2021-2022學(xué)年山東省臨沂市臨沭縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2021-2022學(xué)年山東省臨沂市臨沭縣八年級(jí)（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．式子有意義的條件是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥22．下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．3．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的長(zhǎng)度是（）A． B． C．3 D．或4．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝45．下列命題中是假命題的是（）A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a(chǎn)：b：c＝3：4：6 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：37．已知四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是BC的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)介于（）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間9．如圖1，平行四邊形ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N、M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD'E處，AD'與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，則∠FED'的大小為（）A．27° B．32° C．36° D．40°11．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”此問(wèn)題可理解為：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離AB長(zhǎng)度為1尺．將它往前水平推送10尺時(shí)，即A′C＝10尺，則此時(shí)秋千的踏板離地距離A′D就和身高5尺的人一樣高．若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中秋千的繩索始終拉得很直，則繩索OA長(zhǎng)為（）A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺12．如圖，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為（）A．2 B．1 C． D．二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13．?dāng)?shù)學(xué)中說(shuō)明某個(gè)命題不成立時(shí)常采用“舉反例”，即舉一個(gè)滿足條件，但不滿足結(jié)論的例子．為說(shuō)明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，都有＝a”是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例a＝．14．如圖，BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若∠ADB＝32°，則∠DCE的度數(shù)為度．15．勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A、B、C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖（單位：km），筆直鐵路經(jīng)過(guò)A、B兩地．則A、B兩地間的距離為km，A、C兩地間的距離為km．16．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF，則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝12；⑤∠AGB+∠AED＝145°．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題（本大題共7小題，共68分）17．計(jì)算：（1）×﹣4；（2）|﹣|﹣（1﹣）2．18．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）∠BCD是直角嗎？請(qǐng)證明你的判斷．（2）直接寫出四邊形ABCD的面積（3）找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)N．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE為正方形？給出證明．20．如圖1，居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)，小華先將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角120°，側(cè)面示意圖如圖2；如圖3，使用時(shí)為了散熱，他在底板下墊入散熱架ACO'后，電腦轉(zhuǎn)到AO'B'位置，側(cè)面示意圖如圖4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于點(diǎn)C，∠O′AC＝30°，AC＝cm．（1）求OA的長(zhǎng)；（2）墊入散熱架后，顯示屏頂部B'比原來(lái)升高了多少cm？21．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的長(zhǎng)．22．閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p＝，那么這個(gè)三角形的面積為S＝這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫——秦九韶公式”．完成以下問(wèn)題：如圖，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）直接寫出p的值，p＝．（2）求△ABC的面積；（3）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，求線段CD的長(zhǎng)．23．問(wèn)題解決：如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE＝AF，DE⊥AF于點(diǎn)G．（1）求證：四邊形ABCD是正方形；（2）延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H，使得BH＝AE，判斷△AHF的形狀，并說(shuō)明理由．類比遷移：如圖2，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，DE與AF相交于點(diǎn)G，DE＝AF，∠AED＝60°，AE＝7，BF＝2，則DE＝．（只在圖2中作輔助線，并簡(jiǎn)要說(shuō)明其作法，直接寫出DE的長(zhǎng)度）

