2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市巴彥縣八年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年黑龍江省哈爾濱市巴彥縣八年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題：（每小題3分，共計30分）1．點P（3，2）關于x軸的對稱點的坐標是（）A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）2．一個多邊形的外角和比內(nèi)角和大180°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．33．下列疫情防控宣傳圖片中，是軸對稱圖形的是（）A．勤洗手，勤通風 B．打噴嚏，捂口鼻 C．有癥狀，早就醫(yī) D．防控疫情，我們在一起4．如圖，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，則CD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．55．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，若BC＝4，則DE的長為（）A．1.5 B．2 C．1 D．6．到三角形三個頂點距離相等的點是（）A．三邊高線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條內(nèi)角平分線的交點7．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，△ABC中，AB+AC＝6，直線MN為BC的垂直平分線交AC于點D，連接BD，則△ABD的周長為（）A．3 B．6 C．4 D．510．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點E、F，點K為EF上一動點，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（）A．EF B．AB C．AC D．BC二、填空題：（每小題3分，共計30分11．已知三角形兩邊長為2和7，則第三邊a的取值范圍為．12．正方形的對稱軸有條．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝100°，∠B＝度．14．如圖，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，點D是AC上一點，連接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，則∠DBF的度數(shù)是．15．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A′B′C′，連接A′C，若BB′＝2，則線段A′C的長為．16．如圖是由一副三角板拼湊得到的，圖中的∠ABC的度數(shù)為．17．如圖，D是AB延長線上一點，DF交AC于點E，AE＝CE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝3，CF＝5，則BD的長是．18．如圖三角形紙片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△AED的周長為cm．19．等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為．20．如圖，在△ABC中，過點B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點G，若AB＝4，則線段FG的長為．三、解答題（21、22題各7分，23、24題各8分，25、26、27題各10分，共60分）21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E，F(xiàn)為AC延長線上的一點，連接DF．（1）求∠CBE的度數(shù)．（2）若∠F＝27°，求證：BE∥DF．22．如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．（1）在圖中作出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關于y軸對稱（點A、B、C的對稱點分別為A1、B1、C1）．（2）寫出點A1、B1、C1的坐標．23．某市舊城改造項目計劃在一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮美化環(huán)境，經(jīng)過測量得AB＝AC＝40m，△ABC的外角∠ACD＝105°．已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮一共需要多少錢？24．如圖1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于點F．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接AF，請直接寫出圖中所有的全等三角形．25．如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，點D是BC邊上一點，且AD＝BD，CE平分∠ACB交AD于點E．（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度數(shù)；（2）過點E作EF∥AB，交BD于點F，求證：∠FEC＝3∠3．26．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點E在AB邊上，AD⊥CE交CE的延長線于點D．（1）若∠BAC＝2∠DAE，求證：CE＝CB；（2）如圖2，連接BD，點F為CD的中點，延長BF交AC于點G，連接DG，若AG＝DG，求證：BD＝BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠DBC＝120°，CD＝10，點H為AB的中點，求線段DH的長．27．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，△ABC的頂點B、C在x軸上（C左B右），點A在y軸正半軸上，∠BAC＝120°，點O為BC的中點，AB＝8．（1）求點A的坐標；（2）如圖2，點D為AC上一點，點F為y軸上一點，AD＝AF，連接DF，∠BDE＝60°，DE交y軸于點E，設線段AD的長為t，線段OE的長為d，請用含t的式子表示d；（3）在（2）的條件下，當點D與點C重合時，在CA的延長線上取點G，作GH⊥CA交x軸于點K，若GK＝AC，連接EH，過點A作AM⊥EH于點M，求點M的縱坐標．

