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A的對應點為點P，連接AP交BC于點E．若BE＝，則AP的長為．【分析】設AB＝a，AD＝b，則ab＝32，構建方程組求出a、b即可解決問題；解：設AB＝a，AD＝b，則ab＝32，由△ABE∽△DAB可得：＝，∴b＝a2，∴a3＝64，∴a＝4，b＝8，設PA交BD于O．在Rt△ABD中，BD＝＝12，∴OP＝OA＝＝，∴AP＝．故答案為．【點評】本題考查翻折變換、矩形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．如圖，在矩形ABCD中的AB邊長為6，BC邊長為9，E為BC上一點，且CE＝2BE，將△ABE翻折得到△AFE，延長EF交AD邊于點M，則線段DM的長度為．【分析】過M作MN⊥BC于N，根據矩形的性質得到MN＝CD＝AB＝6，設DM＝x，于是得到CN＝DM＝x，AM＝9﹣x，根據折疊的性質得到AF＝AB＝MN，∠AFE＝∠B＝∠AFM＝∠MNE＝90°，根據全等三角形的性質得到AF＝EM＝9﹣x，根據勾股定理列方程即可得到結論．解：過M作MN⊥BC于N，則四邊形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝AB＝6，設DM＝x，∴CN＝DM＝x，AM＝9﹣x，∵CE＝2BE，∴BE＝3，CE＝6，∴EN＝6﹣x，∵將△ABE翻折得到△AFE，∴AF＝AB＝MN，∠AFE＝∠B＝∠AFM＝∠MNE＝90°，∵∠AMF+∠EMN＝∠EMN+∠MEN＝90°，∴∠AMF＝∠MEN，在△AMF與△MNE中，，∴△AMF≌△MNE，∴AM＝EM＝9﹣x，∵EM2＝EN2+MN2，∴（9﹣x）2＝（6﹣x）2+62，∴x＝，∴DM＝．故答案為：．【點評】本題考查了翻折的性質，全等三角形的判定和性質，矩形的性質，正確的作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．17．正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如圖所示的方式放置．點A1，A2，A3，…和點C1，C2，C3，…分別在直線y＝kx+b（k＞0）和x軸上，已知點B1（1，1），B2（3，2），則Bn的坐標是（2n﹣1，2n﹣1）．【分析】由圖和條件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），由此可以求出直線為y＝x+1，Bn的橫坐標為An+1的橫坐標，縱坐標為An的縱坐標，又An的橫坐標數(shù)列為An＝2n﹣1﹣1，所以縱坐標為（2n﹣1），然后就可以求出Bn的坐標為[A（n+1）的橫坐標，An的縱坐標]．解：∵點B1（1，1），B2（3，2），∴A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），∴直線y＝kx+b（k＞0）為y＝x+1，∴Bn的橫坐標為An+1的橫坐標，縱坐標為An的縱坐標又An的橫坐標數(shù)列為An＝2n﹣1﹣1，所以縱坐標為2n﹣1，∴Bn的坐標為[A（n+1）的橫坐標，An的縱坐標]＝（2n﹣1，2n﹣1）．故答案為：（2n﹣1，2n﹣1）．【點評】本題主要考查函數(shù)圖象上點的坐標特征及正方形的性質，解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數(shù)量上增加（或倍數(shù)）情況的變化，找出數(shù)量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分．18．有一個長方形的花壇，長是寬的4倍，其面積為25m2，求這個長方形花壇的長和寬．【分析】設花壇的寬為x米，然后表示出矩形的長，利用矩形的面積計算方法得到方程求解即可．解：設長方形花壇的寬為x米，根據題意得x?4x＝25，整理得：4x2＝25，解這個方程的x1＝，x2＝﹣（不合題意舍去），∴4x＝10，答：長方形花壇的長為10米，寬為米．【點評】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系列出方程，再求解．19．去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．【分析】（1）根據該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額＝前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結論；（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論．解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．（2）設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．20．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，D、E分別是AC、AB的中點．連接DE．點P從點D出發(fā)，沿DE方向勻速運動，速度為1cm/s；同時，點Q從點B出發(fā)，沿BA方向勻速運動，速度為2cm/s，當點P停止運動時，點Q也停止運動．