矩陣初等變換與初等矩陣

矩陣初等變換與初等矩陣第一頁(yè)，共23頁(yè)。5.1初等變換

交換第i行與第j行記為rirj

.15-1-11-2131-93738-111-2131-937r2r4———15-1-138-11

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.例如下頁(yè)第二頁(yè)，共23頁(yè)。-113-1

交換第i列與第j列記為cicj

.15-1-11-2131-93738-11c1c3———5-2-98-13711113例如下頁(yè)5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第三頁(yè)，共23頁(yè)。

用數(shù)k乘以第i行記為kri

.15-1-11-2131-93738-114r2———44-8121-15-113-973-181例如下頁(yè)5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第四頁(yè)，共23頁(yè)。

用數(shù)k乘以第i列記為kci

.15-1-11-2131-93738-114c3———-4412-415-11-231-97381例如下頁(yè)5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第五頁(yè)，共23頁(yè)。

第i行的k倍加到第j行記為rj+kri

.15-1-11-2131-93738-11r3-3r1———15-1-11-2131-9370-724例如下頁(yè)5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第六頁(yè)，共23頁(yè)。

第i列的k倍加到第j列記為cj+kci

.15-1-11-2131-93738-11c3+c1———024215-11-231-97381例如下頁(yè)5.1初等變換

定義1

對(duì)矩陣施以下列三種變換之一，稱(chēng)為初等變換.

(1)交換矩陣的某兩行(列)；

(2)以數(shù)k0乘矩陣的某一行(列)；

(3)把矩陣的某一行(列)的k倍加到另一行(列)上.第七頁(yè)，共23頁(yè)。定理3

任意一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)一系列的初等變換化成下述形式它稱(chēng)為矩陣A的標(biāo)準(zhǔn)形（1的個(gè)數(shù)可以是零）.

下頁(yè)第八頁(yè)，共23頁(yè)。下頁(yè)2101000041-16r2?r12101100-1—0046r2-2r10103—100-100461/4c3004—010100306006010100004—c4+c1c4-3c2例如：000010100001—c4-6c3第九頁(yè)，共23頁(yè)。

定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

=E(2,4)

例如，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：1000010000100001E=0001100000100100r2r4———=E(2,4)

1000010000100001E=0001100000100100c2c4———下頁(yè)5.2初等矩陣第十頁(yè)，共23頁(yè)。=E(3(4))

1000010000100001E=00401000010000014r3———=E(3(4))

1000010000100001E=00401000100000014c3———下頁(yè)

定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

5.2初等矩陣?yán)?，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：第十一頁(yè)，共23頁(yè)。=E(2,4(k))

1000010000100001E=010k100000100001r2+kr4———=ET(2,4(k))1000010000100001E=100000010001010kc2+kc4———下頁(yè)

定義2

對(duì)單位矩陣E施以一次初等變換得到的矩陣稱(chēng)為初等矩陣（或初等方陣）.

初等矩陣有下列三種：

E(i,j)、E(i(k))、E(j,i(k)).

5.2初等矩陣?yán)?，下面是幾個(gè)4階初等矩陣：第十二頁(yè)，共23頁(yè)。

初等矩陣都是可逆的，且它們的逆矩陣仍是初等矩陣.初等矩陣的可逆性E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)).

E(i(k))-1=E(i(k-1))；E(i,j)-1=E(i,j)；

這是因?yàn)?，初等矩陣的行列式及逆矩陣分別為:下頁(yè)|E(j,i(k))|=1

.

|E(i(k))|=k(k≠0)

；|E(i,j)|=-

1；第十三頁(yè)，共23頁(yè)。E(1,2)A==與交換A的第一行(列)與第二行(列)所得結(jié)果相同.AE(1,2)==

例如，設(shè)下頁(yè)

定理1

設(shè)A是一個(gè)mn矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣乘矩陣A；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于用矩陣A乘相應(yīng)的n

階初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.第十四頁(yè)，共23頁(yè)。=與第三行(列)的2倍加到第一行(列)所得結(jié)果相同.=例如，設(shè)E(1,3(2))A=

AET(1,3(2))=下頁(yè)

定理1

設(shè)A是一個(gè)mn矩陣，對(duì)A施行一次初等行變換相當(dāng)于用相應(yīng)的m階初等矩陣乘矩陣A；對(duì)A施行一次初等列變換相當(dāng)于用矩陣A乘相應(yīng)的n

階初等矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣.第十五頁(yè)，共23頁(yè)。練習(xí)：下頁(yè)第十六頁(yè)，共23頁(yè)。練習(xí)：下頁(yè)第十七頁(yè)，共23頁(yè)。5.3求逆矩陣的初等變換方法定理2若n階矩陣A可逆，則可以通過(guò)行初等變換將A化為單位矩陣.

證：

因?yàn)锳可逆,即|A|≠0，所以A的第一列不全為0,不妨設(shè)a11≠0.將A的第一行元素乘以1/a11,再將變換后的第一行的(-ai1)倍加到第i行，i=2,3,…,n,使第一列其他元素全化為零，得如下形式矩陣B1:由定理1知，

其中Fi是對(duì)應(yīng)初等矩陣.

一直進(jìn)行下去，最終把A化成了單位矩陣E.

同理可得B2:

下頁(yè)

即B2的第二行第二列元素化為1,第二列的其它元素全化為零.第十八頁(yè)，共23頁(yè)。

推論

方陣A可逆的充分必要條件是A可以表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積.下頁(yè)

證（必要性）假設(shè)A可逆，由定理2，A經(jīng)有限次初等行變換可化為單位陣E,即存在初等矩陣

使

而

是初等矩陣.

（充分性）如果A可表示為有限個(gè)初等矩陣的乘積，因?yàn)槌醯染仃嚩际强赡娴?，而可逆矩陣的乘積仍然可逆的，所以A是可逆矩陣.

第十九頁(yè)，共23頁(yè)。就是說(shuō)，當(dāng)通過(guò)初等行變換將矩陣A變成E時(shí)，經(jīng)過(guò)同樣的變換把E變成了A-1.于是有利用初等行變換求逆矩陣的方法(要求：熟練掌握)

構(gòu)造一個(gè)n×2n矩陣(A|E)，對(duì)矩陣(A|E)作初等行變換，當(dāng)左部A變成單位矩陣E時(shí)，右部單位矩陣E則變成A-1.即下頁(yè)即若,則而由,即第二十頁(yè)，共23頁(yè)。例1(法2)．求矩陣A=的逆矩陣.12-301210-512-301210-5100010001解：10110001-2-21002-2301—r2-2r1r3+3r110110001-2-2100027-21—r3-2r2100-2.51-0.50105-11