專題2.6 二元一次方程組章末重難點(diǎn)突破（舉一反三）（教師版含解析） 2022年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列（浙教版）

專題2.6二元一次方程組章末重難點(diǎn)突破【浙教版】【考點(diǎn)1二元一次方程（組）的概念】【例1】（2021秋?濉溪縣校級(jí)月考）下列四個(gè)方程組中，①x2+3y=43x-5y=1②【解題思路】根據(jù)二元一次方程組的定義進(jìn)行解答．【解答過程】解：①x2②xy=1③a-④a+3故答案是：1．【變式1-1】（2021秋?鄠邑區(qū)期末）已知3x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則（a+b）b＝9．【解題思路】根據(jù)二元一次方程的定義，從二元一次方程的未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)方面考慮，求得a、b的值，代入（a+b）b中即可求出．【解答過程】解：因?yàn)?x2a+b﹣3﹣5y3a﹣2b+2＝﹣1是關(guān)于x、y的二元一次方程，則2a利用代入法求出a＝1，b＝2．把a(bǔ)＝1，b＝2代入，得（a+b）b＝9．【變式1-2】（2021春?邵東縣校級(jí)月考）方程2xm+1+3y2n＝5是二元一次方程，求m，n．【解題思路】根據(jù)二元一次方程的定義，可得x和y的指數(shù)分別都為1，列關(guān)于m、n的方程，然后求解即可．【解答過程】解：根據(jù)二元一次方程的定義，m+1＝1，2n＝1，解得m＝0，n=1【變式1-3】（2021春?饒平縣校級(jí)期中）已知方程組3x-(【解題思路】根據(jù)二元一次方程組的定義得到|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0．由此可以求得m的值．【解答過程】解：依題意，得|m﹣2|﹣2＝1，且m﹣3≠0、m+1≠0，解得m＝5．故m的值是5．【考點(diǎn)2二元一次方程組的解】【例2】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）已知x=3y=1、x=-1y=-53是關(guān)于（1）求a，b的值；（2）當(dāng)x＝5，y＝﹣1時(shí)，求代數(shù)式ax+by的值．【解題思路】（1）本題可將兩組的x、y的值代入二元一次方程中，得出3a+b=3-（2）將（1）中計(jì)算出來的a、b的值和x＝5，y＝﹣1代入代數(shù)式即可解出本題的答案．【解答過程】解：（1）由題意，得3a解得；a（2）當(dāng)x＝5，y＝﹣1時(shí)，ax+by＝5a﹣b＝5×2﹣（﹣3）＝13．【變式2-1】（2021春?哈爾濱校級(jí)期中）方程2x+y=m+6x+2y=2m的解x【解題思路】直接把兩式相加，再把x+y＝0代入，求出m的值即可．【解答過程】解：2x①+②得，3（x+y）＝3m+6，∵x+y＝0，∴3m+6＝0，解得m＝﹣2．【變式2-2】k為何值時(shí)，方程組kx-【解題思路】先將方程組整理成二元一次方程組的一般形式，再根據(jù)二元一次方程組的解的三種情況進(jìn)行分析，從而得出結(jié)果．【解答過程】解：原方程組可化為kx-①當(dāng)k6≠-13②當(dāng)k6=-③當(dāng)k6=-13【變式2-3】（2021秋?濉溪縣校級(jí)月考）對(duì)于關(guān)于x、y的二元一次方程ax+by＝﹣2，小雪、小軒、小浩分別寫出了一個(gè)解，小雪寫的是x=1y=-1，小軒寫的是x【解題思路】先把小雪、小軒寫的x、y的值代入二元一次方程求出a、b的值，再把小浩的解代入方程進(jìn)行驗(yàn)證即可．【解答過程】解：∵小雪、小軒寫的x、y的值代入二元一次方程得，a-b=2∴該二元一次方程為-32x+12把小浩寫的x=4y=6代入得，左邊=-32×4∴小浩寫的不正確．【考點(diǎn)3解二元一次方程組】【例3】（2021春?龍巖期末）當(dāng)a，b都是實(shí)數(shù)，且滿足2a﹣b＝6，就稱點(diǎn)P（a﹣1，b2+（1）判斷點(diǎn)A（2，3）是否為完美點(diǎn)．（2）已知關(guān)于x，y的方程組x+y=6x-y=2m，當(dāng)【解題思路】（1）根據(jù)完美點(diǎn)的定義判定即可；（2）用m表示a、b，構(gòu)建方程即可解決問題；【解答過程】解：（1）a﹣1＝2，可得a＝3，b2+1＝3，可得b＝∵2a﹣b≠6，∴A（2，3）不是完美點(diǎn)．（2）∵x+∴x=3+3+m＝a﹣1，可得a＝m+4，3﹣m=b2+1，可得b＝4﹣∵2a﹣b＝6，∴2m+8﹣4+2m＝6，∴m=1∴當(dāng)m=12時(shí)，點(diǎn)B（x，【變式3-1】（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）（1）用代入法求解2（2）用加減消元法求解5（3）x+【解題思路】（1）代入消元法求解可得；（2）加減消元法求解可得；（3）加減消元法求解可得．【解答過程】解：（1）2x由②得x＝3﹣4y③，將③代入①得2（13﹣4y）+3y＝16，解得：y＝2，將y＝2代入②得：x＝5，∴原方程的解為x=5（2）用加減消元法求解：5x①×2得：10x﹣12y＝﹣6③②×3得：21x﹣12y＝27④④﹣③得：21x﹣12y﹣10x+12y＝33，解得：x＝3，將x＝3代入①得：y＝3，∴原方程組的解為x=3（3）x+②﹣①得：x﹣2y＝﹣1④①×3得，3x+3y+3z＝12⑤⑤+③得6x+y＝7⑥⑥×2，得：12x+2y＝14⑦⑦+④得13x＝13，解得：x＝1，將x＝1代入④得y＝1，將x＝1、y＝1代入①得z＝2，∴原方程組的解為x=1【變式3-2】（2021春?