2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽四十三中八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2021-2022學(xué)年遼寧省沈陽四十三中八年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個答案是正確的，每小題2分，共計20分）1．下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，8，11 B．5，12，23 C．4，5，6 D．1，1，2．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．3.1415 B． C． D．3．下列計算，正確的是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．一次函數(shù)y＝kx﹣b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程kx﹣b＝0的解是（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．x＝1 D．x＝﹣16．下列語句正確的是（）A．平行于x軸的直線上所有點的橫坐標(biāo)都相同 B．（﹣1，1）與（1，﹣1）表示兩個不同的點 C．若點P（a，b）在y軸上，則b＝0 D．若點Q（﹣2，﹣1），則Q關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為（2，﹣1）7．某班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間統(tǒng)計如表所示：人數(shù)（人）317137時間（小時）78910那么該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.58．已知a，b滿足方程組，則a+b的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．29．已知一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則該函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．10．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AB在x軸的正半軸上，以A（1，0）為圓心，AC為半徑作圓交x軸負(fù)半軸于點P，則點P的橫坐標(biāo)是（）A． B． C．﹣1 D．二、填空題.（每小題3分，共計18分）11．比較大?。海?2．點P（m+3，m+1）在直角坐標(biāo)系的x軸上，則P點坐標(biāo)為．13．佳佳做作業(yè)時不小心灑落了一些墨水，把一道二元一次方程涂黑了一部分：■x﹣3y＝12，但她知道這個方程有一個解為x＝3，y＝﹣2，請你幫她把這個涂黑方程補充完整：．14．老師給出一個函數(shù)，甲、乙、丙各指出了這個函數(shù)的一個性質(zhì)：甲：這個函數(shù)的圖象是一條直線，且與直線y＝﹣x+5平行．乙：這個函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限．丙：我能計算出這個函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2．請你根據(jù)他們的敘述構(gòu)造滿足上述性質(zhì)的函數(shù)關(guān)系式：．15．李老師開車從甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）與行駛里程x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，那么到達(dá)乙地時油箱剩余油量是升．16．在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，點P為斜邊AB中點，點D為射線AC上一點，連接PD，若CD＝1，則PD＝．三、解答題（第17小題6分，第18題每小題6分，第19題8分）17．計算：．18．（1）（2）19．已知，如圖，Rt△ACB，∠A＝90°，AC＝8，AB＝4．（1）求出CB邊的長度．（2）若點D、E分別是AC、CB邊上的點，沿直線DE將∠C折疊，使得點C與點B重合，直接寫出DE的長度．四、（每小題10分，共20分）20．在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長為1．格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線交點的三角形）的頂點A、C的坐標(biāo)分別是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；（2）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（3）在y軸上有一點P，使PB1+PC的和最小，請直接寫出這個最小值，并寫出點P的坐標(biāo)為．21．某城市為創(chuàng)建國家衛(wèi)生城市，需要購買甲、乙兩種類型的分類垃圾桶（如圖所示），據(jù)調(diào)查該城市的A、B、C三個社區(qū)積極響應(yīng)號召并購買，具體購買的數(shù)和總價如表所示．社區(qū)甲型垃圾桶乙型垃圾桶總價A1083320B592860Cab2820（1）運用本學(xué)期所學(xué)知識，列二元一次方程組求甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的單價每套分別是多少元？（2）按要求各個社區(qū)兩種類型的垃圾桶都要有，則a＝．五、（本題12分）22．