一階電路和二階電路的時(shí)域分析

第一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日一階和二階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念及求解；重點(diǎn)4.一階和二階電路的階躍響應(yīng)概念及求解。1.動(dòng)態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；返回3.直流一階電路的三要素法求解；第二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日含有動(dòng)態(tài)元件電容和電感的電路稱(chēng)動(dòng)態(tài)電路。1.動(dòng)態(tài)電路

7.1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件當(dāng)動(dòng)態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)（換路）需要經(jīng)歷一個(gè)變化過(guò)程才能達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個(gè)變化過(guò)程稱(chēng)為電路的過(guò)渡過(guò)程。下頁(yè)上頁(yè)特點(diǎn)返回第三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例0ti過(guò)渡期為零電阻電路下頁(yè)上頁(yè)+-usR1R2（t=0）i返回第四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日i=0,uC=Usi=0,uC=0k接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電容充電完畢，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)：k未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電容電路下頁(yè)上頁(yè)k+–uCUsRCi

(t=0)+-

(t→)+–uCUsRCi+-前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuct0?i有一過(guò)渡期返回第五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uL=0,i=Us/Ri=0,uL=0k接通電源后很長(zhǎng)時(shí)間，電路達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路：k未動(dòng)作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)：電感電路下頁(yè)上頁(yè)k+–uLUsRi

(t=0)+-L

(t→)+–uLUsRi+-前一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過(guò)渡期返回第六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日過(guò)渡過(guò)程產(chǎn)生的原因電路內(nèi)部含有儲(chǔ)能元件L、C，電路在換路時(shí)能量發(fā)生變化，而能量的儲(chǔ)存和釋放都需要一定的時(shí)間來(lái)完成。電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開(kāi)電路參數(shù)變化下頁(yè)上頁(yè)返回第七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用KVL和電容的VCR得：若以電流為變量：2.動(dòng)態(tài)電路的方程下頁(yè)上頁(yè)

(t>0)+–uCUsRCi+-例RC電路返回第八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用KVL和電感的VCR得：若以電感電壓為變量：下頁(yè)上頁(yè)

(t>0)+–uLUsRi+-RL電路返回第九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日有源電阻電路一個(gè)動(dòng)態(tài)元件一階電路下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件電容或電感的線(xiàn)性電路，其電路方程為一階線(xiàn)性常微分方程，稱(chēng)一階電路。返回第十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日二階電路下頁(yè)上頁(yè)

(t>0)+–uLUsRi+-CuC＋－RLC電路應(yīng)用KVL和元件的VCR得：含有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件的線(xiàn)性電路，其電路方程為二階線(xiàn)性常微分方程，稱(chēng)二階電路。返回第十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日一階電路一階電路中只有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是一階線(xiàn)性微分方程。描述動(dòng)態(tài)電路的電路方程為微分方程；動(dòng)態(tài)電路方程的階數(shù)通常等于電路中動(dòng)態(tài)元件的個(gè)數(shù)。二階電路二階電路中有二個(gè)動(dòng)態(tài)元件,描述電路的方程是二階線(xiàn)性微分方程。下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回第十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日高階電路電路中有多個(gè)動(dòng)態(tài)元件，描述電路的方程是高階微分方程。動(dòng)態(tài)電路的分析方法根據(jù)KVL、KCL和VCR建立微分方程；下頁(yè)上頁(yè)返回第十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日復(fù)頻域分析法時(shí)域分析法求解微分方程經(jīng)典法狀態(tài)變量法數(shù)值法卷積積分拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法付氏變換本章采用工程中高階微分方程應(yīng)用計(jì)算機(jī)輔助分析求解。下頁(yè)上頁(yè)返回第十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日穩(wěn)態(tài)分析和動(dòng)態(tài)分析的區(qū)別穩(wěn)態(tài)動(dòng)態(tài)換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間后狀態(tài)微分方程的特解恒定或周期性激勵(lì)換路發(fā)生后的整個(gè)過(guò)程微分方程的通解任意激勵(lì)下頁(yè)上頁(yè)直流時(shí)返回第十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日

t=0＋與t=0－的概念認(rèn)為換路在t=0時(shí)刻進(jìn)行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時(shí)u，i