參考答案一、選擇題：（每小題3分，共計30分）1．點P（3，2）關于x軸的對稱點的坐標是（）A．（3，2） B．（﹣3，2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）【分析】根據(jù)“關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)”解答．解：點P（3，2）關于x軸的對稱點的坐標是（3，﹣2）．故選：D．【點評】本題考查了關于x軸、y軸對稱點的坐標，解決本題的關鍵是掌握好對稱點的坐標規(guī)律：（1）關于x軸對稱的點，橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)；（2）關于y軸對稱的點，縱坐標相同，橫坐標互為相反數(shù)；（3）關于原點對稱的點，橫坐標與縱坐標都互為相反數(shù)．2．一個多邊形的外角和比內(nèi)角和大180°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．3【分析】由多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)），多邊形的外角和是360°，列出關于邊數(shù)的方程即可求解．解：設這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：360°﹣（n﹣2）×180°＝180°，∴n＝3，故選：D．【點評】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是掌握多邊形內(nèi)角和定理：（n﹣2）?180°（n≥3且n為整數(shù)），多邊形的外角和是360°．3．下列疫情防控宣傳圖片中，是軸對稱圖形的是（）A．勤洗手，勤通風 B．打噴嚏，捂口鼻 C．有癥狀，早就醫(yī) D．防控疫情，我們在一起【分析】如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解．解：A．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；B．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；C．不是軸對稱圖形，故本選項不合題意；D．是軸對稱圖形，故本選項符合題意．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．軸對稱圖形的對稱軸可以是一條，也可以是多條甚至無數(shù)條．4．如圖，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABD＝∠EBD＝90°，∠ACB＝∠E，AB＝BD＝5，BE＝3，則CD的長為（）A．1.5 B．2 C．3 D．5【分析】在△ABC與△DBE中，由AAS證明兩三角形全等得出BC＝BE＝3，即可求解．解：在△ABC與△DBE中，，∴△ABC≌△DBE（AAS），∴BC＝BE＝3，∴CD＝BD﹣BC＝5﹣3＝2，故選：B．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，D為BC的中點，DE⊥AB于點E，若BC＝4，則DE的長為（）A．1.5 B．2 C．1 D．【分析】由AB＝AC，∠A＝120°推出∠B＝30°，從而得到DE＝DB，解：∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵D是BC的中點，∴BD＝BC＝2，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∴DE＝BD＝1，故選：C．【點評】本題考查直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關鍵是掌握：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；等腰三角形的兩個底角相等．6．到三角形三個頂點距離相等的點是（）A．三邊高線的交點 B．三邊垂直平分線的交點 C．三條中線的交點 D．三條內(nèi)角平分線的交點【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷即可．解：到三角形三個頂點距離相等的點是三邊垂直平分線的交點，故選：B．【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．7．如圖，△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，若∠A＝50°，∠C′＝30°，則∠B的度數(shù)為（）A．30° B．50° C．90° D．100°【分析】先根據(jù)△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱得出△ABC≌△A′B′C′，故可得出∠C＝∠C′，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論．解：∵△ABC和△A′B′C′關于直線l對稱，∠A＝50°，∠C′＝30°，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠C＝∠C′＝30°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣50°﹣30°＝100°．故選：D．【點評】本題考查的是軸對稱的性質(zhì)，熟知關于軸對稱的兩個圖形全等是解答此題的關鍵．8．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，AB＝10，S△ABD＝15，則CD的長為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面積列式計算即可得解．解：如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DE＝CD，∴S△ABD＝AB?DE＝×10?DE＝15，解得：DE＝3，∴CD＝3．故選：A．