一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時從發(fā)，設(shè)客車離甲地為y1（km），出租車離甲地的距離為y2（km），客車行駛的時間為x（h），y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示：（1）根據(jù)圖象，直接寫出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）運用（1）的結(jié)論，求當(dāng)x＝5時兩車之間的距離；（3）若設(shè)兩車間的距離為s，請直接寫出兩車相遇之前s與x的函數(shù)關(guān)系式；（4）甲、乙兩地間有A、B兩個加油站，相距200km，若客車進(jìn)入A站加油，出租車恰好進(jìn)入B站加油，請直接寫出A加油站到甲地的距離．五、（本題12分）23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點P是直線AB上的一點，連接PC，以PC為腰作等腰直角△PCD．（1）如圖1，當(dāng)點P是線段上異于A、B的任一點，求證：AP2+BP2＝2PC2．（2）如圖2，若點P在線段AB的延長線上時，線段AP，BP，PC滿足的關(guān)系式為；（3）如圖3，當(dāng)P是△ABC內(nèi)的一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，請直接寫出∠BPC的度數(shù)．七、（本題12分）24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB＝90°，點A坐標(biāo)（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點D是線段BC上一動點（不與點B、點C重合），過點D作直線DE⊥OB，垂足為E．（1）求點B、點C的坐標(biāo)；（2）求直線AC的解析式；（3）若點N在射線DE上，是否存在點N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）連接AD，當(dāng)AD平分∠CAB時，請直接寫出直線AD的解析式．

參考答案一、選擇題（下列各題的備選答案中，只有一個答案是正確的，每小題2分，共計20分）1．下列各組數(shù)中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．6，8，11 B．5，12，23 C．4，5，6 D．1，1，【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長邊的平方，看看是否相等即可．解：A．∵62+82≠112，∴以6，8，11為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；B．∵52+122≠232，∴以5，12，23為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；C．∵42+52≠62，∴以4，5，6為邊不能組成直角三角形，故本選項不符合題意；D．∵12+12＝（）2，∴以1，1，為邊能組成直角三角形，故本選項符合題意；故選：D．2．下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（）A．3.1415 B． C． D．【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)進(jìn)行判斷，＝2是有理數(shù)；解：＝2是有理數(shù)，是無理數(shù)，故選：D．3．下列計算，正確的是（）A． B． C． D．【分析】利用二次根式的加減法對A進(jìn)行判斷；利用二次根式的性質(zhì)對B進(jìn)行判斷；利用平方差公式對C進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對D進(jìn)行判斷．解：A、原式＝2﹣＝，所以A選項正確；B、原式＝＝5，所以B選項錯誤；C、原式＝4﹣5＝﹣1，所以C選項錯誤；D、原式＝﹣1＝2﹣1＝1，所以D選項錯誤．故選：A．4．在平面直角坐標(biāo)系中，點（3，﹣4）所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】應(yīng)先判斷出點的橫縱坐標(biāo)的符號，進(jìn)而判斷點所在的象限．解：∵點的橫坐標(biāo)3＞0，縱坐標(biāo)﹣4＜0，∴點P（3，﹣4）在第四象限．故選：D．5．一次函數(shù)y＝kx﹣b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程kx﹣b＝0的解是（）A．（1，0） B．（0，﹣1） C．x＝1 D．x＝﹣1【分析】從圖象得到函數(shù)y＝kx﹣b與x軸的交點的橫坐標(biāo)，即能求得方程kx﹣b＝0的解．解：從圖象知，函數(shù)y＝kx﹣b的圖象經(jīng)過點（1，0），∴關(guān)于x的方程kx﹣b＝0的解是x＝1．故選：C．6．下列語句正確的是（）A．平行于x軸的直線上所有點的橫坐標(biāo)都相同 B．（﹣1，1）與（1，﹣1）表示兩個不同的點 C．若點P（a，b）在y軸上，則b＝0 D．若點Q（﹣2，﹣1），則Q關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為（2，﹣1）【分析】依據(jù)點的坐標(biāo)，坐標(biāo)軸上點的坐標(biāo)特征，關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的點的坐標(biāo)特征進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．解：A．平行于x軸的直線上所有點的縱坐標(biāo)都相同，故本選項錯誤；B．