及其各階導(dǎo)數(shù)的值。下頁(yè)上頁(yè)注意0f(t)0－0＋t返回第十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D示為電容放電電路，電容原先帶有電壓Uo,求開(kāi)關(guān)閉合后電容電壓隨時(shí)間的變化。例解特征根方程：通解：代入初始條件得：在動(dòng)態(tài)電路分析中，初始條件是得到確定解答的必需條件。下頁(yè)上頁(yè)明確R－+CiuC(t=0)返回第十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t=0+

時(shí)刻iucC+-電容的初始條件0下頁(yè)上頁(yè)當(dāng)i()為有限值時(shí)返回第十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日q

(0+)=q

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。q

=CuC電荷守恒下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回第十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日電感的初始條件t=0+時(shí)刻0下頁(yè)上頁(yè)當(dāng)u為有限值時(shí)iLuL+-返回第二十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日L

(0＋)=L

(0－)iL(0＋)=iL(0－)磁鏈?zhǔn)睾銚Q路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。下頁(yè)上頁(yè)結(jié)論返回第二十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日L

(0+)=L

(0－)iL(0+)=iL(0－)qc(0+)=qc

(0－)uC

(0+)=uC

(0－)換路定律電容電流和電感電壓為有限值是換路定律成立的條件。換路瞬間，若電感電壓保持為有限值，則電感電流（磁鏈）換路前后保持不變。換路瞬間，若電容電流保持為有限值，則電容電壓（電荷）換路前后保持不變。換路定律反映了能量不能躍變。下頁(yè)上頁(yè)注意返回第二十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日電路初始值的確定(2)由換路定律uC

(0+)=uC

(0－)=8V(1)

由0－電路求

uC(0－)uC(0－)=8V(3)

由0+等效電路求

iC(0+)iC(0－)=0iC(0+)例1求

iC(0+)電容開(kāi)路下頁(yè)上頁(yè)+-10ViiC+uC-S10k40k+-10V+uC-10k40k+8V-0+等效電路+-10ViiC10k電容用電壓源替代注意返回第二十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日iL(0+)=iL(0－)=2A例2t=0時(shí)閉合開(kāi)關(guān)k,求

uL(0+)先求應(yīng)用換路定律:電感用電流源替代解電感短路下頁(yè)上頁(yè)iL+uL-L10VS14+-iL10V14+-由0+等效電路求

uL(0+)2A+uL-10V14+-注意返回第二十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日求初始值的步驟:1.由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0－)和iL(0－)；2.由換路定律得uC(0+)

和iL(0+)。3.畫(huà)0+等效電路。4.由0+電路求所需各變量的0+值。b.電容（電感）用電壓源（電流源）替代。a.換路后的電路（取0+時(shí)刻值，方向與原假定的電容電壓、電感電流方向相同）。下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回第二十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日iL(0+)=iL(0－)=iSuC(0+)=uC(0－)=RiSuL(0+)=-RiS求iC(0+),uL(0+)例3解由0－電路得：下頁(yè)上頁(yè)由0+電路得：S(t=0)+–uLiLC+–uCLRiSiCRiS0－電路uL+–iCRiSRiS+–返回第二十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例4求k閉合瞬間各支路電流和電感電壓解下頁(yè)上頁(yè)由0－電路得：由0+電路得：iL+uL-LS2+-48V32CiL2+-48V32+－uC返回12A24V+-48V32+-iiC+-uL第二十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日求k閉合瞬間流過(guò)它的電流值解確定0－值給出0＋等效電路下頁(yè)上頁(yè)例5iL+20V-10+uC1010－iL+20V-LS10+uC1010C－返回1A10V+uL－iC+20V-10+1010－第二十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.2一階電路的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵(lì)為零，僅由動(dòng)態(tài)元件初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應(yīng)已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)iS(t=0)+–uRC+–uCR返回第二十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日特征根特征方程RCp+1=0則下頁(yè)上頁(yè)代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0iS(t=0)+–uRC+–uCR返回第三十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)或返回第三十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日tU0uC0I0ti0令

=RC,稱(chēng)為一階電路的時(shí)間常數(shù)電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變響應(yīng)與初始狀態(tài)成線(xiàn)性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān);下頁(yè)上頁(yè)表明返回第三十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日時(shí)間常數(shù)的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短

=RC

大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時(shí)間長(zhǎng)U0tuc0小大C

大（R一定）

W=Cu2/2

儲(chǔ)能大物理含義下頁(yè)上頁(yè)返回第三十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日a.:電容電壓衰減到原來(lái)電壓36.8%所需的時(shí)間。工程上認(rèn)為,經(jīng)過(guò)3－5

,

過(guò)渡過(guò)程結(jié)束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t02

3

5U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下頁(yè)上頁(yè)注意返回第三十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日＝

t2－t1

t1時(shí)刻曲線(xiàn)的斜率等于U0tuc0t1t2次切距的長(zhǎng)度下頁(yè)上頁(yè)返回b.