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．式子有意義的條件是（）A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．解：由題意得3x﹣6＞0，解得x＞2，故選：C．2．下列二次根式中，能與合并的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)同類二次根式的概念解答即可．解：A、＝3，與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、＝2，與是同類二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；C、＝與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、＝與不是同類二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．△ABC中，已知AB＝1，AC＝2．要使∠B是直角，BC的長(zhǎng)度是（）A． B． C．3 D．或【分析】先分析得出AC為斜邊，AB為直角邊，所以BC用勾股定理可求．解：∵∠B是直角，故AC為△ABC的斜邊，AB為直角邊，∴BC＝＝＝．故選：A．4．下列運(yùn)算正確的是（）A． B．3﹣＝3 C．×＝ D．＝4【分析】利用二次根式的加減法法則計(jì)算A、B，利用二次根式的乘、除法法則計(jì)算C、D，根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷即可．解：與不是同類二次根式，不能加減，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；3﹣＝2≠3，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；×＝，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；÷＝＝2≠4，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：C．5．下列命題中是假命題的是（）A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形【分析】做題時(shí)首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答．解：A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（平行四邊形判定定理）；故A不符合題意．B、一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，故B符合題意．C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故C不符合題意；D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，故D不符合題意．故選：B．6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝∠C B．a(chǎn)：b：c＝3：4：6 C．a(chǎn)2＝c2﹣b2 D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理和三角形的內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可．解：A、∠A+∠B＝∠C，∠C＝90°，是直角三角形，不符合題意；B、∵設(shè)a＝3x，b＝4x，c＝6x，（3x）2+（4x）2≠（6x）2，不是直角三角形，符合題意；C、a2＝c2﹣b2，a2+b2＝c2，是直角三角形，不符合題意；D、∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∴∠C＝90°，是直角三角形，不符合題意；故選：B．7．已知四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，E是BC的中點(diǎn)，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．OE＝DC B．OA＝OC C．∠BOE＝∠OBA D．∠OBE＝∠OCE【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理得出選項(xiàng)A、B、C正確；由OB≠OC，得出∠OBE≠∠OCE，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥DC，又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線，∴OE＝DC，OE∥DC，∴OE∥AB，∴∠BOE＝∠OBA，∴選項(xiàng)A、B、C正確；∵OB≠OC，∴∠OBE≠∠OCE，∴選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：D．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（﹣2，0），B（0，3），以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，交x軸的正半軸于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)介于（）A．0和1之間 B．1和2之間 C．2和3之間 D．3和4之間【分析】求出OA、OB，根據(jù)勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC長(zhǎng)即可．解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（0，3），∴OA＝2，OB＝3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝，∴AC＝AB＝，∴OC＝﹣2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），∵，∴，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)介于1和2之間，故選：B．9．如圖1，平行四邊形ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N、M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙兩種方案，則正確的方案是（）A．甲是 B．乙是 C．甲、乙都是 D．甲、乙都不是【分析】方案甲，連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)得OB＝OD，OA＝OC，則NO＝OM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；方案乙，證△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確．解：方案甲，連接AC，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點(diǎn)，∴OB＝OD，OA＝OC，∵BN＝NO，OM＝MD，∴NO＝OM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案甲正確；方案乙，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABN＝∠CDM，∵AN⊥BD，CM⊥BD，∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，在△ABN和△CDM中，，∴△ABN≌△CDM（AAS），∴AN＝CM，又∵AN∥CM，∴四邊形ANCM為平行四邊形，故方案乙正確；故選：C．