【點評】本題考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，能熟記角平分線上的點到角兩邊的距離相等是解此題的關鍵．9．如圖，△ABC中，AB+AC＝6，直線MN為BC的垂直平分線交AC于點D，連接BD，則△ABD的周長為（）A．3 B．6 C．4 D．5【分析】根據(jù)中垂線的性質(zhì)，可得DC＝DB，繼而可確定△ABD的周長．解：∵直線MN是線段BC的垂直平分線，∴DB＝DC，∴△ABD的周長＝AB+AD+BD＝AB+AD+DC＝AB+AC＝6．故選：B．【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等是解決問題的關鍵．10．如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線EF分別交AB、AC邊于點E、F，點K為EF上一動點，則BK+CK的最小值是以下哪條線段的長度（）A．EF B．AB C．AC D．BC【分析】連接AK，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AK＝BK，求得BK+CK＝AK+CK，得到AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，于是得到當AK+CK＝AC時，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，即可得到結論．解：連接AK，∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AK＝BK，∴BK+CK＝AK+CK，∴AK+CK的最小值＝BK+CK的最小值，∵AK+CK≥AC，∴當AK+CK＝AC時，AK+CK的值最小，即BK+CK的值最小，∴BK+CK的最小值是線段AC的長度，故選：C．【點評】本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形的三邊關系，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)是解答此題的關鍵．二、填空題：（每小題3分，共計30分11．已知三角形兩邊長為2和7，則第三邊a的取值范圍為5＜a＜9．【分析】利用“三角形的兩邊差小于第三邊，三角形兩邊之和大于第三邊”，可求出a的取值范圍．解：∵7﹣2＝5，2+7＝9，∴第三邊a的取值范圍為5＜a＜9．故答案為：5＜a＜9．【點評】本題考查了三角形三邊關系，牢記“三角形的兩邊差小于第三邊，三角形兩邊之和大于第三邊”是解題的關鍵．12．正方形的對稱軸有4條．【分析】根據(jù)正方形的軸對稱性作出圖形以及對稱軸，即可得解．解：如圖，正方形對稱軸為經(jīng)過對邊中點的直線，兩條對角線所在的直線，共4條．故答案為：4．【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正方形的對稱軸是解題的關鍵．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，且∠A＝100°，∠B＝40度．【分析】如圖，依題意可知該三角形為等腰三角形∠A＝100°，利用等腰三角形的性質(zhì)得另外二角相等，結合三角形內(nèi)角和易求∠B的值．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A＝100°，∴∠B＝＝40°．故填40．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)：等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理．借助三角形內(nèi)角和求角的度數(shù)是一種很重要的方法，應熟練掌握．14．如圖，在△ABC中，∠A＝73°，∠C＝47°，點D是AC上一點，連接BD．DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，若DE＝DF，則∠DBF的度數(shù)是30°．【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC＝60°，再利用角平分線的性質(zhì)定理的逆定理可得BD平分∠ABC，然后利用角平分線的定義進行計算即可解答．解：∵∠A＝73°，∠C＝47°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°，∵DE⊥AB，DF⊥BC，DE＝DF，∴BD平分∠ABC，∴∠DBF＝∠ABC＝30°，故答案為：30°．【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理的逆定理是解題的關鍵．15．如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，將△ABC沿BC所在直線向右平移得到△A′B′C′，連接A′C，若BB′＝2，則線段A′C的長為4．【分析】利用平移可得A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，再判定△A′B′C是等邊三角形，進而可得答案．解：由平移得：A′B′＝AB＝4，∠A′B′C＝∠B＝60°，∵BC＝6，BB′＝2，∴B′C＝6﹣2＝4，∴△A′B′C是等邊三角形，∴A′C＝A′B′＝4，故答案為：4．【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及平移的性質(zhì)，關鍵是掌握有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．16．如圖是由一副三角板拼湊得到的，圖中的∠ABC的度數(shù)為75°．【分析】由三角形的外角性質(zhì)可求得∠ABF＝15°，從而可求得∠ABC的度數(shù)．解：∵∠F＝30°，∠BAC＝45°，∠BAC是△ABF的外角，∴∠ABF＝∠BAC﹣∠F＝15°，∵∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠CBF﹣∠ABF＝75°．故答案為：75°．【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，解答的關鍵是明確三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．17．如圖，D是AB延長線上一點，DF交AC于點E，AE＝CE，F(xiàn)C∥AB，若AB＝3，CF＝5，則BD的長是2．