備戰(zhàn)2023高考技巧大全之高中數(shù)學(xué)黃金解題模板

【高考地位】含參不等式的恒成立問題越來越受到高考命題者的青睞，由于新課標(biāo)高考對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的加強(qiáng)，這些不等式的恒成立問題往往與導(dǎo)數(shù)問題交織在一起，這在近年的高考試題中不難看出這個(gè)基本的命題趨勢(shì).解決這類問題的關(guān)鍵是揭開量詞隱含的神秘面紗還函數(shù)問題本來面目，在高考中各種題型多以選擇題、填空題和解答題等出現(xiàn)，其試題難度屬高檔題.【方法點(diǎn)評(píng)】方法一分離參數(shù)法使用情景：對(duì)于變量和參數(shù)可分離的不等式解題模板：第一步首先對(duì)待含參的不等式問題在能夠判斷出參數(shù)的系數(shù)正負(fù)的情況下，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；第二步先求出含變量一邊的式子的最值；第三步由此推出參數(shù)的取值范圍即可得出結(jié)論.例1已知函數(shù)，若在函數(shù)定義域內(nèi)恒成立，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】考點(diǎn)：函數(shù)的恒成立問題．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的恒成立問題，其中解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、恒成立的分離參數(shù)構(gòu)造新函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，試題有一定的思維深度，屬于中檔試題，解答中根據(jù)函數(shù)的恒成立，利用分離參數(shù)法構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．含參不等式分離參數(shù)后的形式因題、因分法而異，因此解決含參不等式恒成立問題需把握住下述結(jié)論：（1）恒成立；（2）恒成立；（3）恒成立。（4）恒成立.【變式演練1】已知函數(shù)在上有意義，則的取值范圍是.【答案】．【解析】函數(shù)在上有意義，等價(jià)于在上恒成立，即恒成立，記，即等價(jià)于.因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，因此的最大值為.所以，于是的取值范圍是，故應(yīng)填．【變式演練2】若關(guān)于的不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C.D．【答案】A【解析】考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用；不等式的恒成立問題.方法二函數(shù)性質(zhì)法使用情景：對(duì)于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值較困難的類型解題模板：第一步首先可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式如、等；第二步從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值；第三步得出結(jié)論.例2已知函數(shù)，其中.若在區(qū)間上，恒成立，求的取值范圍.【答案】.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于不能分離參數(shù)或分離參數(shù)后求最值或確界較困難的問題，我們可以把含參不等式整理成適當(dāng)形式如、等，然后從研究函數(shù)的性質(zhì)入手，轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的單調(diào)性和極值.在解題過程中常常要用到如下結(jié)論：（1）如果有最小值，則恒成立，恒成立；（2）如果有最大值，則恒成立，恒成立.【變式演練3】已知函數(shù)．（1）記的極小值為，求的最大值；（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解；（2）借助題設(shè)運(yùn)用分類整合思想將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，即，即令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的最小值為，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，，由上面可知恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是考點(diǎn)：極值的概念及導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．【變式演練4】設(shè)函數(shù)，若時(shí)，，求的取值范圍?！敬鸢浮俊军c(diǎn)評(píng)】函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)既是研究的對(duì)象，又是解決問題的工具。本題抓住這一重要的解題信息，將問題轉(zhuǎn)化為在時(shí)恒成立，通過研究函數(shù)在上是不減函數(shù)應(yīng)滿足的條件，進(jìn)而求出的范圍。隱含條件對(duì)解題思路的獲得，起到了十分重要的導(dǎo)向作用.【變式演練5】已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若QUOTE在QUOTE上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）詳見解析（3）【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得為切線斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求切線方程（2）求函數(shù)單調(diào)性，先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)及符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)行分類討論：當(dāng)時(shí)，，因此在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，因此先增再減再增（3）本題不宜變量分離，故直接研究函數(shù)，先求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，再根據(jù)兩個(gè)零點(diǎn)大小分類討論：時(shí)，，；時(shí)，；時(shí)，試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為即：（Ⅲ）因?yàn)樵谏虾愠闪?，有在上恒成立．所以，令，則．令則若，即時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又所以，在上恒成立；若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減所以，在上的最小值為，因?yàn)樗圆缓项}意．即時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，在上的最小值為又因?yàn)?，所以恒成立綜上知，的取值范圍是考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題.方法三判別式法使用情景：含參數(shù)的二次不等式解題模板：第一步首先將所求問題轉(zhuǎn)化為二次不等式；第二步運(yùn)用二次函數(shù)的判別式對(duì)其進(jìn)行研究討論；第三步得出結(jié)論.例3設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)評(píng)】一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立；2）對(duì)恒成立.例4、若為二次函數(shù)，-1和3是方程的兩根，.