四川省巴中市南江中學(xué)高2023屆2021-2022學(xué)年度高二上期12月月考數(shù)學(xué)試卷答案解析

參考答案與試題解析123456789101112ADDBDCABDCDB133．14.15,.±4．16①②③④．一．選擇題（共12小題）1．拋物線x2＝y(tǒng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)方程得出焦點(diǎn)在y軸正半軸上，p＝即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線x2＝y(tǒng)，∴焦點(diǎn)在y軸正半軸上，p＝，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的方程與幾何性質(zhì)，求解焦點(diǎn)坐標(biāo)，屬于容易題．2．已知橢圓一個(gè)焦點(diǎn)（2，0），離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（）A．B．C．D．【分析】利用橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，離心率，求解a，b，即可得到橢圓方程．【解答】解：橢圓一個(gè)焦點(diǎn)（2，0），離心率為，可得c＝2，a＝4，所以b＝2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓方程的求法，是基礎(chǔ)題．3．若橢圓上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F1的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)F2的距離為（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用橢圓方程求解a，結(jié)合橢圓的定義即可得出．【解答】解：橢圓，可得a＝3．橢圓上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F1的距離為2，則點(diǎn)A到焦點(diǎn)F2的距離為|PF2|，由橢圓的定義可得：2+|PF2|＝2×a＝6，解得|PF2|＝4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．雙曲線的焦點(diǎn)到C的漸近線的距離為（）A．B．C．5D．【分析】由雙曲線，可得：a2＝15，b2＝10，可得c＝＝5，漸近線方程為：y＝±x，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得焦點(diǎn)到C的漸近線的距離．【解答】解：由雙曲線，可得：a2＝15，b2＝10，∴c＝＝5，漸近線方程為：y＝±x，即x±3y＝0．焦點(diǎn)（±5，0）到C的漸近線的距離d＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為．過(guò)F1的直線L交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+＝1（a＞b＞0），由橢圓的離心率公式可得＝，又由△ABF2的周長(zhǎng)為16，分析可得a的值，解可得c的值，由橢圓的幾何性質(zhì)可得b的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+＝1（a＞b＞0），橢圓的離心率為，則有e＝＝，又由△ABF2的周長(zhǎng)為16，則有4a＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝16，即a＝4，又由e＝＝，即＝，解可得c＝2，則b2＝a2﹣c2＝42﹣（2）2＝4，則橢圓的方程為：+＝1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義與簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題時(shí)注意△ABF2的周長(zhǎng)即4a．6．已知橢圓x2+my2＝1（m＞0）的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m＝（）A．2B．3C．D．4【分析】將橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得a2，b2的值，再由長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，可得a2＝4b2，求出m的值．【解答】解：橢圓x2+my2＝1（m＞0）化為標(biāo)準(zhǔn)方程：x2+＝1，因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以a2＝，b2＝1，再由長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，可得a2＝4b2，即4＝，解得m＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．已知l，m是空間中兩條不同的直線，α，β是空間中兩個(gè)不同的平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若l⊥α，m∥l，m?β，則α⊥βB．若α∥β，l∥α，則l∥βC．若l⊥m，l⊥α，α∥β，則m∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β【分析】由直線與平面垂直的性質(zhì)、平面與平面垂直的判定判斷A；由平面與平面平行、直線與平面平行分析線面關(guān)系判斷B；由直線與平面垂直、平面與平面平行分析線面關(guān)系判斷C；由平面與平面垂直、直線與平面平行分析線面關(guān)系判斷D．【解答】解：若l⊥α，m∥l，則m⊥α，又m?β，則α⊥β，故A正確；若α∥β，l∥α，則l∥β或l?β，故B錯(cuò)誤；若l⊥α，α∥β，則l⊥β，又l⊥m，m∥β或m?β，故C錯(cuò)誤；若α⊥β，l∥α，則l?β或l∥β或l與β相交，相交也不一定垂直，故D錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題．8．已知橢圓x2+2y2＝4上一點(diǎn)P到其左焦點(diǎn)F的距離為1，則PF的中點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為（）A．3B．C．1D．【分析】根據(jù)橢圓的定義，得|PF1|+|PF2|＝2a，可得|PF2|＝2a﹣|PF1|，在△PF1F2中利用中位線定理，即可得到的|OM|值．【解答】解：∵橢圓x2+2y2＝4．化為橢圓，a＝2，b＝，c＝，∴|PF1|+|PF2|＝2a＝4，結(jié)合|PF1|＝1，得|PF2|＝2a﹣|PF1|＝4﹣1＝3，PF的中點(diǎn)M，O是的F1F2中點(diǎn)，∵OM是△PF1F2的中位線，∴|OM|＝|PF2|＝×3＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題給出橢圓的焦點(diǎn)三角形的一邊長(zhǎng)，求另一邊中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，著重考查了橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．9．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)A（2，2），則|PA|+|PF|的最小值為（）A．B．2C．D．3【分析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程，過(guò)A作l的垂線段，結(jié)合幾何意義，以及拋物線的定義，即可求解．