時(shí)間常數(shù)的幾何意義：第三十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日能量關(guān)系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設(shè)

uC(0+)=U0電容放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁(yè)上頁(yè)uCR+－C返回第三十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時(shí)間變化的規(guī)律。解這是一個(gè)求一階RC零輸入響應(yīng)問(wèn)題，有：+uC45F－i1t>0等效電路下頁(yè)上頁(yè)i3S3+uC265F－i2i1返回第三十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日+uC45F－i1分流得：下頁(yè)上頁(yè)i3S3+uC265F－i2i1返回第三十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2.

RL電路的零輸入響應(yīng)特征方程

Lp+R=0特征根代入初始值A(chǔ)=iL(0+)=I0t>0下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回第三十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日tI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；下頁(yè)上頁(yè)表明-RI0uLt0iL+–uLR返回第四十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日響應(yīng)與初始狀態(tài)成線(xiàn)性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān);下頁(yè)上頁(yè)令

稱(chēng)為一階RL電路時(shí)間常數(shù)

=L/R時(shí)間常數(shù)

的大小反映了電路過(guò)渡過(guò)程時(shí)間的長(zhǎng)短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過(guò)程消耗能量小放電慢，

大大→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)小→過(guò)渡過(guò)程時(shí)間短物理含義電流初值iL(0)一定：返回第四十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日能量關(guān)系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設(shè)

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁(yè)上頁(yè)iL+–uLR返回第四十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例t=0時(shí),開(kāi)關(guān)S由1→2，求電感電壓和電流及開(kāi)關(guān)兩端電壓u12。解下頁(yè)上頁(yè)i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212返回第四十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)i+–uL66Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3446+－uL212返回第四十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回第四十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱(chēng)為零輸入線(xiàn)性。衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)

=RC

=L/RR為與動(dòng)態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路返回第四十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日動(dòng)態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵(lì)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)。方程：7.3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)非齊次方程特解齊次方程通解下頁(yè)上頁(yè)iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線(xiàn)性常微分方程返回第四十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日與輸入激勵(lì)的變化規(guī)律有關(guān)，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結(jié)構(gòu)決定的通解通解（自由分量，暫態(tài)分量）特解（強(qiáng)制分量）的特解下頁(yè)上頁(yè)返回第四十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日全解uC(0+)=A+US=0

A=－US由初始條件uC(0+)=0

定積分常數(shù)

A下頁(yè)上頁(yè)從以上式子可以得出：返回第四十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時(shí)間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構(gòu)成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強(qiáng)制分量）暫態(tài)分量（自由分量）下頁(yè)上頁(yè)表明+返回第五十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日響應(yīng)變化的快慢，由時(shí)間常數(shù)＝RC決定；大，充電慢，小充電就快。響應(yīng)與外加激勵(lì)成線(xiàn)性關(guān)系；能量關(guān)系電容儲(chǔ)存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存在電容中。下頁(yè)上頁(yè)表明RC+-US返回第五十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例t=0時(shí),開(kāi)關(guān)S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容電壓和電流,(2)uC＝80V時(shí)的充電時(shí)間t。解(1)這是一個(gè)RC電路零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，有：(2)設(shè)經(jīng)過(guò)t1秒，uC＝80V下頁(yè)上頁(yè)50010F+-100VS+－uCi返回第五十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回第五十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uLUSt0下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回第五十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例1t=0時(shí),開(kāi)關(guān)S打開(kāi)，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，先化簡(jiǎn)電路，有：t>0下頁(yè)上頁(yè)返回iLS+–uL2HR8010A200300iL+–uL2H10AReq第五十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例2t=0開(kāi)關(guān)k打開(kāi)，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應(yīng)問(wèn)題，先化簡(jiǎn)電路，有：下頁(yè)上頁(yè)iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H102A105+–u第五十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.4一階電路的全響應(yīng)電路的初始狀態(tài)不為零，同時(shí)又有外加激勵(lì)源作用時(shí)電路中產(chǎn)生的響應(yīng)。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應(yīng)全響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解=RC返回第五十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下頁(yè)上頁(yè)強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)返回第五十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2.全響應(yīng)的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應(yīng)