（1）求的解析式；（2）若在區(qū)間上，不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】試題解析：（1）設(shè)二次函數(shù)，由可得，故方程可化為，∵-1和3是方程的兩根，∴由韋達(dá)定理可得，解得，故的解析式為；（2）∵在區(qū)間上，不等式有解，∴在區(qū)間上有解，故只需小于函數(shù)在區(qū)間上的最大值，由二次函數(shù)可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值5,∴實(shí)數(shù)的取值范圍為考點(diǎn)：1、求二次函數(shù)解析式；2、不等式能成立問題.【方法點(diǎn)睛】本題首先考查二次函數(shù)解析式，已知函數(shù)類型求解析式時(shí)，可以采用待定系數(shù)法，第二問考查一元二次不等式的解法，對(duì)于一元二次不等式在給定區(qū)間上有解問題，可以采用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為來求參數(shù)的取值范圍，另外，對(duì)于不等式恒成立、能成立問題，都要尋求等價(jià)的轉(zhuǎn)化關(guān)系來解題.【變式演練6】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。【答案】.【變式演練7】已知：和是方程的兩個(gè)實(shí)根，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立；：不等式有解，若為真，為假，求的取值范圍．【答案】【解析】試題分析：由韋達(dá)定理可得，則當(dāng)時(shí)，，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立即，可得或；不等式有解的充要條件為，則由為真，為假可得的取值范圍．試題解析：∵，是方程的兩個(gè)實(shí)根，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，，由不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，可得，∴或，①若不等式有解，則當(dāng)時(shí)，顯然有解，當(dāng)時(shí)，有解，當(dāng)時(shí)，∵有解，∴，∴，∴不等式有解時(shí)，∴假時(shí)的范圍為，②由①②可得的取值范圍為．考點(diǎn)：命題真假性的應(yīng)用【高考再現(xiàn)】1.【2023高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）已知函數(shù)QUOTESKIPIF1<0有兩個(gè)零點(diǎn).(I)求a的取值范圍；(II)設(shè)x1,x2是SKIPIF1<0QUOTE的兩個(gè)零點(diǎn),證明：SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0存在兩個(gè)零點(diǎn)．（iii）設(shè)SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增．又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減,在SKIPIF1<0單調(diào)遞增．又當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上,SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.【2023高考山東理數(shù)】(本小題滿分13分)已知SKIPIF1<0.（=1\*ROMANI）討論SKIPIF1<0的單調(diào)性；（=2\*ROMANII）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，證明SKIPIF1<0對(duì)于任意的SKIPIF1<0成立.【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解析】試題分析：（Ⅰ）求SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)a進(jìn)行分類討論，求SKIPIF1<0的單調(diào)性；（Ⅱ）要證SKIPIF1<0對(duì)于任意的SKIPIF1<0成立，即證SKIPIF1<0，根據(jù)單調(diào)性求解.試題解析：（Ⅰ）SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0；SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.（3）SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞增.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0SKIPIF1<0單調(diào)遞減，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0上存在SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由于SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0取得等號(hào)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0對(duì)于任意的SKIPIF1<0恒成立?？键c(diǎn)：1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值；2.分類討論思想.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準(zhǔn)確求導(dǎo)數(shù)是基礎(chǔ)，恰當(dāng)分類討論是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論不全面、不徹底、不恰當(dāng)，或因復(fù)雜式子變形能力差，而錯(cuò)漏百出.本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、基本計(jì)算能力、分類討論思想等.3.【2023高考江蘇卷】（本小題滿分16分）已知函數(shù)SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0.（1）求方程SKIPIF1<0的根;（2）若對(duì)任意SKIPIF1<0,不等式SKIPIF1<0恒成立，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值；（3）若SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0有且只有1個(gè)零點(diǎn)，求SKIPIF1<0的值。【答案】（1）①0②4（2）1【解析】試題解析：（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.①方程SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，亦即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.②由條件知SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0對(duì)于SKIPIF1<0恒成立.而SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的最大值為4.于是當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.因而函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是單調(diào)減函數(shù)，在SKIPIF1<0上是單調(diào)增函數(shù).下證SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且函數(shù)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷，所以在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間存在SKIPIF1<0的零點(diǎn)，記為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與“0是函數(shù)SKIPIF1<0的唯一零點(diǎn)”矛盾.