新疆期末）對(duì)于有理數(shù)x，y，定義新運(yùn)算：x?y＝ax+by，其中a，b是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．例如，3?4＝3a+4b，則若3?4＝8，即可知3a+4b＝8．已知1?2＝1，（﹣3）?3＝6，求2?（﹣5）的值．【解題思路】根據(jù)運(yùn)算關(guān)系得出關(guān)于a，b的等式，進(jìn)而求出a，b的值，即可得出答案．【解答過程】解：根據(jù)題意可得：a+2則①+②得：b＝1，則a＝﹣1，故方程組的解為：a=則原式＝2a﹣5b＝﹣2﹣5＝﹣7．【變式3-3】（2021春?于都縣校級(jí)期中）甲、乙兩人同時(shí)解方程組ax+y=3x-by=1，甲看錯(cuò)了b，求得解為x=1y=-1，乙看錯(cuò)了a，求得解為【解題思路】把x=1y=-1代入①中求出a的值，再把x=-1【解答過程】解：∵甲看錯(cuò)了b，求得的解為x=1∴把x=1y=-1代入①得，a﹣1＝3，解得a∵乙看錯(cuò)了a，求得的解為x=∴把x=-1y=3代入②得﹣1﹣3b＝把a(bǔ)＝4，b=-23代入（a4）2014+b2015＝1﹣（【考點(diǎn)4二元一次方程的整數(shù)解】【例1】（2021秋?埇橋區(qū)月考）已知等式1993x+4y＝6063，其中x，y都是自然數(shù)，求xy的值．【解題思路】根據(jù)題意可得6063是奇數(shù)，4y是偶數(shù)，所以1993x是奇數(shù)，所以x是奇數(shù)，進(jìn)而可得結(jié)果．【解答過程】解：因?yàn)?993x+4y＝6063，其中x，y都是自然數(shù)，因?yàn)?063是奇數(shù)，4y是偶數(shù)，所以1993x是奇數(shù)，所以x是奇數(shù)，因?yàn)?993×4大于6063，所以奇數(shù)x＝1或x＝3，當(dāng)x＝1時(shí)，y是分?jǐn)?shù)，不符合題意，舍去；當(dāng)x＝3時(shí)，1993×3+4y＝6063，解得y＝21，所以xy＝3×21＝63．【變式4-1】（2021春?奈曼旗期末）（1）填表，使上下每對(duì)x，y的值是方程3x+y＝5的解x﹣20.45323y113.803（2）寫出二元一次方程3x+y＝5的正整數(shù)解：x＝1、y＝2．【解題思路】（1）當(dāng)已知x的值時(shí)，把x的值代入解得到一個(gè)關(guān)于y的方程，解方程求得y的值；當(dāng)已知y的值時(shí)，把y的值代入即可得到一個(gè)關(guān)于x的方程，解方程求得對(duì)應(yīng)的x的值．據(jù)此計(jì)算補(bǔ)全表格；（2）根據(jù)方程的解的概念求解可得．【解答過程】解：（1）當(dāng)x＝﹣2時(shí)，﹣6+y＝5，解得y＝11；當(dāng)x＝0.4時(shí)，1.2+y＝5，解得y＝3.8；當(dāng)y＝0時(shí)，3x＝5，解得x=5當(dāng)y＝3時(shí)，3x+3＝5，解得x=2補(bǔ)全表格如下：x﹣20.45323y113.803（2）二元一次方程3x+y＝5的正整數(shù)解：x＝1、y＝2，故答案為：x＝1、y＝2．【變式4-2】（2021春?渝北區(qū)期末）對(duì)于兩個(gè)兩位數(shù)p和q，將其中任意一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字分別放置于另一個(gè)兩位數(shù)十位上數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字之間和個(gè)位上的數(shù)字的右邊，就可以得到兩個(gè)新四位數(shù)，把這兩個(gè)新四位數(shù)的和與11的商記為F（p，q）．例如：當(dāng)p＝23，q＝15時(shí)，將p十位上的2放置于q中1與5之間，將p個(gè)位上的3位置于q中5的右邊，得到1253．將q十位上的1放置于p中2和3之間，將q個(gè)位上的5放置于p中3的右邊，得到2135．這兩個(gè)新四位數(shù)的和為1253+2135＝3388，3388÷11＝308，所以F（23，15）＝308．（1）計(jì)算：F（13，26）；（2）若a＝10+m，b＝10n+5，（0≤m≤9，1≤n≤9，m，n均為自然數(shù)）．當(dāng)150F（a，18）+F（b，26）＝32761時(shí)，求m+n的值．【解題思路】（1）根據(jù)定義代入計(jì)算可得（2）根據(jù)題意代入可得二元一次方程，解得m，n的整數(shù)解，可求m+n的值．【解答過程】解：（1）F（13，26）＝（2163+1236）÷11＝309；（2）∵當(dāng)150F（a，18）+F（b，26）＝32761，則150F（10+m，18）+F（10n+5，26）＝32761，∴150[（1000+100+10m+8+1000+100+80+m）÷11]+（1000n+200+56+2000+100n+65）÷11＝32761，150（208+m）+100n+211＝32761，3m+2n＝27，∴m＝3，n＝9，m+n＝12，m＝5，n＝6，m+n＝11，m＝7，n＝3，m+n＝10，綜上所述，m+n＝12或11或10．