2022-2023學年廣東省河源市龍川縣培英學校八年級（下）開學數(shù)學試卷(含解析)

2022-2023學年廣東省河源市龍川縣培英學校八年級（下）開學數(shù)學試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．5、6、7 B．10、8、4 C．7、24、25 D．9、15、172．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，則BC的值（）A． B． C． D．3．判斷下列三條線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝3 B．a(chǎn)＝7，b＝25，c＝24 C．a(chǎn)＝40，b＝50，c＝60 D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝134．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4.85．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CE的長為（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm6．如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E，且PE＝3，AP＝5，點F在邊AB上運動，當運動到某一位置時△FAP面積恰好是△EAP面積的2倍，則此時AF的長是（）A．10 B．8 C．6 D．47．直角三角形的兩邊長m，n滿足，則第三邊長是（）A．5 B．5或 C．4或 D．48．如圖是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中的a＝（）A． B． C．2 D．19．已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結(jié)論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．如圖，點E在△DBC的邊DB上，點A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中不正確的結(jié)論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．0二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB＝，則CD＝．12．如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上一點，如果EC＝10，EF＝8，那么DF＝．13．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D，則CD的長為．14．在四邊形ABCD中，已知△ABC是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，則邊CD的長為．15．如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE⊥AD，且AE＝AD，AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝6，CF＝8，則線段AD的長為．16．如圖，∠BAC＝90度，AB＝AC，AE⊥AD，且AE＝AD，AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝6，CF＝8，則線段AD的長為．17．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，點B的對應(yīng)點E落在CD上，且DE＝EF，則AB的長為．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．如圖所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6，求BC的長．19．一個零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計算一下這塊鋼板的面積嗎？20．如圖，長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊后點D恰好落在BC邊上的點F處（1）求CE的長；（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點P，使得PA+PE值最??？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．21．如圖，在△ABC中，D為BC的中點，直線FG過AC上的點F，交BC于D，交AC上的平行線BG于點G，DE⊥GF，并交AB于點E，連接EG，EF．（1）求證：BG＝CF；（2）當點F位于何位置時，四邊形ABGF是平行四邊形，并證明；（3）若AB＝AC，AB⊥AC，求證：BE2+CF2＝EF2．22．為了綠化環(huán)境，我縣某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，CD＝13m．（1）求出空地ABCD的面積．（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？23．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．A、B兩點的坐標分別為A（m，0）、B（0，n），且，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．（1）求OA、OB的長；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．24．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AD上，且CB＝CE，點F是射線ED上的一個動點，∠ECF的平分線CG交BE的延長線于點G．（1）若∠EBC＝70°，∠ECF＝38°，求∠G的度數(shù)．（2）在動點F運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值，若變化，請說明理由．25．平面內(nèi)，點B為△ACD外一點，連接BA、BC，∠ABC＝19°，∠ADC＝45°．（1）如圖1，∠BAD和∠BCD的角平分線交于點M，直接寫出∠AMC的度數(shù)為．（2）如圖2，點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD平分線交于點F，求∠AFC的大?。?）