若SKIPIF1<0，同理可得，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0之間存在SKIPIF1<0的非0的零點(diǎn)，矛盾.因此，SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)【名師點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4.【2023高考浙江理數(shù)】（本小題15分）已知SKIPIF1<0，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}=SKIPIF1<0（I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在區(qū)間0,6]上的最大值M（a）.【答案】（I）SKIPIF1<0；（II）（i）SKIPIF1<0；（ii）SKIPIF1<0．【解析】試題解析：（I）由于SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．所以，使得等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．（II）（i）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，由SKIPIF1<0的定義知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性與最值；2、分段函數(shù)；3、不等式．【思路點(diǎn)睛】（I）根據(jù)SKIPIF1<0的取值范圍化簡(jiǎn)SKIPIF1<0，即可得使得等式SKIPIF1<0成立的SKIPIF1<0的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的最小值，再根據(jù)SKIPIF1<0的定義可得SKIPIF1<0；（ii）根據(jù)SKIPIF1<0的取值范圍求出SKIPIF1<0的最大值，進(jìn)而可得SKIPIF1<0．6.【2023年高考四川理數(shù)】（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）確定a的所有可能取值，使得SKIPIF1<0在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)恒成立(e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).【答案】（Ⅰ）當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0>0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增；（Ⅱ）SKIPIF1<0.【解析】試題解析：（I）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)單調(diào)遞減.SKIPIF1<0由SKIPIF1<0=0，有SKIPIF1<0.此時(shí)，當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0>0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增.故當(dāng)SKIPIF1<0>SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)恒成立時(shí)，必有SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0>1.由（I）有SKIPIF1<0,從而SKIPIF1<0，所以此時(shí)SKIPIF1<0>SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)不恒成立.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增.又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒成立.綜上，SKIPIF1<0．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值、解決恒成立問題，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力．求函數(shù)的單調(diào)性，基本方法是求SKIPIF1<0，解方程SKIPIF1<0，再通過SKIPIF1<0的正負(fù)確定SKIPIF1<0的單調(diào)性；要證明函數(shù)不等式SKIPIF1<0，一般證明SKIPIF1<0的最小值大于0，為此要研究函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性．本題中注意由于函數(shù)SKIPIF1<0有極小值沒法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍．比較新穎，學(xué)生不易想到．有一定的難度．7.【2023高考福建，文12】“對(duì)任意，”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】本題以充分條件和必要條件為載體考查三角函數(shù)和導(dǎo)數(shù)在單調(diào)性上的應(yīng)用，根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而研究其圖象與性質(zhì)，是函數(shù)思想的體現(xiàn)，屬于難題．8.【2023高考福建，文22】已知函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）確定實(shí)數(shù)的所有可能取值，使得存在，當(dāng)時(shí)，恒有．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）．（III）由（II）知，當(dāng)時(shí)，不存在滿足題意．當(dāng)時(shí)，對(duì)于，有，則，從而不存在滿足題意．當(dāng)時(shí)，令，，則有．由得，．【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)判斷或求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過不等式或求解，但是要兼顧定義域；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在2023年全國Ⅰ卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)．9.【2023高考山東，文20】設(shè)函數(shù).已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）是否存在自然數(shù)，使得方程QUOTE在內(nèi)存在唯一的根？如果存在，求出；如果不存在，請(qǐng)說明理由；（Ⅲ）設(shè)函數(shù)QUOTE（表示，中的較小值），求的最大值.【答案】（I）；(II)；(III).【解析】當(dāng)時(shí)，.又所以存在，使.因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以時(shí)，方程在內(nèi)存在唯一的根.【考點(diǎn)定位】1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值；3.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理.【名師點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等，解答本題的主要困難是（II）(III)兩小題，首先是通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，作出判斷，并進(jìn)一步證明函數(shù)在給定區(qū)間的單調(diào)性，明確方程在內(nèi)存在唯一的根.