2020-2021高中數(shù)學(xué)北師大版1學(xué)案：1.1 集合的含義與表示含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)北師大版必修1學(xué)案：1.1集合的含義與表示含解析第一章集合§1集合的含義與表示知識(shí)點(diǎn)一元素與集合的相關(guān)概念[填一填][答一答］1．（1）集合中的元素可以是相同的嗎？提示：不可以．集合中的元素必須是不同的,同一個(gè)元素在一個(gè)集合中只可以出現(xiàn)一次,即集合中的元素是互異的．（2)判斷一組對(duì)象能否構(gòu)成集合的關(guān)鍵是什么？提示:關(guān)鍵是這些對(duì)象是否滿足確定性與互異性．知識(shí)點(diǎn)二元素與集合的關(guān)系及元素的特性[填一填］（1)元素a與集合A的關(guān)系：關(guān)系eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(屬于：a是集合A的元素,記作a∈A,讀作“a屬于A”.,不屬于：a不是集合A的元素,記作a?A，讀作“a不，屬于A"。)）(2）集合元素的特性：集合中元素的特性為確定性、互異性、無(wú)序性．[答一答］2．(1)元素與集合之間除了“∈”和“?”外，還有其他關(guān)系嗎?提示：沒(méi)有．元素與集合之間只有兩種關(guān)系，任何一個(gè)元素與一個(gè)集合間，兩種關(guān)系必有一種成立．(2)如何判定一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合?提示：判定一個(gè)元素是否屬于某個(gè)集合,關(guān)鍵是看這個(gè)元素是否符合集合中元素的特征性質(zhì)，只有符合其特征性質(zhì)才是這個(gè)集合中的元素．知識(shí)點(diǎn)三列舉法［填一填]把集合中的所有元素都列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)“{}"內(nèi)表示集合的方法．[答一答]3．(1)列舉法是否可以表示所有的集合呢?說(shuō)明理由．提示：不可以．對(duì)于集合中元素個(gè)數(shù)有無(wú)限個(gè)且沒(méi)有規(guī)律的集合是不可以用列舉法表示的．（2）用列舉法表示集合的關(guān)鍵是什么？提示：關(guān)鍵是找到集合中的所有元素，并把它們一一列舉出來(lái)或找到其呈現(xiàn)的規(guī)律．知識(shí)點(diǎn)四描述法［填一填］集合的特征性質(zhì)及描述法（1）集合的特征性質(zhì):如果在集合I中，屬于集合A的任意一個(gè)元素x都具有性質(zhì)p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有性質(zhì)p（x)，則性質(zhì)p（x）叫做集合A的一個(gè)特征性質(zhì)．(2）描述法表示集合：[答一答]4．(1）是否存在集合既可以用列舉法表示又可以用描述法表示?請(qǐng)舉例說(shuō)明．提示:存在．比如正奇數(shù)的集合可以表示為{1,3，5,7，…}，也可以表示為｛x|x＝2n＋1，n∈N｝．但是也有些集合是不可以的，如大于1的實(shí)數(shù)只能用描述法表示為｛x｜x〉1，x∈R}．(2)集合A＝｛x|x>1｝與B＝{t|t〉1｝是否表示同一個(gè)集合？提示:是．雖然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于1的所有實(shí)數(shù)組成的集合，因而表示同一個(gè)集合．1．對(duì)集合概念的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)集合是數(shù)學(xué)中不加定義的原始概念，我們只對(duì)它進(jìn)行描述性說(shuō)明．(2）集合是一些能夠確定的不同的對(duì)象的整體，其中“整體”已暗含“所有”“全部"“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦構(gòu)成集合，那么這個(gè)集合就是這些對(duì)象的全體，而并非個(gè)別對(duì)象．2．0、含有一個(gè)元素0的集合A、?，三者之間的區(qū)別與聯(lián)系(1)0與A是不同的，0只是一個(gè)數(shù)字，而集合A則表示含有一個(gè)元素0的集合，它們的關(guān)系是0∈A.(2）?與A是不同的，?中沒(méi)有任何元素，而A則表示含有一個(gè)元素0的集合，它們之間的關(guān)系是兩個(gè)集合之間的關(guān)系．3．