【變式4-3】（2021?北碚區(qū)校級(jí)模擬）若一個(gè)三位數(shù)，其個(gè)位數(shù)加上十位數(shù)等于百位數(shù)，可表示為t＝100（x+y）+10y+x，則稱實(shí)數(shù)t為“加成數(shù)”，將t的百位作為個(gè)位，個(gè)位作為十位，十位作為百位，組成一個(gè)新的三位數(shù)h．規(guī)定q＝t﹣h，f（m）=q9，例如：321是一個(gè)“加成數(shù)”，將其百位作為個(gè)位，個(gè)位作為十位，十位作為百位，得到的數(shù)h＝213，∴q＝321﹣213＝108，f（m）=（1）當(dāng)f（m）最小時(shí)，求此時(shí)對(duì)應(yīng)的“加成數(shù)”的值；（2）若f（m）是24的倍數(shù)，則稱f（m）是“節(jié)氣數(shù)”，猜想這樣的“節(jié)氣數(shù)”有多少個(gè)，并求出所有的“節(jié)氣數(shù)”．【解題思路】（1）根據(jù)新定義，由求f（m）最小值，可知就是求q的最小值，根據(jù)定義表示q＝t﹣h＝100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）＝9y+90x，可得結(jié)論；（2）根據(jù)f（m）是24的倍數(shù)，f（m）＝24n（n為正整數(shù)），得q＝216n，由（1）中q＝9y+90x，列方程，解方程可得結(jié)論．【解答過程】解：（1）∵f（m）=q∴當(dāng)f（m）最小時(shí)，q最小，∵t＝100（x+y）+10y+x，h＝100y+10x+x+y＝101y+11x，∴q＝t﹣h＝100（x+y）+10y+x﹣（101y+11x）＝9y+90x，且1≤y≤9，0≤x≤9，x、y為正整數(shù)，當(dāng)x＝0，y＝1時(shí)，q?。?，此時(shí)對(duì)應(yīng)的“加成數(shù)”是110；（2）∵f（m）是24的倍數(shù)，設(shè)f（m）＝24n（n為正整數(shù)），則24n=q9，q＝216由（1）知：q＝9y+90x＝9（y+10x），∴216n＝9（y+10x），24n＝y(tǒng)+10x，（x+y＜10）①當(dāng)n＝1時(shí)，即y+10x＝24，解得：x＝2，y＝4，則這樣的“節(jié)氣數(shù)”是24；②當(dāng)n＝2時(shí)，即y+10x＝48，解得：x＝4，y＝8，x+y＝12＞10，不符合題意；③當(dāng)n＝3時(shí)，即y+10x＝72，解得：x＝7，y＝2，則這樣的“節(jié)氣數(shù)”是72；①當(dāng)n＝4時(shí)，即y+10x＝96，解得：x＝9，y＝6，x+y＝15＞10，不符合題意；①當(dāng)n＝5時(shí)，即y+10x＝120，沒有符合條件的整數(shù)解，綜上，這樣的“節(jié)氣數(shù)”有2個(gè)，分別為24，72．【考點(diǎn)5二元一次方程組的應(yīng)用之配套問題】【例5】（2021秋?肥東縣期末）在手工制作課上，老師組織班級(jí)同學(xué)用硬紙制作圓柱形茶葉筒．全班共有學(xué)生50人，其中男生x人，女生y人，男生人數(shù)比女生人數(shù)少2人．已知每名同學(xué)每小時(shí)剪筒身40個(gè)或剪筒底120個(gè)．（1）求這個(gè)班男生、女生各有多少人？（2）原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，若要求一個(gè)筒身配兩個(gè)筒底，請說明每小時(shí)剪出的筒身與筒底能否配套？如果不配套，請說明如何調(diào)配人員，才能使每小時(shí)剪出的筒身與筒底剛好配套？【解題思路】（1）由題意列出方程組，解方程組解可；（2）分別計(jì)算出24名男生和6名女生剪出的筒底和筒身的數(shù)量，可得不配套；設(shè)男生應(yīng)向女生支援y人，根據(jù)制作筒底的數(shù)量＝筒身的數(shù)量×2，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，再解即可．【解答過程】解：（1）由題意得：x+解得：x=24答：這個(gè)班有男生有24人，女生有26人；（2）男生剪筒底的數(shù)量：24×120＝2880（個(gè)），女生剪筒身的數(shù)量：26×40＝1040（個(gè)），因?yàn)橐粋€(gè)筒身配兩個(gè)筒底，2880：1040≠2：1，所以原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，每小時(shí)剪出的筒身與筒底不能配套，設(shè)男生應(yīng)向女生支援a(chǎn)人，由題意得：120（24﹣a）＝（26+a）×40×2，解得：a＝4，答：原計(jì)劃男生負(fù)責(zé)剪筒底，女生負(fù)責(zé)剪筒身，每小時(shí)剪出的筒身與筒底不能配套；男生應(yīng)向女生支援4人時(shí)，才能使每小時(shí)剪出的筒身與筒底配套．【變式5-1】（2021春?饒平縣校級(jí)期末）某加工廠有工人60名，生產(chǎn)某種一個(gè)螺栓套兩個(gè)螺母的配套產(chǎn)品，每人每天平均生產(chǎn)螺栓14個(gè)或螺母20個(gè)，應(yīng)分配多少人生產(chǎn)螺栓，多少人生產(chǎn)螺母，能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套？