（﹣1，1）與（1，﹣1）表示兩個不同的點，故本選項正確；C．若點P（a，b）在y軸上，則a＝0，故本選項錯誤；D．若點Q（﹣2，﹣1），則Q關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)為（﹣2，1），故本選項錯誤；故選：B．7．某班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間統(tǒng)計如表所示：人數(shù)（人）317137時間（小時）78910那么該班40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）A．17，8.5 B．17，9 C．8，9 D．8，8.5【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的概念分別求得這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)．解：眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即8；由統(tǒng)計表可知，處于20，21兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為＝8.5；故選：D．8．已知a，b滿足方程組，則a+b的值為（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】求出方程組的解得到a與b的值，即可確定出a+b的值．解：法1：，①+②×5得：16a＝32，即a＝2，把a＝2代入①得：b＝2，則a+b＝4，法2：①+②得：4a+4b＝16，則a+b＝4，故選：B．9．已知一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，則該函數(shù)的圖象大致是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵一次函數(shù)y＝kx+2（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而增大，∴k＞0，∴此函數(shù)的圖象經(jīng)過一二三象限．故選：A．10．如圖所示，正方形ABCD的邊長為2，AB在x軸的正半軸上，以A（1，0）為圓心，AC為半徑作圓交x軸負(fù)半軸于點P，則點P的橫坐標(biāo)是（）A． B． C．﹣1 D．【分析】由正方形ABCD的邊長為2，可得AB＝BC＝2，由勾股定理可求AC＝＝AP，進(jìn)而根據(jù)OP的長得到點P坐標(biāo)．解：∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A為圓心，AC為半徑畫圓交x軸負(fù)半軸于點P，∴AP＝AC＝，又∵點A（1，0），∴OP＝﹣1，∴點P（1﹣，0），故選：D．二、填空題.（每小題3分，共計18分）11．比較大?。海荆痉治觥扛鶕?jù)正數(shù)大于負(fù)數(shù)，即可解答．解：＞，故答案為：＞．12．點P（m+3，m+1）在直角坐標(biāo)系的x軸上，則P點坐標(biāo)為（2，0）．【分析】根據(jù)x軸上點的坐標(biāo)特點解答即可．解：∵點P（m+3，m+1）在直角坐標(biāo)系的x軸上，∴這點的縱坐標(biāo)是0，∴m+1＝0，解得，m＝﹣1，∴橫坐標(biāo)m+3＝2，則點P的坐標(biāo)是（2，0）．13．佳佳做作業(yè)時不小心灑落了一些墨水，把一道二元一次方程涂黑了一部分：■x﹣3y＝12，但她知道這個方程有一個解為x＝3，y＝﹣2，請你幫她把這個涂黑方程補充完整：2x﹣3y＝12．【分析】知道了方程的解，可以把這對數(shù)值代入方程得到一個含有未知數(shù)■的一元一次方程，從而可以求出■的值．解：把x＝3，y＝﹣2代入■x﹣3y＝12，得3■+6＝12，解得■＝2，所以原方程為2x﹣3y＝12．14．老師給出一個函數(shù)，甲、乙、丙各指出了這個函數(shù)的一個性質(zhì)：甲：這個函數(shù)的圖象是一條直線，且與直線y＝﹣x+5平行．乙：這個函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限．丙：我能計算出這個函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2．請你根據(jù)他們的敘述構(gòu)造滿足上述性質(zhì)的函數(shù)關(guān)系式：y＝﹣x﹣2．【分析】根據(jù)兩直線平行可知k＝﹣1，然后一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及三角形面積即可求得b＝﹣2，進(jìn)而求得y＝﹣x﹣2．解：∵這個函數(shù)的圖象是一條直線，且與直線y＝﹣x+5平行，∴設(shè)函數(shù)為y＝﹣x+b，則函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點為（b，0）和（0，b），∵函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限．∴b＜0，∵函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，∴（﹣b）?（﹣b）＝2，解得b＝﹣2，∴函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x﹣2，故答案為：y＝﹣x﹣2．15．李老師開車從甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）與行駛里程x（千米）之間是一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示，那么到達(dá)乙地時油箱剩余油量是20升．