如圖3，在（2）的條件下，延長AF交CD于點I，且3∠EAG+2∠FCI＝199°，過點D作射線DH⊥AC，交射線BA于點E，交AI于點G，當AH：AC＝3：5，HG：HD＝1：6，S△AGH＝，CD＝4時，求GI的長．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分。1．以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．5、6、7 B．10、8、4 C．7、24、25 D．9、15、17【分析】欲求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．解：A、52+362≠72，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；B、42+82≠102，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；C、72+242＝252，能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確；D、92+152≠172，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，則BC的值（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，∴BC＝＝＝，故選：A．【點評】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．3．判斷下列三條線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝4，b＝5，c＝3 B．a(chǎn)＝7，b＝25，c＝24 C．a(chǎn)＝40，b＝50，c＝60 D．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理對各選項進行逐一分析即可．解：A、∵32+42＝52，∴由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形，故本選項錯誤；B、∵72+242＝252，∴由線段a，b，c組成的三角形是直角三角形，故本選項錯誤；C、∵402+502≠602，∴由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形，故本選項正確；D、∵52+122＝132，∴由線段a，b，c組成的三角形不是直角三角形，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．4．如圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，AD⊥BC，那么AD的長為（）A．1 B．2 C．3 D．4.8【分析】先根據(jù)AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，利用勾股定理可求BC，再根據(jù)S△ABC＝AC?AB＝BC?AD，可求AD．解：如右圖所示，在Rt△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝10，又∵S△ABC＝AC?AB＝BC?AD，∴6×8＝10AD，∴AD＝4.8．故選：D．【點評】本題考查了勾股定理．注意直角三角形面積的兩種求法，等于兩直角邊乘積的一半，也等于斜邊乘以斜邊上高的積的一半．5．如圖所示，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則CE的長為（）A．1cm B．1.5cm C．2cm D．3cm【分析】根據(jù)勾股定理可將斜邊AB的長求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)知，AE＝AB，已知AC的長，可將CE的長求出．解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：AE＝AB＝5∵AC＝4∴CE＝AE﹣AC＝1即CE的長為1故選：A．【點評】將圖形進行折疊后，兩個圖形全等，是解決折疊問題的突破口．6．如圖，點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E，且PE＝3，AP＝5，點F在邊AB上運動，當運動到某一位置時△FAP面積恰好是△EAP面積的2倍，則此時AF的長是（）A．10 B．8 C．6 D．4【分析】作PH⊥AB于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．解：作PH⊥AB于H，∵點P是∠BAC的平分線上一點，PE⊥AC，PH⊥AB，∴PH＝PE，由勾股定理得，AE＝＝4，∵△FAP面積是△EAP面積的2倍，∴AF＝2AE＝8，故選：B．【點評】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計算，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．直角三角形的兩邊長m，n滿足，則第三邊長是（）A．5 B．5或 C．4或 D．4【分析】利用非負數(shù)的性質(zhì)求出m，n，再分兩種情況根據(jù)勾股定理即可解決問題．解：∵，∴（m﹣3）2+＝0．∴m﹣3＝0且2n﹣8＝0．∴m＝3，n＝4．①n＝4為斜角邊時，則第三邊長為：＝；②n＝4為直角邊時，則第三邊長為：＝5；綜上所述，第三邊長為5或．故選：B．【點評】本題考查非負數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．8．如圖是一個正六棱柱的主視圖和左視圖，則圖中的a＝（）A． B． C．2 D．1【分析】由正六棱柱的主視圖和左視圖，可得到正六棱柱的邊長為2，求a的值可結(jié)合俯視圖來解答，如下圖．解：由正六棱柱的主視圖和左視圖，可得到正六棱柱的最長的對角線長是4，則邊長為2，作AD⊥BC于D，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，∴在直角△ABD中，∠ABD＝30°，AD＝1，∴BD＝＝＝．故選：B．【點評】本題考查了正六棱柱的三視圖，注意題目中的隱含條件及左視圖的特點，可將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中解答．培養(yǎng)了學生的空間想象能力．9．