【分析】由“AAS”可證△ADE≌△CFE，可得CF＝AD＝5，即可求解．解：∵FC∥AB，∴∠F＝∠D，∠A＝∠ACF，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴CF＝AD＝5，∴BD＝AD﹣AB＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．18．如圖三角形紙片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則△AED的周長為7cm．【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的長，然后求出△ADE的周長＝AC+AE，即可得出答案．解：由折疊的性質(zhì)得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），∴△AED的周長＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），故答案為：7．【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)以及三角形周長；熟練掌握翻折變換的性質(zhì)的解題的關鍵．19．等腰三角形的周長為13，其中一邊長為5，則該等腰三角形的底邊長為5或3．【分析】此題分為兩種情況：5是等腰三角形的底邊或5是等腰三角形的腰．然后進一步根據(jù)三角形的三邊關系進行分析能否構成三角形．解：當5是等腰三角形的底邊時，則其腰長是（13﹣5）÷2＝4，能夠組成三角形；當5是等腰三角形的腰時，則其底邊是13﹣5×2＝3，能夠組成三角形．所以該等腰三角形的底邊為5或3，故答案為：5或3．【點評】此題考查了等腰三角形的兩腰相等的性質(zhì)，同時注意三角形的三邊關系．20．如圖，在△ABC中，過點B作△ABC的角平分線AD的垂線，垂足為F，F(xiàn)G∥AB交AC于點G，若AB＝4，則線段FG的長為2．【分析】延長BF交AC于E，根據(jù)角平分線的定義得到∠BAD＝∠CAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE＝AB＝4，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAF＝∠AFG，得到AG＝FG，推出FG＝AE＝2．解：延長BF交AC于E，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵BF⊥AD，∴∠AFB＝∠AFE＝90°，∵AF＝AF，∴△ABF≌△AEF（ASA），∴AE＝AB＝4，∵FG∥AB，∴∠BAF＝∠AFG，∴∠GAF＝∠FAG，∴AG＝FG，∵∠FAG+∠AEF＝∠AFG+∠EFG＝90°，∴∠GFE＝∠GEF，∴FG＝GE，∴FG＝AE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關鍵．三、解答題（21、22題各7分，23、24題各8分，25、26、27題各10分，共60分）21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝36°，△ABC的外角∠CBD的平分線BE交AC的延長線于點E，F(xiàn)為AC延長線上的一點，連接DF．（1）求∠CBE的度數(shù)．（2）若∠F＝27°，求證：BE∥DF．【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)可求得∠CBD＝126°，再由角平分線的定義即可求∠CBE的度數(shù)；（2）結合（1）可求得∠CEB＝27°，利用同位角相等，兩直線平行即可判定BE∥DF．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝36°，∠CBD是△ABC的外角，∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝126°，∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠CBD＝63°；（2）證明：∵∠ACB＝90°，∠CBE＝63°，∴∠CEB＝∠ACB﹣∠CBE＝27°，∵∠F＝27°，∴∠CEB＝∠F，∴BE∥DF．【點評】本題主要考查三角形的外角性質(zhì)，平行線的判定，解答的關鍵是熟記三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．22．如圖，在平面直角坐標系中，A（﹣2，1），B（﹣3，﹣2），C（1，﹣2）．（1）在圖中作出△A1B1C1，使△A1B1C1與△ABC關于y軸對稱（點A、B、C的對稱點分別為A1、B1、C1）．（2）寫出點A1、B1、C1的坐標．【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和軸對稱的性質(zhì)畫出點A、B、C關于y軸的對稱點即可；（2）利用（1）中所畫圖形求解．解：（1）如圖，△A1B1C1為所作；（2）A1（2，1），B1（3，﹣2），C1（﹣1，﹣2）．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換：作軸對稱后的圖形的依據(jù)是軸對稱的性質(zhì)，掌握其基本作法是解決問題的關鍵（先確定圖形的關鍵點；利用軸對稱性質(zhì)作出關鍵點的對稱點；按原圖形中的方式順次連接對稱點）．23．某市舊城改造項目計劃在一塊如圖所示的三角形空地上種植某種草皮美化環(huán)境，經(jīng)過測量得AB＝AC＝40m，△ABC的外角∠ACD＝105°．已知這種草皮每平方米a元，則購買這種草皮一共需要多少錢？【分析】如圖，過點B作BH⊥AC于點H．證明∠A＝30°，求出BH，再求出△ABC的面積，可得結論．解：如圖，過點B作BH⊥AC于點H．∵∠ACD＝105°，∴∠ACB＝75°，∵AB＝AC＝40m，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，∴∠A＝180°﹣2×75°＝30°，∵BH⊥AC，∴BH＝AB＝20m，∴S△ABC＝?AC?BH＝×40×20＝400（m2），∵這種草皮每平方米a元，∴購買這種草皮一共需要400a元．【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關鍵是轉(zhuǎn)化添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題．