10．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為邊CD上一點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊至△AD'E處，AD'與CE交于點(diǎn)F．若∠B＝54°，∠DAE＝20°，則∠FED'的大小為（）A．27° B．32° C．36° D．40°【分析】由三角形外角的性質(zhì)可得∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，由折疊的性質(zhì)可得∠AED＝∠AED'＝106°，即可求解．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D＝54°，∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝74°，∴∠AED＝106°，∵將△ADE沿AE折疊至△AD'E處，∴∠AED＝∠AED'＝106°，∴∠FED'＝∠AED'﹣∠AEC＝106°﹣74°＝32°，故選：B．11．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問(wèn)題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭(zhēng)蹴，終朝笑語(yǔ)歡嬉．良工高士素好奇，算出索長(zhǎng)有幾．”此問(wèn)題可理解為：如圖，有一架秋千，當(dāng)它靜止時(shí)，踏板離地距離AB長(zhǎng)度為1尺．將它往前水平推送10尺時(shí)，即A′C＝10尺，則此時(shí)秋千的踏板離地距離A′D就和身高5尺的人一樣高．若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中秋千的繩索始終拉得很直，則繩索OA長(zhǎng)為（）A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺【分析】設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．解：設(shè)繩索有x尺長(zhǎng)，則102+（x+1﹣5）2＝x2，解得：x＝14.5．故繩索長(zhǎng)14.5尺．故選：C．12．如圖，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則AP+PQ的最小值為（）A．2 B．1 C． D．【分析】如圖，連接PC，AC，CQ．證明PA＝PC，可得PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，解直角三角形求出CQ，可得結(jié)論．解：如圖，連接PC，AC，CQ．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ABP＝∠PBC，∴△ABP≌△CBP，∴PA＝PC，∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠ABC＝180°﹣120°＝60°，∵AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∵AQ＝QB，∴CQ⊥AB，∴CQ＝BC?sin60°＝，∵PA+PQ＝PC+PQ≥CQ，∴PA+PQ≥，∴PA+PQ的最小值為．故選：C．二．填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13．?dāng)?shù)學(xué)中說(shuō)明某個(gè)命題不成立時(shí)常采用“舉反例”，即舉一個(gè)滿足條件，但不滿足結(jié)論的例子．為說(shuō)明命題“對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，都有＝a”是假命題，請(qǐng)舉一個(gè)反例a＝﹣2（答案不唯一）．．【分析】利用a＜0時(shí)，＝a不成立，從而可對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．解：當(dāng)a＝﹣2時(shí)，＝a不成立．故答案為：﹣2（答案不唯一）．14．如圖，BD是菱形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，若∠ADB＝32°，則∠DCE的度數(shù)為64度．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BC＝CD，AD∥BC，得到∠CBD＝∠BDC＝∠ADB，利用外角性質(zhì)可得．解：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD，AD∥BC，∴∠CBD＝∠BDC，∠CBD＝∠ADB＝32°，∴∠CBD＝∠BDC＝32°，∴∠DCE＝∠CBD+∠BDC＝64°，故答案為：64．15．勘測(cè)隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了A、B、C三地的坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖（單位：km），筆直鐵路經(jīng)過(guò)A、B兩地．則A、B兩地間的距離為5km，A、C兩地間的距離為3km．【分析】根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同即可求出AB的長(zhǎng)度；由勾股定理得出A、C兩地間的距離．解：由A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知：AB∥x軸，∴AB＝3﹣（﹣2）＝5（km）；∵A（3，1），C（0，﹣5），∴AC＝＝3（km）．故答案為：5，3．16．如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD＝3DE，將△ADE沿AE對(duì)折至△AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連接AG，CF，則下列結(jié)論：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③AG∥CF；④S△EGC＝12；⑤∠AGB+∠AED＝145°．其中正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．【分析】根據(jù)翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可證Rt△ABG≌Rt△AFG；在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理可證BG＝GC；通過(guò)證明∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，由平行線的判定可得AG∥CF；求出S△EGC的面積即可；求得∠GAF＝45°，∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAF＝135°．解：①正確．理由：∵AB＝AD＝AF，AG＝AG，∠B＝∠AFG＝90°，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；②正確．理由：EF＝DE＝CD＝2，設(shè)BG＝FG＝x，則CG＝6﹣x．