已知：如圖在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結(jié)論：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④BE2＝2（AD2+AB2），其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形ACE全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD＝CE；②由三角形ABD與三角形ACE全等，得到一對角相等，再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE；③由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC＝45°；④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出關(guān)系式，等量代換即可作出判斷．解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，故①正確；②∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，則BD⊥CE，故②正確；③∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠ABD＝∠ACE∴∠ACE+∠DBC＝45°，故③正確；④∵BD⊥CE，∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：BE2＝BD2+DE2，∵△ADE為等腰直角三角形，∴DE＝AD，即DE2＝2AD2，∴BE2＝BD2+DE2＝BD2+2AD2，而BD2≠2AB2，故④錯誤，綜上，正確的個數(shù)為3個．故選：C．【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10．如圖，點E在△DBC的邊DB上，點A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中不正確的結(jié)論有（）個．A．3 B．2 C．1 D．0【分析】只要證明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷；解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠EAC∵AD＝AE，AB＝AC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①結(jié)論正確，∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②結(jié)論正確，∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，∴∠CEB＝90°，即BD⊥CE，故③結(jié)論正確，∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④結(jié)論正確，∴不正確的結(jié)論有0個．故選：D．【點評】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB＝，則CD＝﹣1．【分析】先利用等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結(jié)論．解：如圖，過點A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根據(jù)勾股定理得，DF＝＝∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，故答案為：﹣1．【點評】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．如圖，已知AB是線段CD的垂直平分線，E是AB上一點，如果EC＝10，EF＝8，那么DF＝6．【分析】根據(jù)勾股定理求出CF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到DF＝CF，得到答案．解：∵CD⊥AB，EC＝10，EF＝8，∴CF＝＝6，∵AB是線段CD的垂直平分線，∴DF＝CF＝6，故答案為：6．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形邊長為1，點A，B，C均為格點，以點A為圓心，AB長為半徑作弧，交格線于點D，則CD的長為3﹣．【分析】由勾股定理求出AB，再由勾股定理求出DE，即可得出CD的長．解：連接AB，AD，如圖所示：∵AD＝AB＝＝2，∴DE＝＝，∴CD＝3﹣．故答案為：3﹣．【點評】本題考查了勾股定理，由勾股定理求出AB，DE是解決問題的關(guān)鍵．14．在四邊形ABCD中，已知△ABC是等邊三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，則邊CD的長為4．【分析】延長AD到點E，使DE＝CD，連接CE．通過證明△BCD≌△ACE，可得出BD＝AE，從而得出CD的值．解：在CD外側(cè)作等邊三角形△CDE，連接AE，則∠ADE＝90°，DE＝CD，∠DCE＝60，在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，∴在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，其中AD＝3，AE＝BD＝5，則CD＝DE＝4．故答案為：4．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等是解題的關(guān)鍵．15．如圖，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE⊥AD，且AE＝AD，AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝6，CF＝8，則線段AD的長為6．【分析】連接EF，作AG⊥BC于點G，由等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B＝∠ACB＝45°，BG＝CG，則AG＝BG＝CG＝BC，可證明△ACE≌△ABD，得CE＝BD＝6，∠ACE＝∠B＝45°，則∠ECF＝90°，所以EF＝＝10，再證明△EAF≌△DAF，得EF＝DF＝10，即可求得BC＝24，則AG＝BG＝BC＝12，DG＝6，根據(jù)勾股定理求得AD＝6．