其次是根據(jù)（II）的結(jié)論，確定得到的表達(dá)式，并進(jìn)一步利用分類討論思想，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值.本題是一道能力題，屬于難題.在考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，考查考生的計(jì)算能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題解決問題的能力及分類討論思想.本題是教輔材料的常見題型，有利于優(yōu)生正常發(fā)揮.10.【2023高考四川，文21】已知函數(shù)f(x)＝－2lnx＋x2－2ax＋a2，其中a>0.(Ⅰ)設(shè)g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(Ⅱ)證明：存在a∈(0，1)，使得f(x)≥0恒成立，且f(x)＝0在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)有唯一解.【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用、函數(shù)的零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.【名師點(diǎn)睛】本題第(Ⅰ)問隱藏二階導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)，由于連續(xù)兩次求導(dǎo)后，參數(shù)a消失，故函數(shù)的單調(diào)性是確定的，討論也相對(duì)簡(jiǎn)單.第(Ⅱ)問需要證明的是：對(duì)于某個(gè)a∈(0，1)，f(x)的最小值恰好是0，而且在(1，＋∞)上只有一個(gè)最小值.因此，本題仍然要先討論f(x)的單調(diào)性，進(jìn)一步說明對(duì)于找到的a，f(x)在(1，＋∞)上有且只有一個(gè)等于0的點(diǎn)，也就是在(1，＋∞)上有且只有一個(gè)最小值點(diǎn).屬于難題.11.【2023高考天津，文20】（本小題滿分14分）已知函數(shù)（=1\*ROMANI）求的單調(diào)區(qū)間;（=2\*ROMANII）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為P,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有;（=3\*ROMANIII）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且,求證:.【答案】（=1\*ROMANI）的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是;（=2\*ROMANII）見試題解析;（=3\*ROMANIII）見試題解析.試題解析:（=1\*ROMANI）由,可得,當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng),即時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,單調(diào)遞減區(qū)間是.（=2\*ROMANII）設(shè),則,曲線在點(diǎn)P處的切線方程為,即,令即則.【考點(diǎn)定位】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.考查函數(shù)思想、化歸思想及綜合分析問題解決問題的能力【名師點(diǎn)睛】給出可導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間,實(shí)質(zhì)是解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,若函數(shù)解析式中不含參數(shù),一般比較容易.不過要注意求單調(diào)區(qū)間,要注意定義域優(yōu)先原則,且結(jié)果必須寫成區(qū)間形式,不能寫成不等式形式;利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近幾年高考的一個(gè)熱點(diǎn),解決此類問題的基本思路是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值破解.12.【2023高考四川，文15】已知函數(shù)f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝，n＝，現(xiàn)有如下命題：①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；③對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；④對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.其中真命題有___________________(寫出所有真命題的序號(hào)).【答案】①④【解析】對(duì)于①，因?yàn)閒'(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正確【考點(diǎn)定位】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查函數(shù)與方程的思想和數(shù)形結(jié)合的思想，考查分析問題和解決能提的能力.【名師點(diǎn)睛】本題首先要正確認(rèn)識(shí)m，n的幾何意義，它們分別是兩個(gè)函數(shù)圖象的某條弦的斜率，因此，借助導(dǎo)數(shù)研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的切線變化規(guī)律是本題的常規(guī)方法，解析中要注意“任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2”與切線斜率的關(guān)系與差別，以及“都有”與“存在”的區(qū)別，避免過失性失誤.屬于較難題.13.【2023高考新課標(biāo)1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（）(A)-，1）(B)-QUOTE，QUOTE）(C)QUOTE，QUOTE）(D)QUOTE，1）【答案】D【解析】設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，所以當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D.【考點(diǎn)定位】本題主要通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題【名師點(diǎn)睛】對(duì)存在性問題有三種思路，思路1：參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)小于某個(gè)函數(shù)（或參數(shù)大于某個(gè)函數(shù)），則參數(shù)該于該函數(shù)的最大值（大于該函數(shù)的最小值）；思路2：數(shù)形結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)，再畫出該函數(shù)的草圖，結(jié)合圖像確定參數(shù)范圍，若原函數(shù)圖像不易做，?；癁橐粋€(gè)函數(shù)存在一點(diǎn)在另一個(gè)函數(shù)上方，用圖像解；思路3：分類討論，本題用的就是思路2.14.【2023高考新課標(biāo)2，理21】（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；（Ⅱ）若對(duì)于任意，都有，求的取值范圍．【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）．．故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．又，，故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，，即①式成立．當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，，即；當(dāng)時(shí)，，即．綜上，的取值范圍是．