對(duì)集合的分類的兩點(diǎn)說(shuō)明（1）集合通常是按照集合中元素個(gè)數(shù)來(lái)分類，如果集合中有有限個(gè)元素,則為有限集；如果是有無(wú)限個(gè)元素，則為無(wú)限集．(2)常見的自然數(shù)集、正整數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集都是無(wú)限集，它們的表示符號(hào)一定要牢記．4．列舉法表示集合時(shí)應(yīng)關(guān)注的五點(diǎn)(1)用列舉法表示集合時(shí)首先要注意元素是數(shù)、點(diǎn),還是其他的對(duì)象，即確定性．（2)元素之間用“,"隔開而非“；"．（3)元素不能重復(fù)且無(wú)遺漏．(4)“｛｝”本身帶有“所有的…”或“…的全體（全部）”的意思,因此在大括號(hào)內(nèi)表示內(nèi)容時(shí)，應(yīng)把“所有"“全部”或“全體”等詞語(yǔ)刪去．(5）表示有特殊規(guī)律的無(wú)限集時(shí),必須把元素間的規(guī)律表示清楚后才可以用省略號(hào)．5．描述法表示集合應(yīng)關(guān)注的五點(diǎn)（1）寫清楚集合中代表元素的符號(hào),如實(shí)數(shù)或有序?qū)崝?shù)對(duì)(點(diǎn)），注意集合中對(duì)代表元素符號(hào)的范圍進(jìn)行限制,若沒(méi)有注明范圍，一般是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)考慮問(wèn)題．（2)說(shuō)明該集合中元素具有的性質(zhì)，如方程、不等式、函數(shù)或幾何圖形等．（3)描述部分若出現(xiàn)元素符號(hào)以外的字母時(shí)，要對(duì)新字母說(shuō)明其含義并指出其取值范圍．(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在大括號(hào)內(nèi)，用于描述的語(yǔ)句力求簡(jiǎn)明、確切．（5）多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，并且所有描述的內(nèi)容都要寫在集合符號(hào)內(nèi)。類型一集合的概念【例1】判斷下列每組對(duì)象能否構(gòu)成一個(gè)集合：（1）數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題；(2)滿足不等式2x－1≥1的x的值；（3)方程x2－3x＋1＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解;（4)π的近似值的全體．【思路探究】此類題目應(yīng)先分析各組對(duì)象是否具有確定性和互異性，然后再作判斷．【解】（1)“難題"無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某個(gè)題是否“難”無(wú)法客觀地判斷，故“數(shù)學(xué)必修1課本中所有的難題”不能構(gòu)成一個(gè)集合．（2）任意給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地判斷x是不是“滿足不等式2x－1≥1的x的值”，即“x≥1”與“x<1”兩者必居其一，且僅居其一，故“滿足不等式2x－1≥1的x的值"能構(gòu)成一個(gè)集合．(3)任意給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地判斷x是不是方程x2－3x＋1＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解，即“x2－3x＋1＝0”與“x2－3x＋1≠0”兩者必居其一,且僅居其一，故“方程x2－3x＋1＝0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的解”能構(gòu)成一個(gè)集合．（4）“π的近似值"沒(méi)有明確精確到什么程度，因此很難判斷一個(gè)數(shù)是不是π的近似值，故“π的近似值的全體”不能構(gòu)成一個(gè)集合．規(guī)律方法判斷指定的對(duì)象的全體能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于任何一個(gè)對(duì)象，都能確定它是否是給定集合的元素．下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的有1個(gè)．（1）平昌冬奧會(huì)速滑比賽中滑得很快的選手；(2)一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0）的圖像上的若干個(gè)點(diǎn)；(3）不超過(guò)2019的非負(fù)數(shù)．