【解題思路】本題的等量關(guān)系為：生產(chǎn)螺栓的工人人數(shù)+生產(chǎn)螺母的工人人數(shù)＝60；生產(chǎn)的螺栓的數(shù)量×2＝生產(chǎn)的螺母的數(shù)量．由此可列出方程組求解．【解答過程】解：設(shè)應(yīng)安排x人生產(chǎn)螺栓，有y人生產(chǎn)螺母．由題意，得x+解這個(gè)方程組得：x=25答：應(yīng)安排25人生產(chǎn)螺栓，35人生產(chǎn)螺母，才能使生產(chǎn)出的螺栓和螺母剛好配套．【變式5-2】（2021春?建昌縣期末）一張方桌由1個(gè)桌面，4條桌腿組成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50個(gè)或做桌腿300條，現(xiàn)有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面與桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少張方桌？【解題思路】問題中有兩個(gè)條件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料＝10；②4×桌面?zhèn)€數(shù)＝桌腿個(gè)數(shù)．據(jù)此可列方程組求解．【解答過程】解：設(shè)用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿．由題意得x解得x=66×50＝300（張）．答：用6m3木料做桌面，4m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300張方桌．【變式5-3】（2021秋?楚雄州期末）一張方桌由一個(gè)桌面和四條桌腳組成，如果一立方米木材可制作方桌的桌面50個(gè)，或制作桌腿300條，現(xiàn)有5立方米木料，那么用多少木料做桌面，用多少木料做桌腿，恰好配成方桌多少張？【解題思路】本題的等量關(guān)系為：做桌面的木料+做桌腿的木料＝5；桌面數(shù)量×4＝桌腿數(shù)量．【解答過程】解：設(shè)桌面用木料x立方米，桌腿用木料y立方米，則x+解得x50x＝150．答：桌面3立方米，桌腿2立方米，方桌150張．【考點(diǎn)6二元一次方程組的應(yīng)用之行程問題】【例6】（2021春?昆明期末）甲、乙兩名同學(xué)都以不變的速度在環(huán)形路上跑步，如果同時(shí)同地出發(fā)，反向而行，每隔32分鐘相遇一次；如果同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，每隔9【解題思路】設(shè)甲每分鐘跑x圈，乙每分鐘跑y圈，由題意：如果同時(shí)同地出發(fā)，反向而行，每隔32分鐘相遇一次；如果同時(shí)同地出發(fā)，同向而行，每隔9【解答過程】解：設(shè)甲每分鐘跑x圈，乙每分鐘跑y圈，依題意，得：32解得：x=答：甲每分鐘跑49圈，乙每分鐘跑2【變式6-1】（2021春?伊通縣期末）小明和小麗兩相距8千米，小明騎自行車，小麗步行．兩人同時(shí)出發(fā)相向而行，0.8小時(shí)相遇；若兩人同時(shí)出發(fā)同向而行，小明2小時(shí)可以追上小麗，求小明、小麗每小時(shí)各前行多少千米？【解題思路】設(shè)小明每小時(shí)騎行x千米，小麗每小時(shí)走y千米，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)小明每小時(shí)騎行x千米，小麗每小時(shí)走y千米，根據(jù)題意得：0.8x解得：x=7答：小明每小時(shí)騎行7千米，小麗每小時(shí)走3千米．【變式6-2】（2021?蚌埠模擬）我國古典文學(xué)名著《西游記》講述了孫悟空、豬八戒、沙和尚保護(hù)唐僧西天取經(jīng)，沿途降妖除魔，歷經(jīng)九九八十一難，到達(dá)西天取得真經(jīng)修成正果的故事．現(xiàn)請你欣賞下列描述孫悟空追妖精的數(shù)學(xué)詩：悟空順風(fēng)探妖蹤，千里只行四分鐘，歸時(shí)四分行六百，風(fēng)速多少才稱雄？解釋：孫悟空順風(fēng)去查妖精的行蹤，4分鐘就飛躍1000里，逆風(fēng)返回時(shí)4分鐘走了600里，問風(fēng)速是多少？解答上述問題．【解題思路】設(shè)孫悟空的速度為x里/分鐘，風(fēng)速為y里/分鐘，根據(jù)順風(fēng)4分鐘飛躍1000里及逆風(fēng)4分鐘走了600里，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可．【解答過程】解：設(shè)孫悟空的速度為x里/分鐘，風(fēng)速為y里/分鐘，依題意，得：4(x解得：x=200答：風(fēng)速為50里/分鐘．【變式6-3】（2021春?黃埔區(qū)期末）小明從甲地步行到乙地要走一段上坡路與一段平路．如果保持上坡每小時(shí)走3km，平路每小時(shí)走4km，下坡每小時(shí)走5km，那么從甲地步行到乙地需54min，從乙地步行到甲地需42min．甲地到乙地全程是多少km？【解題思路】設(shè)坡路長xkm；平路長ykm，由題意：上坡每小時(shí)走3km，平路每小時(shí)走4km，下坡每小時(shí)走5km，從甲地步行到乙地需54min，從乙地步行到甲地需42min．列出方程組，解方程組即可．