=

強(qiáng)制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰下頁(yè)上頁(yè)返回第五十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日全響應(yīng)=

零狀態(tài)響應(yīng)

+

零輸入響應(yīng)著眼于因果關(guān)系便于疊加計(jì)算下頁(yè)上頁(yè)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC(0－)=0返回第六十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)tuc0US零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)U0下頁(yè)上頁(yè)返回第六十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例1t=0

時(shí),開(kāi)關(guān)k打開(kāi)，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應(yīng)問(wèn)題，有：零輸入響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)：下頁(yè)上頁(yè)iLS(t=0)+–24V0.6H4+－uL8返回第六十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應(yīng)：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時(shí),開(kāi)關(guān)K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應(yīng)問(wèn)題，有：下頁(yè)上頁(yè)穩(wěn)態(tài)分量：返回+–10V1A1+－uC1+－u1第六十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)全響應(yīng)：返回+–10V1A1+－uC1+－u1第六十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日3.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學(xué)模型是一階線(xiàn)性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：下頁(yè)上頁(yè)特解返回第六十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日分析一階電路問(wèn)題轉(zhuǎn)為求解電路的三個(gè)要素的問(wèn)題。用0+等效電路求解用t→的穩(wěn)態(tài)電路求解下頁(yè)上頁(yè)直流激勵(lì)時(shí)：A注意返回第六十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例1已知：t=0

時(shí)合開(kāi)關(guān)，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下頁(yè)上頁(yè)1A213F+-uC返回第六十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例2t=0時(shí),開(kāi)關(guān)閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：下頁(yè)上頁(yè)iL+–20V0.5H55+–10Vi2i1三要素公式返回第六十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日三要素為：下頁(yè)上頁(yè)0＋等效電路返回+–20V2A55+–10Vi2i1第六十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例3已知：t=0時(shí)開(kāi)關(guān)由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：下頁(yè)上頁(yè)4+－4i12i1u+－2A410.1F+uC－+－4i12i18V+－12返回第七十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)例4已知：t=0時(shí)開(kāi)關(guān)閉合，求換路后的電流i(t)

。+–1H0.25F52S10Vi解三要素為：返回第七十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)+–1H0.25F52S10Vi返回第七十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日已知：電感無(wú)初始儲(chǔ)能t=0

時(shí)合S1

,t=0.2s時(shí)合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解下頁(yè)上頁(yè)例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-返回第七十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t>0.2s下頁(yè)上頁(yè)i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)32-返回第七十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日(0<t

0.2s)(t

0.2s)下頁(yè)上頁(yè)it(s)0.25(A)1.2620返回第七十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.5二階電路的零輸入響應(yīng)uC(0+)=U0i(0+)=0已知：1.二階電路的零輸入響應(yīng)以電容電壓為變量：電路方程：以電感電流為變量：下頁(yè)上頁(yè)RLC+-iuc返回第七十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日特征方程：電路方程：以電容電壓為變量時(shí)的初始條件：uC(0+)=U0i(0+)=0以電感電流為變量時(shí)的初始條件：i(0+)=0uC(0+)=U0下頁(yè)上頁(yè)返回第七十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2.零狀態(tài)響應(yīng)的三種情況過(guò)阻尼臨界阻尼欠阻尼特征根：下頁(yè)上頁(yè)返回第七十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)返回第七十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日U0tuc設(shè)|P2|>|P1|下頁(yè)上頁(yè)0電容電壓返回第八十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t=0+

ic=0,t=ic=0ic>0t=tm

時(shí)ic

最大tmic下頁(yè)上頁(yè)tU0uc0電容和電感電流返回第八十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日U0uctm2tmuLic0<t<tm，i增加,uL>0，t>tmi減小,uL