解：連接EF，作AG⊥BC于點G，則∠ADG＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，BG＝CG，∴AG＝BG＝CG＝BC，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠CAE＝∠BAD＝90°﹣∠CAD，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD＝6，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠ECF＝∠ACE+∠ACB＝90°，∵CF＝8，∴EF＝＝＝10，∵AF平分∠DAE交BC于F，∴∠EAF＝∠DAF，在△EAF和△DAF中，，∴△EAF≌△DAF（SAS），∴EF＝DF＝10，∴BC＝BD+DF+CF＝6+10+8＝24，∴AG＝BG＝BC＝×24＝12，∴DG＝BG﹣BD＝12﹣6＝6，∴AD＝＝＝6，故答案為：6．【點評】此題重點考查等腰直角三角形的性質(zhì)、同角的余角相等、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．16．如圖，∠BAC＝90度，AB＝AC，AE⊥AD，且AE＝AD，AF平分∠DAE交BC于F，若BD＝6，CF＝8，則線段AD的長為6．【分析】由“SAS”可證△ABD≌△ACE，△DAF≌△EAF可得BD＝CE，∠4＝∠B，DF＝EF，由勾股定理可求EF的長，即可求BC的長，由勾股定理可求AD的長．解：如圖，連接EF，過點A作AG⊥BC于點G，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE，∠4＝∠B∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠3＝45°∴∠4＝∠B＝45°，∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，在△DAF和△EAF中，∴△DAF≌△EAF（SAS）．∴DF＝EF．∴BD2+FC2＝DF2．∴DF2＝BD2+FC2＝62+82＝100，∴DF＝10∴BC＝BD+DF+FC＝6+10+8＝24，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝AG＝BC＝12，∴DG＝BG﹣BD＝12﹣6＝6，∴AD＝＝6故答案為：6【點評】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．17．如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AEFG，點B的對應(yīng)點E落在CD上，且DE＝EF，則AB的長為3．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD＝EF，AB＝AE，再由DE＝EF，等量代換得到AD＝DE，即三角形AED為等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的長，即為AB的長．解：由旋轉(zhuǎn)得：AD＝EF，AB＝AE，∠D＝90°，∵DE＝EF，∴AD＝DE，即△ADE為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得：AE＝＝3，則AB＝AE＝3，故答案為：3【點評】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：第18，19.20小題5分，第21，22，23小題9分，第24，25小題10分。18．如圖所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC邊上的中線AD＝6，求BC的長．【分析】延長AD到E使AD＝DE，連接CE，證△ABD≌△ECD，求出AE和CE的長，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠E＝90°，根據(jù)勾股定理求出CD即可．解：延長AD到E使AD＝DE，連接CE，在△ABD和△ECD中，∴△ABD≌△ECD，∴AB＝CE＝5，AD＝DE＝6，AE＝12，在△AEC中，AC＝13，AE＝12，CE＝5，∴AC2＝AE2+CE2，∴∠E＝90°，由勾股定理得：CD＝＝，∴BC＝2CD＝2，答：BC的長是2．【點評】本題綜合考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、全等三角形的性質(zhì)和判定、三角形的中線等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確地作輔助線，把已知條件轉(zhuǎn)化成一個直角三角形，題型較好．19．一個零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計算一下這塊鋼板的面積嗎？【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD與△ABC均為直角三角形，進而可求解其面積．解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×3×4+×5×12＝6+30＝36．答：這塊鋼板的面積等于36．【點評】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．20．如圖，長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在邊CD上取一點E，將△ADE折疊后點D恰好落在BC邊上的點F處（1）求CE的長；（2）在（1）的條件下，BC邊上是否存在一點P，使得PA+PE值最?。咳舸嬖?，請求出最小值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）先判斷出AF＝AD＝8，進而利用勾股定理求出BF＝6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出結(jié)論；（2）先作出點E關(guān)于BC的對稱點E'，進而求出DE'，再利用勾股定理即可得出結(jié)論．解：（1）長方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，由折疊知，EF＝DE，AF＝AD＝8，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得，BF＝＝6，∴CF＝BC﹣BF＝4，設(shè)CE＝x，則EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，∴16+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CE＝3；（2）如圖，延長EC至E'使CE'＝CE＝3，連接AE'交BC于P，此時，PA+PE最小，最小值為AE'，∵CD＝8，∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，在Rt△ADE'中，根據(jù)勾股定理得，AE'＝＝．