【解答過程】解：設(shè)坡路長xkm；平路長ykm，由題意得：x3解得：x=1.5則x+y＝3.1，答：甲地到乙地全程是3.1km．【考點(diǎn)7二元一次方程組的應(yīng)用之銷售、工程問題】【例7】（2021秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）在重慶南開中學(xué)建校85周年之際，學(xué)校舉行了隆重的慶?；顒?dòng)．為感謝參與活動(dòng)的師生，學(xué)校定制了水杯和手賬兩種紀(jì)念品，已知定制2個(gè)水杯和3本手賬共需180元，定制5個(gè)水杯和6本手賬共需420元．（1）定制一個(gè)水杯和一本手賬的單價(jià)各是多少元？（2）學(xué)校最終決定定制水杯和手賬的總數(shù)量為600件（其中水杯不超過300個(gè)），并委托商家進(jìn)行包裝，現(xiàn)有如下兩種方案：方案1：一個(gè)水杯的包裝費(fèi)為6元，一本手賬的包裝費(fèi)為1元，總費(fèi)用打8折；方案2：定制一個(gè)水杯，就贈(zèng)送一本手賬，并將一個(gè)水杯和一本手賬作為套裝進(jìn)行包裝，此種方案中每個(gè)套裝的包裝費(fèi)為4元，剩下需要單獨(dú)定制的單品每件包裝費(fèi)為2元．求定制水杯多少個(gè)時(shí)，兩種方案的總費(fèi)用相同？（總費(fèi)用＝定制物品的總費(fèi)用+包裝總費(fèi)用）【解題思路】（1）設(shè)定制一個(gè)水杯的單價(jià)為x元，一本手賬的單價(jià)為y元，由題意：定制2個(gè)水杯和3本手賬共需180元，定制5個(gè)水杯和6本手賬共需420元．列出方程組，解方程組即可；（2）設(shè)定制水杯m個(gè)時(shí)，兩種方案的總費(fèi)用相同，則定制手賬為（600﹣m）個(gè)，由題意：方案1：一個(gè)水杯的包裝費(fèi)為6元，一本手賬的包裝費(fèi)為1元，總費(fèi)用打8折；方案2：定制一個(gè)水杯，就贈(zèng)送一本手賬，并將一個(gè)水杯和一本手賬作為套裝進(jìn)行包裝，此種方案中每個(gè)套裝的包裝費(fèi)為4元，剩下需要單獨(dú)定制的單品每件包裝費(fèi)為2元．列出一元一次方程，解方程即可．【解答過程】解：（1）設(shè)定制一個(gè)水杯的單價(jià)為x元，一本手賬的單價(jià)為y元，由題意得：2x解得：x=60答：定制一個(gè)水杯的單價(jià)為60元，一本手賬的單價(jià)為20元；（2）設(shè)定制水杯m個(gè)時(shí)，兩種方案的總費(fèi)用相同，則定制手賬為（600﹣m）個(gè)，則方案1的總費(fèi)用為：0.8×[60m+20（600﹣m）+6m+（600﹣m）×1]＝36m+10080，方案2的總費(fèi)用為：60m+20（600﹣m﹣m）+4m+2×（600﹣m﹣m）＝20m+13200，由題意得：36m+10080＝20m+13200，解得：m＝195，答：定制水杯195個(gè)時(shí)，兩種方案的總費(fèi)用相同．【變式7-1】（2021?安徽模擬）甲、乙兩個(gè)車間分別承擔(dān)一種口罩生產(chǎn)的第一道工序和第二道工序，已知甲車間先開工完成了10萬個(gè)，乙車間才開始生產(chǎn)，如果在相同時(shí)間內(nèi)，甲車間能完成6萬個(gè)，乙車間能完成8萬個(gè)，求乙車間完成多少萬個(gè)時(shí)恰好趕上甲車間的進(jìn)度？【解題思路】設(shè)甲車間再完成x萬個(gè)，乙車間完成y萬個(gè)時(shí)恰好趕上甲車間的進(jìn)度，甲車間完成y萬個(gè)，由題意：甲車間先開工完成了10萬個(gè)，乙車間才開始生產(chǎn)，如果在相同時(shí)間內(nèi)，甲車間能完成6萬個(gè)，乙車間能完成8萬個(gè)，列出方程組，解方程組即可．【解答過程】解：設(shè)甲車間再完成x萬個(gè)，乙車間完成y萬個(gè)時(shí)恰好趕上甲車間的進(jìn)度，由題意得：x=解得：x=30答：乙車間完成40萬個(gè)時(shí)恰好趕上甲車間的進(jìn)度．【變式7-2】（2021春?愛輝區(qū)期末）“今有人共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六；問人數(shù)、雞價(jià)各幾何？”（《九章算術(shù)》），題目的大意是：有幾個(gè)人共同出錢買雞，每人出九枚銅錢，則多了11枚錢；每人出六枚銅錢，則少了16枚銅錢，那么有幾個(gè)人共同買雞？雞的價(jià)錢是多少？（請列方程解答）【解題思路】設(shè)有x人共同買雞，雞的價(jià)格為y錢，根據(jù)“每人出九錢，則多了十一錢；每人出六錢，則少了十六錢”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)有x人共同買雞，雞的價(jià)格為y錢，依題意，得：9x解得：x=9答：共有9人共同買雞，雞的價(jià)格為70錢．【變式7-3】（2021?泰州）甲、乙兩工程隊(duì)共同修建150km的公路，原計(jì)劃30個(gè)月完工．實(shí)際施工時(shí)，甲隊(duì)通過技術(shù)創(chuàng)新，施工效率提高了50%，乙隊(duì)施工效率不變，結(jié)果提前5個(gè)月完工．甲、乙兩工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月分別修建多長？