<0t=2tm時(shí)

uL

最大下頁(yè)上頁(yè)RLC+-t0電感電壓返回第八十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日iC=i為極值時(shí)，即uL=0時(shí)的

tm

計(jì)算如下:由duL/dt可確定uL為極小時(shí)的

t.下頁(yè)上頁(yè)返回第八十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日能量轉(zhuǎn)換關(guān)系0<t<tm

uC

減小，i

增加。t>tmuC減小，i

減小.下頁(yè)上頁(yè)RLC+-RLC+-tU0uCtm2tmuLiC0返回第八十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uc

的解答形式：經(jīng)常寫(xiě)為：下頁(yè)上頁(yè)共軛復(fù)根返回第八十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日δωω0下頁(yè)上頁(yè)ω，ω０，δ的關(guān)系返回第八十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t=0時(shí)

uc=U0uC=0：t=-，2-...n-t-2-20U0uC下頁(yè)上頁(yè)返回第八十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t-2-20U0uCiC

uL=0：t=，+，2+...n+ic=0：t=0，，2...n，為

uc極值點(diǎn)，ic的極值點(diǎn)為uL零點(diǎn)。下頁(yè)上頁(yè)返回第八十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日能量轉(zhuǎn)換關(guān)系：0<t<<t<--<t<t-2-20U0uciC下頁(yè)上頁(yè)RLC+-RLC+-RLC+-返回第八十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日特例：R=0時(shí)等幅振蕩t下頁(yè)上頁(yè)LC+-0返回第九十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)相等負(fù)實(shí)根返回第九十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)返回第九十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日定常數(shù)可推廣應(yīng)用于一般二階電路下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回第九十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日電路如圖，t=0時(shí)打開(kāi)開(kāi)關(guān)。求uC并畫(huà)出其變化曲線(xiàn)。解（1）

uC(0－)=25V

iL(0－)=5A特征方程為：

50P2+2500P+106=0例1（2）開(kāi)關(guān)打開(kāi)為RLC串聯(lián)電路，方程為：下頁(yè)上頁(yè)5Ω100F20Ω10Ω10Ω0.5H50V+-+-iLuC返回第九十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日(3)

t0uC35625下頁(yè)上頁(yè)返回第九十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.6二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)uC(0－)=0,iL(0－)=0微分方程為：通解特解特解:

特征方程為:下頁(yè)上頁(yè)RLC+-uCiLUS(t)+-例1.二階電路的零狀態(tài)響應(yīng)返回第九十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uC解答形式為：下頁(yè)上頁(yè)tuCUS0返回第九十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日求電流i的零狀態(tài)響應(yīng)。

i1=i－0.5u1=i

－0.5(2－i)2=2i－2由KVL：整理得：首先寫(xiě)微分方程解下頁(yè)上頁(yè)2-ii1例二階非齊次常微分方程返回+u1-0.5u12W1/6F1HS2W2W2Ai第九十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日特征根為：

P1=－2，P2=－6解答形式為：第三步求特解i'由穩(wěn)態(tài)模型有：i'=0.5u1u1=2(2－0.5u1)i'=1Au1=2下頁(yè)上頁(yè)第二步求通解返回穩(wěn)態(tài)模型+u1-2i2A0.5u12第九十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日第四步定常數(shù)由0+電路模型：下頁(yè)上頁(yè)返回+u1-0.5u12W1/6F1Hk2W2W2Ai+u1-0.5u12W2W+2A-uL(0+)第一百頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2.二階電路的全響應(yīng)已知：iL(0-)=2AuC(0-)=0求：iL,

iR(1)

列微分方程(2)求特解解下頁(yè)上頁(yè)RiR-50V50100F0.5H+iLiC例應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法：返回第一百零一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日(3)求通解特征根為：

P=-100j100(4)定常數(shù)特征方程為：下頁(yè)上頁(yè)返回第一百零二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日(5)求iR或設(shè)解答形式為：定常數(shù)下頁(yè)上頁(yè)RiR-50V50100F0.5H+iLiCRiR-50V50+iC2A返回第一百零三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)返回第一百零四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日二階電路含二個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元件，是用二階常微分方程所描述的電路。二階電路的性質(zhì)取決于特征根，特征根取決于電路結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與激勵(lì)和初值無(wú)關(guān)。下頁(yè)上頁(yè)小結(jié)返回第一百零五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日求二階電路全響應(yīng)的步驟(a)列寫(xiě)t>0+電路的微分方程(b)求通解(c)求特解(d)全響應(yīng)=強(qiáng)制分量+自由分量上頁(yè)返回上頁(yè)第一百零六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.7一階電路和二階電路的階躍響應(yīng)1.單位階躍函數(shù)定義t(t)01單位階躍函數(shù)的延遲t(t-t0)t001下頁(yè)上頁(yè)返回第一百零七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t=0合閘

