2.1-線性動態(tài)系統(tǒng)及控制系統(tǒng)數(shù)學模型

第二章線性動態(tài)系統(tǒng)及控制系統(tǒng)數(shù)學模型2023/3/91動態(tài)系統(tǒng)我們所研究的系統(tǒng)，通常以時間t為自變量，按照輸入與輸出關(guān)系上的某些特點，可以把系統(tǒng)分為靜態(tài)系統(tǒng)和動態(tài)系統(tǒng)兩大類。在任一時刻t，系統(tǒng)的輸出取決于同一時刻的輸入，這類系統(tǒng)稱為靜態(tài)系統(tǒng)。也稱為無記憶系統(tǒng)。2023/3/92在任一時刻，系統(tǒng)的輸出不僅與該時刻的輸入有關(guān)，而且與該時刻以前的輸入都有關(guān)系，這類系統(tǒng)稱為動態(tài)系統(tǒng)，有記憶系統(tǒng)。含有儲能元件的系統(tǒng)均為動態(tài)系統(tǒng)，如電路中的電感，磁場能量；電容，電場能量。機械運動中物體的動能和勢能，以及彈簧（彈性勢能）等元件。動態(tài)系統(tǒng)的線性線性動態(tài)系統(tǒng)是動態(tài)系統(tǒng)中最重要的一類，原因在于線性動態(tài)系統(tǒng)存在解析解法，絕大多數(shù)實際工程技術(shù)問題都可以線性化或近似線性化。線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)在數(shù)學模型上的根本區(qū)別在于，線性系統(tǒng)的輸入與輸出關(guān)系滿足疊加原理。疊加原理的兩個重要性質(zhì)：可加性與齊次性。

可加性與齊次性的理解，是重點。二者的數(shù)學表達式和推導過程是考試重點。（P15）2023/3/93控制系統(tǒng)的數(shù)學模型為了從理論上對控制系統(tǒng)進行定性的分析和定量的計算，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法：解析法實驗法數(shù)學模型時域模型頻域模型狀態(tài)空間模型方框圖和信號流圖2023/3/94控制系統(tǒng)數(shù)學模型特征1、微分方程的階數(shù)等于整個系統(tǒng)中蓄能元件的個數(shù)；2、同一個系統(tǒng)，選擇不同輸入或輸出信號，微分方程的形式則不同；3、數(shù)學模型存在的共性是系統(tǒng)性能仿真研究的理論依據(jù)(相似系統(tǒng))。實驗法建立數(shù)學模型的步驟黑匣子輸入（已知）輸出（已知）已知知識和辨識目的實驗設(shè)計--選擇實驗條件模型階次--適合于應用的適當?shù)碾A次參數(shù)估計--最小二乘法模型驗證—將實際輸出與模型的計算輸出進行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個輸出之間在選定意義上的接近2023/3/96解析法建立數(shù)學模型的步驟建立物理模型。列寫原始方程。利用適當?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫定律、能量守恒定律等選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時要求），消去中間變量，建立適當?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。2023/3/97電氣網(wǎng)絡(luò)數(shù)學模型的建立【例2-l】試列寫如圖示R、L、C串聯(lián)電路的微分方程。ui(t)為輸入量,uc(t)為輸出量。解設(shè)回路電流為i(t)（中間變量）,如各元件均為線性元件，根據(jù)基爾霍夫定律，有2023/3/98電氣網(wǎng)絡(luò)數(shù)學模型的建立消去中間變量i(t)，可得令則數(shù)學模型變?yōu)?023/3/99機械系統(tǒng)數(shù)學模型的建立【例2-2】試求圖示彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統(tǒng)的微分方程。設(shè)F為輸入量，位移y為輸出量。解2023/3/910無源電網(wǎng)絡(luò)模型

機械位移模型相似系統(tǒng)傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最常用和最重要的數(shù)學模型。經(jīng)典控制理論的主要研究方法------頻率法和根軌跡法都是建立在傳遞函數(shù)基礎(chǔ)上。利用傳遞函數(shù)可以不必求解系統(tǒng)的微分方程，就可以研究初始條件為零（零狀態(tài)）的系統(tǒng)在輸入信號作用下的動態(tài)過程。利用傳遞函數(shù)研究系統(tǒng)參數(shù)變化或結(jié)構(gòu)變化對動態(tài)過程的影響，可使系統(tǒng)分析大大簡化。還可將對系統(tǒng)性能指標的要求轉(zhuǎn)化為對系統(tǒng)傳遞函數(shù)的要求，使系統(tǒng)設(shè)計與綜合問題易于實現(xiàn)。2023/3/912記，稱f(t)為F(s)的拉氏逆變換（象原函數(shù)）記，稱F(s)為f(t)的拉氏變換（象函數(shù)）附：拉氏變換定義

設(shè)函數(shù)f(t)當t>=0時有定義，且積分在s的某一域內(nèi)收斂，則此積分可以寫成稱上式為f(t)的Laplace變換式。拉氏變換的線性性質(zhì)

α、β為常數(shù)，拉氏變換的微分性質(zhì)

零初始條件下，拉氏變換的平移定理

拉氏變換的初值定理

拉氏變換的終值定理

基本函數(shù)及其拉氏變換

傳遞函數(shù)

定義及表示形式設(shè)SISO線性定常系統(tǒng)，可用n階線性微分方程描述：令X(s)=L[x(t)]，Y(s)=L[y(t)]。零初始條件下，對上式左右兩邊求拉氏變換，得s的代數(shù)方程：定義：線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的特征及性質(zhì)1、傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)對輸入信號的傳遞能力，是系統(tǒng)的固有特性，與輸入信號類型及大小無關(guān)。2、傳遞函數(shù)只適用于線性連續(xù)定常系統(tǒng)。3、傳遞函數(shù)僅描述系統(tǒng)的輸入/輸出特性。不同的物理系統(tǒng)可以有相同的傳遞函數(shù)。同一系統(tǒng)中，不同物理量之間對應的傳遞函數(shù)也不相同。4、初始條件為零時，系統(tǒng)單位脈沖響應的拉氏變換為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。5、實際系統(tǒng)中有n≥m，n稱為系統(tǒng)的階數(shù)；6、傳遞函數(shù)是系統(tǒng)性能分析的最簡形式之一。線性定常系統(tǒng)的線性微分方程描述：零初始條件下，兩邊取Laplace變換方法一：依據(jù)系統(tǒng)微分方程確定輸入/輸出間的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的求取方法及應用舉例方法二：依據(jù)微分方程組代入消元求傳遞函數(shù)解題過程：負載效應方法三:電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)可利用復阻抗的直接求取傳遞函數(shù)(例1)解題過程：方法三:利用復阻抗的直接求取傳遞函數(shù)(例2)解題