解析：(1）“滑得很快”無(wú)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)于某位選手是否“滑得很快”無(wú)法客觀地判斷,因此，“平昌冬奧會(huì)速滑比賽中滑得很快的選手”不能構(gòu)成一個(gè)集合．（2)“若干個(gè)點(diǎn)”是模糊的概念,因此與之對(duì)應(yīng)的對(duì)象都是不確定的，自然它們不能構(gòu)成集合,故“一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）的圖像上的若干個(gè)點(diǎn)”不能構(gòu)成一個(gè)集合．(3）任給一個(gè)實(shí)數(shù)x，可以明確地判斷x是不是“不超過(guò)2019的非負(fù)數(shù)”，即“0≤x≤2019"與“x〈0或x>2019”，兩者必居其一,且僅居其一,故“不超過(guò)2019的非負(fù)數(shù)”能構(gòu)成一個(gè)集合．類型二元素和集合的關(guān)系【例2】（1）若3∈{m－1,3m，m2－1}，則m（2)若2?{x|x－a≥0｝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【思路探究】當(dāng)a∈A時(shí)，若集合A是用描述法表示的,則a一定滿足集合中元素的共同特征．若集合A是用列舉法表示的,則a一定等于集合A中的某個(gè)元素．當(dāng)a?A時(shí)，結(jié)論相反．【解析】（1)因?yàn)?∈｛m－1，3m，m2－1}，所以當(dāng)m－1＝3時(shí)，m＝4,此時(shí)3m＝12，m2－1＝15，符合題意．當(dāng)3m＝3時(shí)，m＝1,此時(shí),m－1＝0,m2－1＝0,不符合集合中元素的互異性．當(dāng)m2－1＝3時(shí)，m＝2或－2，若m＝2，則m－1＝1,3m＝6，符合題意；若m＝－2，則綜上知m＝4，2或－2。（2)由2?{x｜x－a≥0}得2－a〈0，所以a>2.【答案】（1)4，2或－2(2）a>2規(guī)律方法a∈A與a?A取決于a是不是集合A中的元素．根據(jù)集合中元素的確定性，可知對(duì)任何a與A，在a∈A與a?A這兩種情況中必有一種且只有一種成立．已知集合M中有兩個(gè)元素3,m＋1，又4∈M，則實(shí)數(shù)m的值為(B)A．4 B．3C．2 D．1解析:由題意得m＋1＝4，即m＝3。類型三集合的表示【例3】用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝薪o定的集合：(1)大于1且小于6的整數(shù)組成的集合A;(2)式子eq\f(|a｜，a)＋eq\f（｜b｜,b)(a≠0，b≠0)的所有值組成的集合C;(3）不等式2x－7<3的解集A;(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．【思路探究】（1)用列舉法表示集合的關(guān)鍵是把集合的元素全部找出來(lái)，再按列舉法的規(guī)則正確表示．（2)用描述法表示集合的關(guān)鍵是正確描述出集合元素的共同特征,再按描述法的格式正確表示．【解】(1）大于1且小于6的整數(shù)有2,3,4，5，所以集合A＝｛2,3,4，5｝．（2）當(dāng)a>0，b〉0時(shí)，eq\f(｜a｜,a）＋eq\f（|b｜，b)＝2.當(dāng)a〈0，b〈0時(shí)，eq\f（｜a｜，a）＋eq\f(｜b｜,b)＝－2。當(dāng)a〉0，b〈0時(shí)，eq\f(|a|,a)＋eq\f（|b|,b)＝0。當(dāng)a〈0，b>0時(shí)，eq\f(｜a|，a）＋eq\f（｜b|,b)＝0.所以集合C＝{－2，0,2}．(3）解2x－7<3得x<5，所以A＝｛x｜x〈5}．(4)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的共同特征是至少有一個(gè)坐標(biāo)為0，所以D＝｛（x，y)|x·y＝0,x∈R，y∈R}．規(guī)律方法列舉法表示集合時(shí)要注意集合元素的互異性、無(wú)序性和確定性，元素與元素之間用“逗號(hào)”隔開．集合所含元素較少或所含元素不易表述時(shí)適用列舉法．描述法表示集合時(shí)要表述清楚元素的屬性．集合所含元素較多或所含元素較易表述時(shí)適用描述法．常用的點(diǎn)集與數(shù)集的表示要區(qū)分開．用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?）所有能被3整除的整數(shù);(2）滿足方程x＝|x｜的所有x的值構(gòu)成的集合．解:（1)能被3整除的整數(shù)可以表示為3n(n∈Z)，所以用描述法表示為{x|x＝3n，n∈Z｝．