【分析】根據(jù)題意得出汽車耗油量，進(jìn)而得出到達(dá)乙地時郵箱剩余油量．解：由圖象可得出：行駛160km，耗油（35﹣25）＝10（升），∴行駛240km，耗油×10＝15（升），∴到達(dá)乙地時郵箱剩余油量是35﹣15＝20（升）．故答案為：20．16．在等腰直角△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，點P為斜邊AB中點，點D為射線AC上一點，連接PD，若CD＝1，則PD＝或5．【分析】過點P作PE⊥AC于E，分點D在AC上、點D′在AC的延長線上兩種情況，根據(jù)勾股定理計算即可．解：過點P作PE⊥AC于E，則PE∥BC，∵點P為斜邊AB中點，∴點E為斜邊AC中點，PE＝BC＝3，∴AE＝EC＝3，當(dāng)點D在AC上，CD＝1時，ED＝EC﹣CD＝2，則PD＝＝，當(dāng)點D′在AC的延長線上，CD′＝1時，ED′＝EC+CD′＝4，則PD＝＝5，綜上所述，PD＝或5，故答案為：或5．三、解答題（第17小題6分，第18題每小題6分，第19題8分）17．計算：．【分析】原式利用算術(shù)平方根性質(zhì)，二次根式性質(zhì)，以及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計算即可求出值．解：原式＝﹣1﹣+2﹣＝﹣．18．（1）（2）【分析】（1）用代入消元法解二元一次方程組即可；（2）用加減消元法解二元一次方程組即可．解：（1），將①代入②，得2（y+5）﹣y＝8，解得y＝﹣2，將y＝﹣2代入①，得x＝3，∴原方程組的解為；（2），①+②得4x＝4，解得x＝1，將x＝1代入①，得1+y＝﹣1，解得y＝﹣2，∴原方程組的解為．19．已知，如圖，Rt△ACB，∠A＝90°，AC＝8，AB＝4．（1）求出CB邊的長度．（2）若點D、E分別是AC、CB邊上的點，沿直線DE將∠C折疊，使得點C與點B重合，直接寫出DE的長度．【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求出BC的長；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得CD＝BD，BE＝CE＝BC＝2，DE⊥BC，然后根據(jù)勾股定理即可解決問題．解：（1）在Rt△ACB中，∠A＝90°，∵AC＝8，AB＝4．∴BC＝＝＝4；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)知，CD＝BD，BE＝CE＝BC＝2，DE⊥BC，在Rt△ADB中，AD＝AC﹣CD＝8﹣BD，由勾股定理得，AB2+AD2＝BD2，∴42+（8﹣BD）2＝BD2，解得BD＝5，在Rt△EDB中，由勾股定理得，EB2+DE2＝BD2，∴（2）2+DE2＝52，∴DE＝2．四、（每小題10分，共20分）20．在如圖的正方形網(wǎng)格中，每一個小正方形的邊長為1．格點△ABC（頂點是網(wǎng)格線交點的三角形）的頂點A、C的坐標(biāo)分別是（﹣4，6），（﹣1，4）．（1）請在圖中的網(wǎng)格平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系；（2）請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；（3）在y軸上有一點P，使PB1+PC的和最小，請直接寫出這個最小值3，并寫出點P的坐標(biāo)為（0，2）．【分析】（1）根據(jù)點A，C的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系即可．（2）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作圖即可．（3）作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'B1，與y軸交于點P，連接CP，此時PB1+PC的和最小，利用勾股定理可得這個最小值，由圖可得點P坐標(biāo)．解：（1）建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．（2）如圖，△A1B1C1即為所求．（3）作點C關(guān)于y軸的對稱點C'，連接C'B1，與y軸交于點P，連接CP，此時PB1+PC的和最小，最小值即為C'B1的值，由勾股定理得，C'B1＝＝．點P的坐標(biāo)為（0，2）．故答案為：；（0，2）．21．某城市為創(chuàng)建國家衛(wèi)生城市，需要購買甲、乙兩種類型的分類垃圾桶（如圖所示），據(jù)調(diào)查該城市的A、B、C三個社區(qū)積極響應(yīng)號召并購買，具體購買的數(shù)和總價如表所示．社區(qū)甲型垃圾桶乙型垃圾桶總價A1083320B592860Cab2820（1）運用本學(xué)期所學(xué)知識，列二元一次方程組求甲型垃圾桶、乙型垃圾桶的單價每套分別是多少元？（2）按要求各個社區(qū)兩種類型的垃圾桶都要有，則a＝3或15．【分析】（1）設(shè)甲型垃圾桶的單價為x元，乙型垃圾桶的單價每套為y元，根據(jù)圖表中的甲型、乙型垃圾桶的數(shù)量和它們的總價列出方程組即可解答；（2）根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)列出關(guān)于a\b的二元一次方程，結(jié)合a、b的取值范圍求整數(shù)解即可．解：（1）設(shè)甲型垃圾桶的單價每套為x元，乙型垃圾桶的單價每套為y元，根據(jù)題意，得解得答：甲型垃圾桶的單價每套為140元，乙型垃圾桶的單價每套為240元；（2）由題意，得140a+240b＝2820整理得，7a+12b＝141因為a、b都是整數(shù)，所以，或答：a的值為3或15．故答案為3或15．五、（本題12分）22．