【解題思路】設(shè)甲工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建xkm，乙工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建ykm，則兩隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建（x+y）km，技術(shù)創(chuàng)新后兩隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建[（1+50%）x+y]km，根據(jù)原計(jì)劃30個(gè)月完工，通過技術(shù)創(chuàng)新提前5個(gè)月完工為等量關(guān)系即可列出二元一次方程組，求解即可求出結(jié)果．【解答過程】解：設(shè)甲工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建xkm，乙工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建ykm，根據(jù)題意得，150=30(x解得x=2答：甲工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建2km，乙工程隊(duì)原計(jì)劃平均每月修建3km．【考點(diǎn)8二元一次方程組的應(yīng)用之幾何問題】【例8】（2021春?愛輝區(qū)期末）利用兩塊完全相同的長方體木塊測量一張桌子的高度，首先將木塊按圖①方式放置，再交換兩木塊的位置，按圖②方式放置，測量數(shù)據(jù)如圖，求桌子的高度．【解題思路】設(shè)長方體長xcm，寬ycm，桌子的高度acm，由圖象建立方程組求出其解就可以得出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)長方體長xcm，寬ycm，桌子的高度為acm，由題意，得a+兩個(gè)方程相加得：（x+a﹣y）+（y+a﹣x）＝150，解得：2a＝150，∴a＝75（cm）．答：桌子的高度為75cm．【變式8-1】（2021春?漳州期末）如圖，7個(gè)大小、形狀完全相同的小長方形組成一個(gè)周長為68的大長方形ABCD．求大長方形ABCD的面積．【解題思路】設(shè)小長方形的長為x，寬為y，根據(jù)長方形的對(duì)邊相等及大長方形的周長為68，列出x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再利用長方形的計(jì)算公式即可求出大長方形的面積．【解答過程】解：設(shè)小長方形的長為x，寬為y，依題意，得：2x解得：x=10∴S大長方形＝2x?（x+y）＝2×10×（10+4）＝280．答：大長方形的面積為280．【變式8-2】（2021春?舞陽縣期末）如圖，在長方形ABCD中，放入六個(gè)形狀大小相同的長方形，所標(biāo)尺寸如圖所示，請你利用方程組的思想方法求出圖中陰影部分面積是多少cm2？【解題思路】設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，觀察圖形即可列出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，再根據(jù)陰影部分的面積＝大長方形的面積﹣6個(gè)小長方形的面積，即可求出結(jié)論．【解答過程】解：設(shè)小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)題意得：x+解得：x=8∴S陰影＝14×（6+2×2）﹣8×2×6＝44（cm2）．答：圖中陰影部分面積是44cm2．【變式8-3】（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）如圖，現(xiàn)有一個(gè)大正方形和四個(gè)一樣的小正方形，小明、小聰、小方分別用這些正方形設(shè)計(jì)出了圖1，圖2，圖3三種圖案（1）根據(jù)圖1，圖2中所標(biāo)數(shù)據(jù)，求出大正方形和小正方形的邊長分別是多少厘米？（2）若圖3中四個(gè)小正方形的重疊部分也是三個(gè)一樣的小正方形，求大正方形中未被小正方形覆蓋的陰影部分的面積．【解題思路】（1）設(shè)大正方形和小正方形的邊長分別是x厘米和y厘米，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；（2）設(shè)四個(gè)小正方形的重疊部分形成小正方形的邊長為zcm，根據(jù)題意列方程得到z=2【解答過程】解：（1）設(shè)大正方形和小正方形的邊長分別是x厘米和y厘米，由題意得，x+2解得：x=6答：大正方形和小正方形的邊長分別是6厘米和2厘米；（2）設(shè)四個(gè)小正方形的重疊部分形成小正方形的邊長為zcm，由題意得，6﹣2＝3×（2﹣z），解得：z=2∴大正方形中未被小正方形覆蓋的陰影部分的面積＝6×6﹣4×2×2+3×23×2【考點(diǎn)9二元一次方程組的應(yīng)用之分段計(jì)費(fèi)問題】【例9】（2021春?