【解答】解：拋物線C：y2＝4x的準(zhǔn)線l：x＝﹣1，顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過(guò)A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖所示，在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)P’，過(guò)P作PN⊥l于點(diǎn)N，連接PF，AN，P'A，P'F，由拋物線的定義可知，|PA|+|PF|＝|PA|+|PM|＝|AM|＜|AN|＜|P'N|+|P'A|＝|P'A|+|P'F|，故（|PA|+|PF|）min＝|AM|＝2﹣（﹣1）＝3，即點(diǎn)P是過(guò)A作準(zhǔn)線的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，|PA|+|PF|取最小值，故|PA|+|PF|的最小值為3．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．10．有以下命題：①過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面垂直；②過(guò)平面外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這個(gè)平面平行；③過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線垂直；④過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面與這條直線平行；⑤過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行；其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【分析】對(duì)于①，根據(jù)線面垂直的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于②，過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行；對(duì)于③，由線面垂直的定義判斷；對(duì)于④，過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行；對(duì)于⑤，由平行公理得判斷．【解答】解：對(duì)于①，根據(jù)線面垂直的定義，可得經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)作已知平面的垂線，有且僅有一條，故①正確；對(duì)于②，過(guò)平面外一點(diǎn)可以作一個(gè)平面與已知平面平行，在這個(gè)平行平面內(nèi)的經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)作直線，它就和已經(jīng)平面平行，故過(guò)平面外一點(diǎn)有無(wú)數(shù)條直線與這個(gè)平面平行，故②不正確；對(duì)于③，由直線與平面垂直的性質(zhì)知：過(guò)直線外一點(diǎn)只能作一個(gè)平面與這條直線垂直，，故③正確；對(duì)于④，過(guò)直線外一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)個(gè)平面與這條直線平行，故④不正確；對(duì)于⑤，由平行公理得：過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力，是中檔題．11．如圖所示的三棱錐P﹣ABC中，D是棱PB的中點(diǎn)，已知PA⊥底面ABC，PA＝BC＝2，AB＝4，AB⊥BC，則異面直線PC，AD所成角的正弦值為（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)平面幾何知識(shí)求得PC，PB和AD的長(zhǎng)，取BC的中點(diǎn)M，連接MD，MA，則∠ADM或其補(bǔ)角即為所求，再在△ADM中，由余弦定理，即可得解．【解答】解：在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝20，因?yàn)镻A⊥底面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，所以PC＝＝2，PB＝＝2，AD＝PB＝，取BC的中點(diǎn)M，連接MD，MA，則AM2＝AB2+BM2＝17，因?yàn)镈為PB的中點(diǎn)，所以DM∥PC，DM＝PC＝，所以異面直線PC，AD所成角即為DM和AD所成的角，也即∠ADM或其補(bǔ)角，在△ADM中，由余弦定理知，cos∠ADM＝＝＝﹣，所以sin∠ADM＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線夾角的求法，余弦定理，利用平移思想找出異面直線所成角是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．設(shè)P，Q分別為x2+（y﹣6）2＝4和橢圓+y2＝1上的點(diǎn)，則P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是（）A．5B．5+2C．9D．6【分析】求出橢圓上的點(diǎn)與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點(diǎn)間的最大距離．【解答】解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為（x，y），滿足橢圓+y2＝1，∵圓x2+（y﹣6）2＝4的圓心為（0，6），半徑為2，∴橢圓上的點(diǎn)（x，y）到圓心（0，6）的距離為＝≤5，∴P，Q兩點(diǎn)間的最大距離是5+2．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓、圓的方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．二．填空題（共4小題）13．若雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），則實(shí)數(shù)m＝3．【分析】根據(jù)雙曲線方程m+1＝4即可得解．【解答】解：雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），所以m＞0且m+1＝4，所以m＝3．故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由雙曲線方程求參數(shù)值的方法，屬于基礎(chǔ)題．14．已知F1，F(xiàn)2是橢圓＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，PF2⊥x軸，則△PF1F2的面積為．【分析】求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由面積公式即可求得答案．【解答】解：由題意不妨設(shè)F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），因?yàn)镻F2⊥x軸，所以P（，±），因?yàn)椤鱌F1F2的面積＝|PF2||F1F2|＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，y0），F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|＝4，則y0的值為±4．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，可得p＝4，即可得拋物線方程，將P的橫坐標(biāo)代入，即可求解．