一輛客車從甲地開往乙地，一輛出租車從乙地開往甲地，兩車同時從發(fā)，設(shè)客車離甲地為y1（km），出租車離甲地的距離為y2（km），客車行駛的時間為x（h），y1，y2與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖所示：（1）根據(jù)圖象，直接寫出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）運用（1）的結(jié)論，求當(dāng)x＝5時兩車之間的距離；（3）若設(shè)兩車間的距離為s，請直接寫出兩車相遇之前s與x的函數(shù)關(guān)系式；（4）甲、乙兩地間有A、B兩個加油站，相距200km，若客車進(jìn)入A站加油，出租車恰好進(jìn)入B站加油，請直接寫出A加油站到甲地的距離．【分析】（1）可根據(jù)待定系數(shù)法來確定函數(shù)關(guān)系式；（2）可依照（1）得出的關(guān)系式，得出結(jié)果；（3）求出兩車相遇時所需時間，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)（3）中得出的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)自變量的取值范圍分別計算出A加油站到甲地的距離．解：（1）由題意得：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（2）當(dāng)x＝5時y1＝300，y2＝100，∴y1﹣y2＝200，答：當(dāng)x＝5時兩車之間的距離為200千米；（3）當(dāng)兩車相遇時耗時為x，y1＝y(tǒng)2，即60x＝﹣100x+600，解得x＝，故兩車相遇之前s與x的函數(shù)關(guān)系式為：s＝y(tǒng)2﹣y1＝﹣160x+600（0≤x≤）；（4）由題意得：S＝200，①當(dāng)0≤x≤時，﹣160x+600＝200，∴x＝，∴y1＝60x＝150．②當(dāng)＜x≤6時160x﹣600＝200，∴x＝5，∴y1＝300，③當(dāng)6＜x≤10時，60x≥360不合題意．即：A加油站到甲地距離為150km或300km．五、（本題12分）23．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．點P是直線AB上的一點，連接PC，以PC為腰作等腰直角△PCD．（1）如圖1，當(dāng)點P是線段上異于A、B的任一點，求證：AP2+BP2＝2PC2．（2）如圖2，若點P在線段AB的延長線上時，線段AP，BP，PC滿足的關(guān)系式為PA2+PB2＝2PC2；（3）如圖3，當(dāng)P是△ABC內(nèi)的一點，且PB＝1，PC＝2，PA＝3，請直接寫出∠BPC的度數(shù)．【分析】（1）證明△ACD≌△BCP（SAS），推出AD＝PB，∠CAD＝∠B＝45°，可得結(jié)論；（2）結(jié)論：PA2+PB2＝2PC2．同法可證△ACP≌△BCD，推出AP＝BD，∠A＝∠CBD＝45°，可得結(jié)論；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，則△CPD為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根據(jù)勾股定理的逆定理得到△PBD為直角三角形，即可得到∠BPC的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵△ACB，△DCP都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CP，∠ACB＝∠DCP＝90°，∴∠ACD＝∠BCP，∠CAB＝∠B＝45°，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP（SAS），∴AD＝PB，∠CAD＝∠B＝45°，∴∠DAP＝90°，∴AP2+AD2＝PD2，∵PD＝PC，∴AP2+PB2＝2PC2；（2）解：結(jié)論：PA2+PB2＝2PC2．理由：如圖2中，同法可證△ACP≌△BCD，∴AP＝BD，∠A＝∠CBD＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBP＝90°，∴BD2+PB2＝PD2，∵PD＝PC，∴PA2+PB2＝2PC2；故答案為：PA2+PB2＝2PC2；（3）解：如圖3中，把△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，連接DP，∵△ACP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCD，∴△ACP≌△BCD，∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，∴△CPD為等腰直角三角形，∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3，而12+（2）2＝32，∴PB2+PD2＝BD2，∴△PBD為直角三角形，∴∠DPB＝90°，∴∠BPC＝45°+90°＝135°．七、（本題12分）24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt△ABC的斜邊AB在x軸上，點C在y軸上，∠ACB＝90°，點A坐標(biāo)（﹣9，0），直線BC的解析式為y＝﹣x+12，點D是線段BC上一動點（不與點B、點C重合），過點D作直線DE⊥OB，垂足為E．（1）求點B、點C的坐標(biāo)；（2）求直線AC的解析式；（3）若點N在射線DE上，是否存在點N使△BCN是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（4）連接AD，當(dāng)AD平分∠CAB時，請直接寫出直線AD的解析式．【分析】（1）令x＝0，求出C（0，12），令y＝0，