連接PQ，設運動時間為t（0＜t＜4）s．解答下列問題：（1）請直接用含t的代數(shù)式表示PE、QE的長；（2）當t為何值時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似？（3）當t為何值時，△EPQ為等腰三角形？（直接寫出答案即可）【分析】（1）根據勾股定理求出AB，根據三角形中位線定理求出DE，根據題意用含t的代數(shù)式表示PE、QE的長；（2）分△EQP∽△EDA、△EQP∽△EAD兩種情況，根據相似三角形的性質列式計算即可；（3）分EP＝EQ、EQ＝QP、PQ＝EP三種情況，根據等腰三角形的性質列式計算即可．解：（1）由勾股定理得，AB＝＝10（cm），∵D、E分別是AC、AB的中點，BC＝8cm，∴DE＝BC＝4cm，AE＝BE＝5cm，由題意得，DP＝tcm，BQ＝2tcm，∴PE＝（4﹣t）cm，QE＝；（2）如圖2，當PQ⊥AB時，△EQP∽△EDA，∴＝，即＝，解得，t＝；如圖3，當PQ⊥DE時，△EQP∽△EAD，∴＝，即＝，解得，t＝，綜上所述，當t為秒秒時，以點E、P、Q為頂點的三角形與△ADE相似；（3）如圖4，當EP＝EQ時，4﹣t＝5﹣2t，解得，t＝1；如圖5，當EP＝EQ時，4﹣t＝2t﹣5，解得，t＝3；如圖6，當EQ＝QP時，（4﹣t）：（2t﹣5）＝4：5，解得，t＝；如圖7中，當PQ＝EP時，（2t﹣5）：（4﹣t）＝4：5，解得，t＝，綜上所述，t＝1或3或或秒時，△PQE是等腰三角形．【點評】本題考查的是相似三角形的判定和性質、等腰三角形的性質、三角形中位線定理的應用，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．21．現(xiàn)在全社會對空氣污染問題越來越重視，空氣凈化器的銷量也大增，商場從廠家購進了A、B兩種型號的空氣凈化器，已知一臺A型空氣凈化器的進價比一臺B型空氣凈化器的進價多300元，用7500元購進A型空氣凈化器和用6000元購進B型空氣凈化器的臺數(shù)相同．（1）求一臺B型空氣凈化器的進價為多少元？（2）在銷售過程中，A型空氣凈化器因為凈化能力強，嗓音小而更受消費者的歡迎，為了增大B型空氣凈化器的銷量，商場決定對B型空氣凈化器進行降價銷售．經市場調查，當B型空氣凈化器的售價為1800元時，每天可賣出4臺，在此基礎上，售價每降低50元，每天多賣出1臺，如果每天商場銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，請問商場應將B型空氣凈化器的售價定為多少元？【分析】（1）設每臺B種空氣凈化器為x元，A種凈化器為（x+300）元，根據用6000元購進B種空氣凈化器的數(shù)量與用7500元購進A種空氣凈化器的數(shù)量相同，列方程求解；（2）根據總利潤＝單件利潤×銷量列出一元二次方程求解即可．解：（1）設每臺B型空氣凈化器為x元，A型凈化器為（x+300）元，由題意得，＝，解得：x＝1200，經檢驗x＝1200是原方程的根，則x+300＝1500，答：每B型空氣凈化器、每臺A型空氣凈化器的進價分別為1200元，1500元；（2）設B型空氣凈化器的售價為a元，根據題意得；（a﹣1200）（4+）＝3200，解得：a＝1600，答：如果每天商社電器銷售B型空氣凈化器的利潤為3200元，商社電器應將B型空氣凈化器的售價定為1600元．【點評】本題考查了一元二次方程及分式方程的應用，解題的關鍵是根據題意找到等量關系，注意分式方程應該檢驗，難度不大．22．如圖，扇形OAB的半徑OA＝3，圓心角∠AOB＝90°，點C是上異于A、B的動點，過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG＝GH＝HE（1）求證：四邊形OGCH是平行四邊形；（2）當點C在上運動時，在CD、CG、DG中，是否存在長度不變的線段？若存在，請求出該線段的長度；（3）求證：CD2+3CH2是定值．【分析】（1）連接OC，容易根據已知條件證明四邊形ODCE是矩形，然后利用其對角線互相平分和DG＝GH＝HE可以知道四邊形CHOG的對角線互相平分，從而判定其是平行四邊形；（2）由于四邊形ODCE是矩形，而矩形的對角線相等，所以DE＝OC，而CO是圓的半徑，這樣DE的長度不變，也就DG的長度不變；（3）過C作CN⊥DE于N，設CD＝x，然后利用三角形的面積公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD2+3CH2的值了．【解答】（1）證明：連接OC交DE于M．由矩形得OM＝CM，EM＝DM．∵DG＝HE．∴EM﹣EH＝DM﹣DG．∴HM＝GM．∴四邊形OGCH是平行四邊形．（2）解：DG不變．在矩形ODCE中，∵DE＝OC＝3．∴DG＝1．（3）證明：設CD＝x，則CE＝．過C作CN⊥DE于N．由DE?CN＝CD?EC得CN＝．∴．∴HN＝3﹣1﹣．∴3CH2＝3[（）2+（）2]＝12﹣x2．∴CD2+3CH2＝x2+12﹣x2＝12．【點評】本小題主要考查圓、矩形、平行四邊形、直角三角形等基礎圖形的性質與判定，考查計算能力、推理能力和空間觀念．23．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0）、（0，1），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線交折線OAB于點E．