【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】(Ⅰ)先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的范圍討論導(dǎo)函數(shù)在和的符號(hào)即可；（Ⅱ）恒成立，等價(jià)于．由是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值為，最大值可能是或，故只需，從而得關(guān)于的不等式，因不易解出，故利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和符號(hào)，從而得解．15.【2023高考福建，理20】已知函數(shù)，(Ⅰ)證明：當(dāng)；(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)(Ⅲ)確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有．【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳見解析；(Ⅲ)．當(dāng)時(shí)，令得．取對(duì)任意恒有,所以在上單調(diào)遞增,,即.綜上，當(dāng)時(shí)，總存在,使得對(duì)任意的恒有．綜上，.【考點(diǎn)定位】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【名師點(diǎn)睛】在解函數(shù)的綜合應(yīng)用問題時(shí),我們常常借助導(dǎo)數(shù),將題中千變?nèi)f化的隱藏信息進(jìn)行轉(zhuǎn)化，探究這類問題的根本，從本質(zhì)入手,進(jìn)而求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再用單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或最值，從而證得不等式，注意與不等價(jià)，只是的特例，但是也可以利用它來證明，在2023年全國Ⅰ卷理科高考21題中，就是使用該種方法證明不等式；導(dǎo)數(shù)的強(qiáng)大功能就是通過研究函數(shù)極值、最值、單調(diào)區(qū)間來判斷函數(shù)大致圖象，這是利用研究基本初等函數(shù)方法所不具備的，而是其延續(xù)．【反饋練習(xí)】1．【2023屆福建連城縣朋口中學(xué)高三上期中數(shù)學(xué)試卷，理9】若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)，都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】C【解析】考點(diǎn)：不等式恒成立問題.2.【2023屆福建連城縣一中高三上期中數(shù)學(xué)試卷，理12】若函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：顯然，令，分離參數(shù)得.令，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，畫出圖象如下圖所示，由圖可知，要存在唯一零點(diǎn)，則需.考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)與零點(diǎn).3.【2023-2023學(xué)年河南鄭州七校聯(lián)考高二上期中考試數(shù)卷，文8】若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C.D．【答案】A【解析】考點(diǎn)：基本不等式的應(yīng)用；不等式的恒成立問題.4.【2023-2023學(xué)年河南鄭州一中高二上期中考試?yán)頂?shù)試卷，理12】若對(duì)于任意的,關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為（）A．B．C.D．【答案】A【解析】試題分析：設(shè)，根據(jù)已知條件知：，該不等式表示的平面區(qū)域如圖所示，設(shè)，所以，所以該方程表示以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，原點(diǎn)到直線的距離為，所以該圓的半徑，解得，故選A.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃求最值.5.【2023屆河北武邑中學(xué)高三上期中數(shù)學(xué)試卷，文20】已知．（1）若在上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，在上恒成立．【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解；（2）借助題設(shè)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)分析推證．（2）時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴存在，使得在上，在上，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減故在上，，所以在上恒成立考點(diǎn)：不等式的推證方法及導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用．6.【2023-2023學(xué)年黑吉兩省八校高二上期中數(shù)學(xué)試卷，文21】設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)恒成立，求的取值范圍；（3）求整數(shù)的值，使函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】試題解析：（1），∴，∴所求切線方程為，即（2）∵，對(duì)恒成立，∴，設(shè)，令，得，令得，∴在上遞減，在上遞增，∴，∴（3）令得，當(dāng)時(shí)，，∴的零點(diǎn)在上，令得或，∴在上遞增，又在上遞減，∴方程僅有一解，且，∵，∴由零點(diǎn)存在的條件可得，∴.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問題．7.【2023屆湖北荊荊襄宜四地七校聯(lián)盟高三文上聯(lián)考一數(shù)學(xué)試卷，文21】已知函數(shù)，其中.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）．【解析】試題解析：（1）由，所以又，所以所以切線方程為切線方程為：（2）令因?yàn)?，所以在，遞增，在遞減要使對(duì)，不等式恒成立，即當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在遞增，在遞減所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在遞增，在遞減，在遞增考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義，不等式恒成立，導(dǎo)數(shù)與最值．8.【2023屆山西右玉一中高三上期中數(shù)學(xué)（理）試卷，理21】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），，．（1）求曲線在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的極小值；（3）若對(duì)任意的，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）求出在處的導(dǎo)數(shù)即得切線的斜率；求出切點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)斜式方程求得切線方程；（2）討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域的關(guān)系得到其單調(diào)性，找出極小值點(diǎn)，求得極小值；（3）對(duì)任意的，總存在，使得成立，等價(jià)于在上的最小值大于在上的最小值，分別求出的最小值和的最小值，得到的范圍.（2），，又的定義域，∴當(dāng)時(shí)，令，或，令，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單