【點評】此題是四邊形綜合題，主要考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，求出CE是解本題的關(guān)鍵．21．如圖，在△ABC中，D為BC的中點，直線FG過AC上的點F，交BC于D，交AC上的平行線BG于點G，DE⊥GF，并交AB于點E，連接EG，EF．（1）求證：BG＝CF；（2）當點F位于何位置時，四邊形ABGF是平行四邊形，并證明；（3）若AB＝AC，AB⊥AC，求證：BE2+CF2＝EF2．【分析】（1）證明△BDG≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；（2）根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形解答；（3）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）證明：∵D為BC的中點，∴BD＝DC，∵BG∥AC，∴∠DBG＝∠C，在△BDG和△CDF中，，∴△BDG≌△CDF（ASA）∴BG＝CF；（2）解：當點F位于AC的中點時，四邊形ABGF是平行四邊形，理由如下：∵AF＝FC，BG＝FC，∴AF＝BG，又BG∥AC，∴四邊形ABGF是平行四邊形；（3）證明：AB＝AC，AB⊥AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，∴∠DBG＝∠C＝45°，∴∠EBG＝90°，∴BE2+BG2＝EG2，∵D為BC的中點，DE⊥GF，∴EF＝EG，∴BE2+CF2＝EF2．【點評】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理，掌握一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．22．為了綠化環(huán)境，我縣某中學有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，BC＝12m，CD＝13m．（1）求出空地ABCD的面積．（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？【分析】（1）連接BD，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD，再利用勾股定理的逆定理判斷得到三角形BCD為直角三角形，四邊形ABCD面積等于三角形ABD面積+三角形BCD面積，求出即可；（2）由（1）求出的面積，乘以200即可得到結(jié)果．解：（1）連接BD，在Rt△ABD中，BD2＝AB2+AD2＝32+42＝52，在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，而122+52＝132，即BC2+BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°，則S四邊形ABCD＝S△BAD+S△DBC＝?AD?AB+DB?BC＝×4×3+×12×5＝36（平方米）；（2）所以需費用36×200＝7200（元）．【點評】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解本題的關(guān)鍵．23．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點．A、B兩點的坐標分別為A（m，0）、B（0，n），且，點P從A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿射線AO勻速運動，設(shè)點P運動時間為t秒．（1）求OA、OB的長；（2）連接PB，若△POB的面積不大于3且不等于0，求t的范圍；（3）過P作直線AB的垂線，垂足為D，直線PD與y軸交于點E，在點P運動的過程中，是否存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）根據(jù)已知得出關(guān)于mn的方程組，求出即可；（2）分為兩種情況：①當P在線段OA上時，求出三角形BOP的面積，得出不等式組，求出其解集即可；②當P在線段OA的延長線上時，求出三角形BOP的面積，得出不等式組，求出其解集即可；（3）當OP＝OB＝3時，分為兩種情況，畫出符合條件的兩種圖形，結(jié)合圖形和全等三角形的性質(zhì)即可得出答案．解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0，∴m﹣n﹣3＝0，2n﹣6＝0，解得：n＝3，m＝6，∴OA＝6，OB＝3；（2）分為兩種情況：①當P在線段OA上時，AP＝t，PO＝6﹣t，∴△BOP的面積S＝×（6﹣t）×3＝9﹣t，∵若△POB的面積不大于3且不等于0，∴0＜9﹣t≤3，解得：4≤t＜6；②當P在線段OA的延長線上時，如圖，AP＝t，PO＝t﹣6，∴△BOP的面積S＝×（t﹣6）×3＝t﹣9，∵若△POB的面積不大于3且不等于0，∴0＜t﹣9≤3，解得：6＜t≤8；即t的范圍是4≤t≤8且t≠6；（3）當OP＝OB＝3時，分為兩種情況（如圖）：第一個圖中t＝3，第二個圖中AP＝6+3＝9，即t＝9；即存在這樣的點P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．【點評】本題考查了絕對值，二次根式的性質(zhì)，垂直定義，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用，題目比較典型，但是有一定的難度，注意要進行分類討論?。?4．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AD上，且CB＝CE，點F是射線ED上的一個動點，∠ECF的平分線CG交BE的延長線于點G．（1）若∠EBC＝70°，∠ECF＝38°，求∠G的度數(shù)．（2）在動點F運動的過程中，的值是否發(fā)生變化？若不變，求出它的值，若變化，請說明理由．【分析】（1）先利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CEB＝∠CBE＝70°，再利用角平分線的性質(zhì)可得∠GCE＝19°，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得∠G＝∠CEB﹣∠GCE，進行計算即可解答；（2）先利用平行線的性質(zhì)可得∠AEB＝∠CBE，從而可得∠AEB＝∠CEB，再利用三角形的外角性質(zhì)可得∠CFE＝