（1）記△ODE的面積為S，求S與b的函數(shù)關系式；（2）當點E在線段OA上時，若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，DE＝，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積是否發(fā)生變化？若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．【分析】（1）要表示出△ODE的面積，要分兩種情況討論，①如果點E在OA邊上，只需求出這個三角形的底邊OE長（E點橫坐標）和高（D點縱坐標），代入三角形面積公式即可；②如果點E在AB邊上，這時△ODE的面積可用長方形OABC的面積減去△OCD、△OAE、△BDE的面積；（2）重疊部分是一個平行四邊形，由于這個平行四邊形上下邊上的高不變，因此決定重疊部分面積是否變化的因素就是看這個平行四邊形落在OA邊上的線段長度是否變化．解：（1）∵四邊形OABC是矩形，點A、C的坐標分別為（3，0），（0，1），∴B（3，1），若直線經過點A（3，0）時，則b＝；若直線經過點B（3，1）時，則b＝；若直線經過點C（0，1）時，則b＝1．①如圖1，若直線與折線OAB的交點在OA上時，即1＜b≤，此時E（2b，0）∴S＝OE?CO＝×2b×1＝b；②如圖2，若直線與折線OAB的交點在BA上時，即＜b＜，此時E（3，b﹣），D（2b﹣2，1），∴S＝S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）＝3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）?（﹣b）+×3（b﹣）]＝b﹣b2，綜上所述，S＝；（2）如圖3，設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，則矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．由題意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四邊形DNEM為平行四邊形根據軸對稱知，∠MED＝∠NED又∵∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四邊形DNEM為菱形．過點D作DH⊥OA，垂足為H，設菱形DNEM的邊長為a，由題意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0），∴DH＝1，HE＝2b﹣（2b﹣2）＝2，∴HN＝HE﹣NE＝2﹣a，則在Rt△DHN中，由勾股定理知：a2＝（2﹣a）2+12，∴a＝，∴S四邊形DNEM＝NE?DH＝．∴矩形OA1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積不發(fā)生變化，面積始終為．【點評】本題是一個動態(tài)圖形中的面積是否變化的問題，看一個圖形的面積是否變化，關鍵是看決定這個面積的幾個量是否變化，本題題型新穎，是個不可多得的好題，有利于培養(yǎng)學生的思維能力，但難度較大，具有明顯的區(qū)分度．24．如圖①，在平行四邊形ABCD中，AD＝BD＝2，BD⊥AD，點E為對角線AC上一動點，連接DE，將DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF，連接BF．（1）求證BF＝AE；（2）如圖②，若F點恰好落在AC，求OF的長；（3）如圖③，當點F落在△OBC的外部，構成四邊形DEMF時，求四邊形DEMF的面積．【分析】（1）由“SAS”可證△ADE≌△BDF，可得BF＝AE；（2）過點D作DG⊥AC于點G，利用“AAS“證明△DGO≌△BFO，設DG＝a（a＞0），則AG＝2a，運用勾股定理即可求得答案；（3）將△DEN繞點D逆時針旋轉90°得到△DFG，通過證明四邊形DNMG為正方形，即可求解．解：（1）∵DE繞點D逆時針旋轉90°得到DF，∴DE＝DF，∠EDF＝90°，∵BD⊥AD，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，∵AD＝BD，∴△ADE≌△BDF（SAS），∴BF＝AE；（2）如圖②，過點D作DG⊥AC于點G，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴∠DEF＝∠DFE＝45°，∠DEA＝135°，由（1）知：△ADE≌△BDF，∴∠BFD＝∠DEA＝135°，AE＝BF，∴∠BFO＝90°，∵DG⊥AC，∴∠DGO＝∠BFO＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，在△DGO和△BFO中，，∴△DGO≌△BFO（AAS），∴DG＝BF，OF＝OG，∴DG＝EG＝AE＝BF，設DG＝a（a＞0），則AG＝2a，在Rt△ADG中，∵AG2+DG2＝AD2，∴（2a）2+a2＝22，解得：a＝，∴OF＝OG＝×＝；（3）如圖③，過點D作DN⊥AC于點N，將△DEN繞點D逆時針旋轉90°得到△DFH，∴DH＝DN，∠DNE＝∠DHF＝90°，∠DEN＝∠DFG，