i(t)=Is在電路中模擬開(kāi)關(guān)的動(dòng)作t=0合閘

u(t)=E單位階躍函數(shù)的作用下頁(yè)上頁(yè)SUSu(t)u(t)返回Isku(t)第一百零八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日起始一個(gè)函數(shù)tf(t)0t0延遲一個(gè)函數(shù)下頁(yè)上頁(yè)tf(t)0t0返回第一百零九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日用單位階躍函數(shù)表示復(fù)雜的信號(hào)例1(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-(t-t0)例21t1

f(t)0243下頁(yè)上頁(yè)返回第一百一十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例41t1

f(t)0例31t1

f(t)0243下頁(yè)上頁(yè)返回第一百一十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例5t1

02已知電壓u(t)的波形如圖，試畫(huà)出下列電壓的波形。t1

u(t)0－22t1

0－11t

1

01

t1021下頁(yè)上頁(yè)返回第一百一十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日和的區(qū)別2.一階電路的階躍響應(yīng)激勵(lì)為單位階躍函數(shù)時(shí)，電路中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。階躍響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)iC+–uCRuC(0－)=0注意返回第一百一十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日t01it0i下頁(yè)上頁(yè)tuC10返回第一百一十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日tiC0激勵(lì)在t=t0

時(shí)加入，則響應(yīng)從t=t0開(kāi)始。t-t0(t-t0)-t不要寫(xiě)為：下頁(yè)上頁(yè)iC(t-t0)C+–uCRt0注意返回第一百一十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日求圖示電路中電流iC(t）例下頁(yè)上頁(yè)10k10kus+-ic100FuC(0－)=00.510t(s)us(V)05k0.5us+-ic100FuC(0－)=0等效返回第一百一十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用疊加定理下頁(yè)上頁(yè)5k+-ic100F5k+-ic100F5k+-ic100F階躍響應(yīng)為：返回第一百一十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日由齊次性和疊加性得實(shí)際響應(yīng)為：下頁(yè)上頁(yè)5k+-ic100F5k+-ic100F返回第一百一十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)分段表示為：返回第一百一十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日分段表示為：t(s)iC(mA)01-0.6320.5波形0.368下頁(yè)上頁(yè)返回第一百二十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日2.二階電路的階躍響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)對(duì)電路應(yīng)用KCL列結(jié)點(diǎn)電流方程有已知圖示電路中uC(0-)=0,iL(0-)=0，求單位階躍響應(yīng)iL(t）例解返回iS0.25H0.22FiRiLiC0.5iC第一百二十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)代入已知參數(shù)并整理得： 這是一個(gè)關(guān)于的二階線(xiàn)性非齊次方程，其解為特解特征方程通解解得特征根返回第一百二十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)代初始條件階躍響應(yīng)電路的動(dòng)態(tài)過(guò)程是過(guò)阻尼性質(zhì)的。返回第一百二十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.8*

一階電路和二階電路的沖激響應(yīng)1.單位沖激函數(shù)定義t(t)10單位脈沖函數(shù)的極限/21/tp(t)-/2下頁(yè)上頁(yè)返回第一百二十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日單位沖激函數(shù)的延遲t(t-t0)t00（1）單位沖激函數(shù)的性質(zhì)沖激函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分等于階躍函數(shù)下頁(yè)上頁(yè)返回第一百二十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日沖激函數(shù)的‘篩分性’

同理例t(t)10f(t)f(0)

f(t)在t0處連續(xù)f(0)(t)注意下頁(yè)上頁(yè)返回第一百二十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uc不是沖激函數(shù),否則KCL不成立分二個(gè)時(shí)間段考慮沖激響應(yīng)電容充電，方程為(1)

t

在

0－

→

0+間例12.一階電路的沖激響應(yīng)激勵(lì)為單位沖激函數(shù)時(shí)，電路中產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)。沖激響應(yīng)求單位沖激電流激勵(lì)下的RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。解注意下頁(yè)上頁(yè)返回uC(0－)=0iCR(t)C+-uC第一百二十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日電容中的沖激電流使電容電壓發(fā)生躍變。0結(jié)論(2)t>0+