南召縣期末）隨著“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代的到來，一種新型的打車方式頗受歡迎，該打車方式的總費(fèi)用由里程費(fèi)和耗時(shí)費(fèi)組成，其中里程費(fèi)按a元/km來計(jì)算，耗時(shí)費(fèi)按b元/分鐘計(jì)算（總費(fèi)用不足9元按9元計(jì)價(jià)），甲，乙兩人用該打車方式出行，按上述計(jì)價(jià)規(guī)則，其打車總費(fèi)用、行駛里程和平均車速見表：平均車速（km/h）里程（km）車費(fèi)（元）甲60812乙501016（1）求a，b的值；（2）星期日，王老師也用該打車方式行駛了11km，若平均車速為55km/h，求王老師這次打車的總費(fèi)用．【解題思路】（1）由表中數(shù)據(jù)列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）先求出王老師這次打車的時(shí)間，即可求解．【解答過程】解：（1）甲同學(xué)行駛里程為8km，時(shí)間為60×860乙同學(xué)行駛里程為10km，時(shí)間為60×1050由題意得：8a解得：a=1（2）王老師該次打車行駛里程為11km，時(shí)間為60×1155=12則11a+12b＝11×1+12×12答：王老師這次打車的總費(fèi)用為17元．【變式9-1】（2021?南平）某煤氣公司規(guī)定，每戶居民每月使用的煤氣費(fèi)由基本月租費(fèi)、保險(xiǎn)費(fèi)和超額費(fèi)組成．當(dāng)煤氣使用量不超過am3時(shí)，當(dāng)月需繳納保險(xiǎn)費(fèi)3元和基本月租費(fèi)b元；當(dāng)煤氣使用量超過am3時(shí)，超出的部分還要按3.2元/m3計(jì)費(fèi)．如果小紅家3月、4月煤氣使用量與繳費(fèi)情況如右表，其中僅3月份煤氣使用量未超過am3．月份煤氣使用量（m3）煤氣費(fèi)（元）3月4104月2058（1）請求出a，b的值；（2）如果小紅家5月份繳交煤氣費(fèi)42元，那么她家這個(gè)月煤氣使用量為多少m3？【解題思路】通過理解題意可知本題存在兩個(gè)等量關(guān)系，即“在不超過am3時(shí)，基本月租加保險(xiǎn)等于10元”和“超過am3時(shí)基本月租加保險(xiǎn)加超出費(fèi)用等于58元”，根據(jù)這兩個(gè)等量關(guān)系可列出方程組．【解答過程】解：（1）由題意得b解方程組得：b＝7，a＝5（2）若設(shè)5月份用煤氣xm3，則7+（x﹣5）×3.2+3＝42解得：x＝15答：5月份用煤氣15m3．【變式9-2】（2021春?北海期末）某市一種出租車的起步價(jià)為10元，兩位乘客分別乘這種出租車走了10km和14km，車費(fèi)分別為21.2元和27.6元，假設(shè)一路順利，沒有停車等候，且不考慮計(jì)程器計(jì)費(fèi)的某些特殊規(guī)定．請你算出這種出租車起步價(jià)所允許行駛的最遠(yuǎn)路程；并算出超過起步路程但行駛不到15km時(shí)，超過部分每千米車費(fèi)為多少元？【解題思路】設(shè)起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程是xkm，超過部分每千米車費(fèi)是y元，關(guān)鍵描述語：出租車的起步價(jià)為10元，兩位乘客分別乘這種出租車走了10km和14km，車費(fèi)分別為21.2元和27.6元．【解答過程】解：設(shè)起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程是xkm，超過部分每千米車費(fèi)是y元，則10+(10-解得：x=3答：起步價(jià)允許行駛的最遠(yuǎn)路程是3km，超過部分每千米車費(fèi)是1.6元．【變式9-3】（2021春?曾都區(qū)期末）水是生命之源，“節(jié)約用水，人人有責(zé)”．為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市居民生活用水按階梯式水價(jià)計(jì)費(fèi)，下表是該市居民“一戶一表”生活用水及階梯計(jì)費(fèi)價(jià)格表的部分信息（注：水費(fèi)按月份結(jié)算，m3表示立方米）每戶每月用水量（m3）自來水銷售價(jià)格（元/m3）污水處理價(jià)格（元/m3）不超出6m3部分a1.10超出6m3不超出10m3的部分b1.10超出10m3的部分7.001.10（注：①每戶產(chǎn)生的污水量等于該戶自來水用水量；②水費(fèi)＝自來水費(fèi)用+污水處理費(fèi)用）．已知2021年三月份，小紅家用水7m3，交水費(fèi)27.2元，小聰家用水9m3，交水費(fèi)38.4元．（1）請你根據(jù)以上信息，求表中a，b的值；（2）由于七月份正值夏天，小紅家預(yù)計(jì)用水12.5噸，求小紅家七月份預(yù)計(jì)應(yīng)繳水費(fèi)多少元？（3）若小聰家四、五月份共用水20m3，其中四月份的用水量低于五月份的用水量，共繳水費(fèi)89元，則小聰家四、五月份的用水量各是多少？【解題思路】（1）由題意：已知2021年三月份，小紅家用水7m3，交水費(fèi)27.2元，小聰家用水9m3，交水費(fèi)38.4元．列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）根據(jù)階梯計(jì)費(fèi)價(jià)格表和a、b的值進(jìn)行計(jì)算；（3）設(shè)小聰家四月份的用水量為xm3，則五月份的用水量為（20﹣x）m3．分兩種情況，分別列出一元一次方程，解方程即可．