24．如圖1，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于點F．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接AF，請直接寫出圖中所有的全等三角形．【分析】（1）根據(jù)垂直得出∠CAD＝∠BEA＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理AAS可以證明△ADC≌△AEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理得出AD＝AE即可；（2）根據(jù)垂直得出∠BDF＝∠CEF＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DF＝EF，BF＝CF，再根據(jù)全等三角形的判定定理證明△AFB≌△AFC和△ADF≌△AEF即可．【解答】（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD＝∠BEA＝90°，在△ADC和△AEB中，，∴△ADC≌△AEB（AAS），∴AD＝AE，∵AB＝AC，∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝CE；（2）解：圖中全等三角形有△ADC≌△AEB，△ADF≌△AEF，△ABF≌△ACF，△BDF≌△CEF，理由是：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴DF＝EF，BF＝CF，根據(jù)SSS可以證明△AFB≌△AFC和△ADF≌△AEF．【點評】本題考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．25．如圖，在△ABC中，∠BAC＝∠ACB，點D是BC邊上一點，且AD＝BD，CE平分∠ACB交AD于點E．（1）若∠ADC＝80°，求∠2的度數(shù)；（2）過點E作EF∥AB，交BD于點F，求證：∠FEC＝3∠3．【分析】（1）首先利用三角形外角的性質(zhì)求得∠B＝40°，再利用三角形內(nèi)角和求出∠ACB的度數(shù)，從而得出答案；（2）設∠B＝x，則∠1＝x，利用平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理分別表示出∠FEC和∠3，從而解決問題．【解答】（1）解：∵AD＝BD，∴∠B＝∠1，∵∠ADC＝∠B+∠1，∴2∠B＝80°，∴∠B＝40°，∵∠BAC＝∠ACB，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵CE平分∠ACB，∴∠2＝∠3＝35°；（2）證明：設∠B＝x，則∠1＝x，∵EF∥AB，∴∠DEF＝∠1＝x，∴∠ACB＝90°﹣x，∴∠2＝∠3＝45°﹣x，∴∠DEC＝180°﹣（∠EDC+∠DCE）＝180°﹣（2x+45°﹣x）＝135°﹣x，∴∠FEC＝∠FED+∠CED＝x+135°﹣x＝135°﹣x，∴∠FEC＝3∠3．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識，利用參數(shù)x分別表示出∠FEC和∠3是解題的關鍵．26．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點E在AB邊上，AD⊥CE交CE的延長線于點D．（1）若∠BAC＝2∠DAE，求證：CE＝CB；（2）如圖2，連接BD，點F為CD的中點，延長BF交AC于點G，連接DG，若AG＝DG，求證：BD＝BC；（3）如圖3，在（2）的條件下，若∠DBC＝120°，CD＝10，點H為AB的中點，求線段DH的長．【分析】（1）如圖1中，過點A作AH⊥BC于點H，過點C作CT⊥AB于點T，設AH交CT于點O．證明∠CET＝∠CBT，可得結論；（2）證明GB垂直平分線段CD即可；（3）過點A作AJ⊥BC于點J，交CD于點Q，連接BQ，過點D作DR⊥AB于點R．解直角三角形求出DR，RH，再利用勾股定理，可得結論．【解答】（1）證明：如圖1中，過點A作AH⊥BC于點H，過點C作CT⊥AB于點T，設AH交CT于點O．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAH＝∠CAH，∵AD⊥CD，CT⊥AB，∴∠ADE＝∠CTE＝90°，∵∠AED＝∠CET，∴∠ECT＝∠EAD，∵∠ATC＝∠AHC＝90°，∠AOT＝∠COH，∴∠TCB＝∠BAH，∵∠BAC＝2∠DAE，∴∠BAH＝∠DAE，∴∠ECT＝∠BCT，∴∠ECT+∠CET＝90°，∠TCB+∠CBT＝90°，∴∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB．（2）證明：如圖2中，∵GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA，∵∠ADC＝90°，∴∠GAD+∠ACD＝90°，∠ADG+∠GDC＝90°，∴∠GDC＝∠GCD，∴GD＝GC，∵DF＝FC，∴GB⊥CD，∴BD＝BC；（3）解：過點A作AJ⊥BC于點J，交CD于點Q，連接BQ，過點D作DR⊥AB于點R．∵BD＝DC，∠DBC＝120°，∴∠BCD＝∠BDC＝30°，∵AB＝AC，AJ⊥BC，∴BJ＝CJ，∴QB＝QC，∴∠QBC＝∠QCB＝30°，∴∠BQD＝∠QBC+∠QCB＝60°，∴∠DBQ＝90°，∵∠BDQ＝30°，∴QD＝2BQ＝2CQ，∴DQ＝CD＝，BQ＝，DB＝BQ＝，∵∠ADQ＝∠CJQ＝90°，∠AQD＝∠CQJ，∴∠DAQ＝∠QCJ＝30°，∴AD＝DQ＝，∴AB＝AC＝＝＝，設BR＝x，∵DR2＝BD2﹣BR2＝AD2﹣AR2，∴（）2﹣x2＝（）2﹣（﹣x）2，∴x＝，∴DR2＝DB2﹣BR2＝（）2﹣（）2＝，∵BH＝AH＝，∴RH＝﹣＝，∴DH＝＝＝5．【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，屬于中考壓軸題．27．如圖1，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，△ABC的頂點B、C在x軸上（C左B右），點A在y軸正半軸上，∠BAC＝120°，點O為BC的中點，AB＝8．（1）求點A的坐標；（2）如圖2，點D為AC上一點，點F為y軸上一點，AD＝AF，連接DF，∠BDE＝60°，DE交y軸于點E，設線段AD的長為t，線段OE的長為