在直角△ECG中，根據(jù)勾股定理，得（6﹣x）2+42＝（x+2）2，解得x＝3．∴BG＝3＝6﹣3＝CG；③正確．理由：∵CG＝BG，BG＝GF，∴CG＝GF，∴△FGC是等腰三角形，∠GFC＝∠GCF．又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；∴∠AGB＝∠AGF，∠AGB+∠AGF＝2∠AGB＝180°﹣∠FGC＝∠GFC+∠GCF＝2∠GFC＝2∠GCF，∴∠AGB＝∠AGF＝∠GFC＝∠GCF，∴AG∥CF；④錯(cuò)誤．理由：∵S△GCE＝GC?CE＝×3×4＝6，∴④錯(cuò)誤；⑤錯(cuò)誤．∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE，又∵∠BAD＝90°，∴∠GAE＝45°，∴∠AGB+∠AED＝180°﹣∠GAE＝135°，故答案為：①②③．三、解答題（本大題共7小題，共68分）17．計(jì)算：（1）×﹣4；（2）|﹣|﹣（1﹣）2．【分析】（1）先計(jì)算二次根式，再計(jì)算乘法，后計(jì)算加減；（2）先計(jì)算開方、絕對(duì)值和平方，后計(jì)算加減．解：（1）×﹣4＝3×﹣4×＝3﹣2＝；（2）|﹣|﹣（1﹣）2＝3﹣2﹣（3﹣2）＝3﹣2﹣3+2＝0．18．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1．A、B、C、D均在網(wǎng)格的格點(diǎn)上．（1）∠BCD是直角嗎？請(qǐng)證明你的判斷．（2）直接寫出四邊形ABCD的面積（3）找到格點(diǎn)E，并畫出四邊形ABED（一個(gè)即可），使得其面積與四邊形ABCD面積相等．【分析】（1）利用勾股定理，判斷即可．（2）利用分割法求解即可．（3）取格點(diǎn)E，連接BE，DE即可．解：（1）∠BCD不是直角．理由：∵BC2＝52+22＝29，CD2＝5，BD2＝42+42＝32，∴BC2+CD2≠BD2，∴∠BCD不是直角．（2）S四邊形ABCD＝5×5﹣×2×5﹣×1×5﹣×1×2﹣×1×3﹣1＝14．（3）如圖，四邊形ABED即為所求作．19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)N．（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE為正方形？給出證明．【分析】（1）根據(jù)矩形的有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形，已知CE⊥AN，AD⊥BC，所以求證∠DAE＝90°，可以證明四邊形ADCE為矩形．（2）根據(jù)正方形的判定，我們可以假設(shè)當(dāng)AD＝BC，由已知可得，DC＝BC，由（1）的結(jié)論可知四邊形ADCE為矩形，所以證得，四邊形ADCE為正方形．【解答】（1）證明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分線，∴∠MAE＝∠CAE，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝180°＝90°，又∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四邊形ADCE為矩形．（2）當(dāng)△ABC滿足∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．理由：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD＝∠ACD＝45°，∴DC＝AD，∵四邊形ADCE為矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形．20．如圖1，居家網(wǎng)課學(xué)習(xí)時(shí)，小華先將筆記本電腦水平放置在桌子上，顯示屏OB與底板OA所在水平線的夾角120°，側(cè)面示意圖如圖2；如圖3，使用時(shí)為了散熱，他在底板下墊入散熱架ACO'后，電腦轉(zhuǎn)到AO'B'位置，側(cè)面示意圖如圖4．已知OA＝OB，O'C⊥OA于點(diǎn)C，∠O′AC＝30°，AC＝cm．（1）求OA的長(zhǎng)；（2）墊入散熱架后，顯示屏頂部B'比原來(lái)升高了多少cm？【分析】（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AO′＝2CO′，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AO交AO的延長(zhǎng)線于D，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：（1）∵O'C⊥OA，∴∠ACO′＝90°，∵∠CAO′＝30°，∴AO′＝2CO′，∵AO′2＝AC2+CO′2，∴AO′2＝（10）2+（AO′）2，∴AO＝AO′＝20cm，答：OA的長(zhǎng)為20cm；（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AO交AO的延長(zhǎng)線于D，∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°，∴∠OBD＝30°，∴OD＝OB，∵OB＝OA＝20cm，∴OD＝10cm，∴BD＝＝10（cm），∵O′C⊥OA，∠CAO′＝30°，∴∠AO′C＝60°，∵∠AO′B′＝120°，∴∠AO′B′+∠AO′C＝180°，∴O′B′+O′C﹣BD＝20+10﹣10＝（30﹣10）cm，∴顯示屏的頂部B′比原來(lái)升高了（30﹣10）cm．21．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接OE．（1）求證：四邊形ABCD是菱形；（2）若AB＝2，BD＝4，求OE的長(zhǎng)．【分析】（1）先判斷出∠OAB＝∠DCA，進(jìn)而判斷出∠DAC＝∠DCA，得出CD＝AD＝AB，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出OE＝OA＝OC，再求出OB＝2，利用勾股定理求出OA，即可得出結(jié)論．解：（1）∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD＝AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD＝AB，∴?ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴OA＝OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE＝OA＝OC，∵BD＝4，∴OB＝BD＝2，在Rt△AOB中，AB＝2，OB＝2，∴OA＝＝4，∴OE＝OA＝4．22．閱讀材料：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，記p＝，那么這個(gè)三角形的面積為S＝這個(gè)公式叫“海倫公式”，它是利用三角形的三條邊的邊長(zhǎng)直接求三角形面積的公式，我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶也得出了類似的公式，稱三斜求積術(shù)，故這個(gè)公式又被稱為“海倫——秦九韶公式”．完成以下問(wèn)題：如圖，在△ABC中，a＝8，b＝5，c＝7．（1）直接寫出p的值，p＝10．（2）求△ABC的面積；（3）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，求線段CD的長(zhǎng)．【分析】（1）利用閱讀材