為零輸入響應(yīng)（RC放電）iCRC+uC－下頁(yè)上頁(yè)返回第一百二十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uCt0iCt10下頁(yè)上頁(yè)返回第一百二十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例2求單位沖激電壓激勵(lì)下的RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。分二個(gè)時(shí)間段考慮沖激響應(yīng)解L+-iLR+-uLiL不是沖激函數(shù),否則KVL不成立。注意0下頁(yè)上頁(yè)返回(1)

t

在

0－

→

0+間方程為第一百三十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日電感上的沖激電壓使電感電流發(fā)生躍變。結(jié)論(2)t>0+

RL放電LiLR+-uL下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日iLt0uLt10下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日零狀態(tài)R(t)3.單位階躍響應(yīng)和單位沖激響應(yīng)關(guān)系單位階躍響應(yīng)單位沖激響應(yīng)h(t)s(t)單位沖激(t)單位階躍(t)激勵(lì)響應(yīng)下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日先求單位階躍響應(yīng)：求:is(t)為單位沖激時(shí)電路響應(yīng)uC(t)和iC(t).例解uC(0+)=0uC()=R

=RC

iC(0+)=1iC()=0再求單位沖激響應(yīng),令：下頁(yè)上頁(yè)返回令uC(0－)=0iCRiS(t)C+-uC第一百三十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日0下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日uCRt0iC1t0uCt0沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)iCt10下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日有限值有限值KVL方程為例4.二階電路的沖激響應(yīng)RLC+-+-uCiR

(t)求單位沖激電壓激勵(lì)下的RLC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。解t在0－至0＋間下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)t>0+為零輸入響應(yīng)返回第一百三十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)返回第一百三十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日7.9*

卷積積分1.卷積積分定義設(shè)函數(shù)

f1(t),f2(t)

t<0

均為零

性質(zhì)下頁(yè)上頁(yè)返回第一百四十頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日令

=t

-d

=-

d：0t:t0證明下頁(yè)上頁(yè)2.卷積積分的應(yīng)用激勵(lì)e(t)響應(yīng)r(t)線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)返回第一百四十一頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日將激勵(lì)e(t)近似看成一系列具有相同寬度的矩形脈沖的疊加，下頁(yè)上頁(yè)激勵(lì)e(t)響應(yīng)r(t)線(xiàn)性網(wǎng)絡(luò)零狀態(tài)若沖激響應(yīng)則物理解釋返回第一百四十二頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)

返回第一百四十三頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日下頁(yè)上頁(yè)若單位脈沖函數(shù)p(t)的零狀態(tài)響應(yīng)為

h

Δ(t)第1個(gè)矩形脈沖響應(yīng)第k個(gè)矩形脈沖響應(yīng)返回第一百四十四頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日

根據(jù)疊加定理，t

時(shí)刻觀察到的響應(yīng)應(yīng)為0~t時(shí)間內(nèi)所有激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng)的和下頁(yè)上頁(yè)返回第一百四十五頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日例1已知：R=500k,C=1F,uC(0)=0，求uC(t)下頁(yè)上頁(yè)先求電路的沖激響應(yīng)h(t)解uC()=0返回RCiS+–uC第一百四十六頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日再計(jì)算

時(shí)的響應(yīng)

uC(t)例2下頁(yè)上頁(yè)設(shè)例1中的，求uC(t)解返回第一百四十七頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日被積函數(shù)積分變量下頁(yè)上頁(yè)參變量f1()101f2(-)10由圖解過(guò)程確定積分上下限返回第一百四十八頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日101e-2(-)t01下頁(yè)上頁(yè)te-2(t-)移t’卷積返回第一百四十九頁(yè)，共一百六十五頁(yè)，2022年，8月28日1.網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)與狀態(tài)變量網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)指能和激勵(lì)一道唯一確定網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)時(shí)和未來(lái)行為的最少量的一組信息。狀態(tài)變量電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量X，

X=[x1,x2……xn]T，它們?cè)谌魏螘r(shí)刻的值組成了該時(shí)刻的狀態(tài)，如獨(dú)立的電容電壓（或電荷