【解答】解：∵點(diǎn)P（2，y0）為拋物線上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|＝4，∴拋物線的定義，可得2+＝4，解得p＝4，∴y2＝8x，∵P的橫坐標(biāo)為2，∴＝2×8＝16，解得y0＝±4．故答案為：±4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題．16．如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED是異面直線；②CN與BE平行；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．請(qǐng)寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)①②③④．【分析】由正方體平面展開(kāi)圖，畫(huà)出正方體的直觀圖，結(jié)合正方體的幾何特征，判斷題目中的命題即可．【解答】解：由已知正方體的平面展開(kāi)圖，得到正方體的直觀圖，如圖所示：由正方體的幾何特征得：對(duì)于①，顯然BM與DE異面，①正確；對(duì)于②，因?yàn)镋N∥BC，且EN＝BC，所以四邊形NEBC為平行四邊形，所以CN∥BE，②正確；對(duì)于③，由②可知，CN∥BE，所以∠EBM（或其補(bǔ)角）為異面直線CN與BM所成角，因?yàn)槿切蜤BM為等邊三角形，所以∠EBM＝60°，③正確；對(duì)于④，因?yàn)镈M⊥CN，BC⊥DM，CN∩BC＝C，BC?平面BCN，CN?平面BCN，所以DM⊥平面BCN，又BN?平面BCN，所以DM⊥BN，④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方體的平面展開(kāi)圖，線面垂直的判定和性質(zhì)，是中檔題．三．解答題（共13小題）17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，M，N分別是BC，PC的中點(diǎn)．（1）求證：MN∥平面PAB；（2）求證：BC⊥AN．【分析】（1）由三角形的中位線定理和線面平行的判定定理，可得證明；（2）由線面垂直的性質(zhì)和判定定理，可得證明．【解答】證明：（1）因?yàn)镸，N分別是BC，PC的中點(diǎn)，所以MN∥PB，而MN?平面PAB，PB?平面PAB，所以MN∥平面PAB；（4分）（2）由PA⊥底面ABC，BC?平面ABC，可得PA⊥BC，又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，則BC⊥平面PAC，而AN?平面PAC，所以BC⊥AN．（10分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線面平行和線面垂直的判定，考查轉(zhuǎn)化思想和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．18．已知直線l過(guò)點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直．（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程．【分析】（1）結(jié)合兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系求出直線l的斜率，進(jìn)而可以求出結(jié)果；（2）求出圓心到直線的距離，結(jié)合勾股定理列出方程即可求出結(jié)果．【解答】解：（1）因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0．（6分）（2）圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝17．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線方程的求解，圓的方程的求解等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．19．已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上有一點(diǎn)P（4，m）到焦點(diǎn)的距離為6．（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）若拋物線C與直線y＝kx﹣2相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值．【分析】（Ⅰ）由題意設(shè)：拋物線方程為y2＝2px，其準(zhǔn)線方程為x＝﹣，根據(jù)拋物線的大于可得：4+，進(jìn)而得到答案．（Ⅱ）聯(lián)立直線與拋物線的方程得k2x2﹣（4k+8）x+4＝0，根據(jù)題意可得Δ＝64（k+1）＞0即k＞﹣1且k≠0，再結(jié)合韋達(dá)定理可得k的值．【解答】解：（Ⅰ）由題意設(shè)拋物線方程為y2＝2px，其準(zhǔn)線方程為x＝﹣，∵P（4，m）到焦點(diǎn)的距離等于A到其準(zhǔn)線的距離，∴4+∴p＝4∴拋物線C的方程為y2＝8x（4分）（Ⅱ）由消去y，得k2x2﹣（4k+8）x+4＝0∵直線y＝kx﹣2與拋物線相交于不同兩點(diǎn)A、B，則有k≠0，Δ＝64（k+1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0，又＝2，解得k＝2，或k＝﹣1（舍去）∴k的值為2．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與拋物線的位置關(guān)系．20．如圖，平面ABCD⊥平面DBNM，且四邊形ABCD與四邊形DBNM是正方形．（1）求證：平面ACN⊥平面BDMN；（2）若AB＝2，求三棱錐D﹣MAC的體積．【分析】（1）由題意首先證得線面垂直，然后證明面面垂直即可；（2）由題意結(jié)合幾何體的特征轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)求解三棱錐的體積即可．【解答】（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AC⊥BD．因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DBNM，平面ABCD∩平面DBNM＝BD，AC?平面ABCD，所以AC⊥平面DBNM，又AC?平面ACN，所以平面ACN⊥平面BDMN．（6分）（2）解：因?yàn)樗倪呅蜠BNM是正方形，所以MD⊥BD．因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DBNM，平面ABCD∩平面DBNM＝BD，MD?平面DBNM，所以MD⊥平面ABCD．在正方形ABCD中，AB＝2，所以AD＝DC＝2，DB＝，所以在正方形DBNM中，MD＝DB＝，所以．（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查面面垂直的判定，錐體體積的計(jì)算等知識(shí)，屬于中等題．21．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與平面上點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0）的距離之和等于2．（1）試求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C；（2）設(shè)直線l：y＝kx﹣與曲線C交于M、N兩點(diǎn)，當(dāng)|MN|＝時(shí)，求直線l的方程．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓的定義，以及橢圓的性質(zhì)，即可求解．（2）根據(jù)已知條件，聯(lián)立直線與橢圓方程可得，，再結(jié)合韋達(dá)定理和弦