【解答過程】解：（1）由題意得：6(a解得：a=2.50（2）2.50+4.50＝7.00，則6×2.5+（10﹣6）×4.5+（12.5﹣10）×7.00+12.5×1.10＝64.25（元），答：小紅家七月份應(yīng)繳水費(fèi)64.25元；（3）設(shè)小聰家四月份的用水量為xm3，則五月份的用水量為（20﹣x）m3．∵x＜20﹣x，∴x＜10，即四月份的用水量低于10m．①當(dāng)0＜x≤6時(shí)，繳費(fèi)總量為：2.50x+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，解得x＝8＞6，不合題意，舍去；②當(dāng)6＜x＜10時(shí)，繳費(fèi)總量為：6×2.50+（x﹣6）×4.50+6×2.50+4×4.50+（20﹣x﹣10）×7.00+20×1.10＝89，解得：x＝9.6，此時(shí)20﹣x＝10.4，符合題意；答：小聰家四月份的用水量為9.6m3，五月份的用水量為10.4m3．【考點(diǎn)10二元一次方程組的應(yīng)用之方案設(shè)計(jì)問題】【例10】（2021春?鐵西區(qū)期末）一方有難，八方支援．“新冠肺炎”疫情來襲，除了醫(yī)務(wù)人員主動(dòng)請纓走向抗疫前線，眾多企業(yè)也伸出援助之手，某公司用甲、乙兩種貨車向武漢運(yùn)送愛心物資，兩次滿載的運(yùn)輸情況如表：甲種貨車（輛）乙種貨車（輛）總量（噸）第一次2110第二次1211（1）甲、乙兩種貨車每輛分別能裝貨多少噸？（2）現(xiàn)有31噸物資需要再次運(yùn)往武漢，準(zhǔn)備同時(shí)租用這兩種貨車，每輛均全部裝滿貨物，問有哪幾種租車方案？（3）在（2）的條件下，若1輛甲種貨車需租金100元/次，1輛乙種貨車需租金120元/次．請選出費(fèi)用最少的租車方案，并求出最少租車費(fèi)．【解題思路】（1）根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；（2）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的二元一次方程，然后根據(jù)輛數(shù)為整數(shù)，即可寫出相應(yīng)的租車方案；（3）根據(jù)（2）中的租車方案可以計(jì)算出相應(yīng)的費(fèi)用，然后比較大小即可．【解答過程】解：（1）設(shè)甲種貨車每輛能裝貨x噸，乙種貨車每輛能裝貨y噸，依題意得：2x解得：x=3答：甲種貨車每輛能裝貨3噸，乙種貨車每輛能裝貨4噸；（2）設(shè)租用甲種貨車a輛，乙種貨車b輛，依題意得：3a+4b＝31，又∵a，b均為非負(fù)整數(shù)，∴a=9b=1或a∴共有3種租車方案，方案1：租用9輛甲種貨車，1輛乙種貨車；方案2：租用5輛甲種貨車，4輛乙種貨車；方案3：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車．（3）方案1所需租車費(fèi)為：100×9+120×1＝1020（元），方案2所需租車費(fèi)為：100×5+120×4＝980（元），方案3所需租車費(fèi)為：100×1+120×7＝940（元），∵1020＞980＞940，∴費(fèi)用最少的租車方案為：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車，最少租車費(fèi)為940元，答：費(fèi)用最少的租車方案為：租用1輛甲種貨車，7輛乙種貨車，最少租車費(fèi)為940元．【變式10-1】（2021?羅山縣一模）列方程組解應(yīng)用題：開學(xué)初，某中學(xué)八（1）班學(xué)生去商場購買了A品牌足球1個(gè)、B品牌足球2個(gè)，共花費(fèi)210元，八（2）班學(xué)生購買了A品牌足球3個(gè)、B品牌足球1個(gè)，共花費(fèi)230元．（1）求購買一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需多少元？（2）為響應(yīng)習(xí)總書記“足球進(jìn)校園”的號(hào)召，學(xué)校使用專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)1500元全部購買A、B兩種品牌的足球供學(xué)生使用，那么學(xué)校有多少種購買足球的方案？請分別設(shè)計(jì)出來．【解題思路】（1）設(shè)A種品牌足球的單價(jià)為x元，B種品牌足球的單價(jià)為y元，根據(jù)“購買了A品牌足球1個(gè)、B品牌足球2個(gè)，共花費(fèi)210元，購買了A品牌足球3個(gè)、B品牌足球1個(gè)，共花費(fèi)230元”可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論；（2）設(shè)第二次購買A種足球a個(gè)，則購買B種足球b個(gè)，根據(jù)“使用專項(xiàng)經(jīng)費(fèi)1500元全部購買A、B兩種品牌的足球供學(xué)生使用”可得出關(guān)于a，b的二元一次方程，由此即可得出結(jié)論．【解答過程】解：（1）設(shè)A品牌需要要x元，B品牌y元，x+2解得x=50答：購買一個(gè)A種品牌、一個(gè)B種品牌的足球各需50元，80元；（2）設(shè)購買A種產(chǎn)品a個(gè)，B種b個(gè)50a+80b＝1500，其中a≥0，b≥0①b＝5，a＝22．②b＝10，a＝14．③b＝15，a＝6．④a＝15，b＝0．【變式10-2】（2018春?郾城區(qū)期