（2)｛x｜x＝|x|｝或{x｜x≥0}．類型四集合表示法的綜合應(yīng)用【例4】已知集合A＝{x｜ax2＋2x＋1＝0}．(1）若A中沒(méi)有任何元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2）若A中只有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(3)若A中至少有一個(gè)元素,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(4)若A中至多有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【思路探究】集合A是由方程ax2＋2x＋1＝0的解構(gòu)成的集合．二次項(xiàng)系數(shù)a在整個(gè)實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值，要對(duì)a＝0和a≠0進(jìn)行分類討論．A中只有一個(gè)元素，可以是方程只有一個(gè)根，也可以是方程有兩個(gè)等根．【解】（1)若A中沒(méi)有任何元素，則關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0無(wú)實(shí)根．當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－eq\f(1，2),不符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝4－4a〈0,解得a∴當(dāng)a>1時(shí)，A中沒(méi)有任何元素．（2)若A中只有一個(gè)元素，則關(guān)于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根或有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝4－4a＝0，得a當(dāng)a＝0時(shí),x＝－eq\f(1,2)，符合題意．∴當(dāng)a＝0或1時(shí),A中只有一個(gè)元素．（3）由(2)知，A中只有一個(gè)元素時(shí),a＝0或a＝1.A中有兩個(gè)元素時(shí),有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a≠0，，Δ〉0，)）解得a〈1，且a≠0，綜上，當(dāng)a≤1時(shí)，A中至少有一個(gè)元素．（4）若A中至多有一個(gè)元素,綜合（1）(2)知a的取值范圍為a≥1或a＝0.規(guī)律方法本題考查了數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．分類討論思想適用于解決從整體上難以解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題．運(yùn)用該思想時(shí)，把問(wèn)題進(jìn)行科學(xué)規(guī)劃非常必要，必須遵循不重、不漏和最簡(jiǎn)的原則．(1）設(shè)集合A＝{－1，0，1｝，B＝｛0,1，2｝，若x∈A,且x?B,則x＝(A)A．－1 B．0C．1 D．2解析：只有元素－1滿足x∈A，且x?B.(2）若集合P含有兩個(gè)元素1，2,集合Q含有兩個(gè)元素1，a2，且P，Q相等,則a＝±eq\r（2).解析：由P，Q相等，得a2＝2，從而a＝±eq\r（2）。經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意．-—易錯(cuò)誤區(qū)—-忽略集合中元素的互異性【例5】已知集合A是由1,3，a2＋a，a＋1四個(gè)元素構(gòu)成的,若a∈A，求實(shí)數(shù)a的值．【錯(cuò)解】①若a2＋a＝a，則a＝0；②若a＋1＝a,則a∈?.所以實(shí)數(shù)a的值為0,1，3.【正解】①當(dāng)a＝1時(shí)，集合A中元素為1，3，2，2，不滿足集合中元素的互異性，舍去；②當(dāng)a＝3時(shí)，集合A中元素為1,3，12,4，符合題意；③當(dāng)a＝a2＋a,即a＝0時(shí),集合A中元素為1，3,0，1，不滿足集合中元素的互異性，舍去;④當(dāng)a＝a＋1時(shí)，a不存在．綜上所述，實(shí)數(shù)a的值為3。【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了當(dāng)a＝0或a＝1時(shí),集合A中的元素不滿足互異性．【防范措施】集合中元素要求具備“確定性”“互異性”“無(wú)序性”，在解題時(shí)應(yīng)特別留意互異性，否則極易出現(xiàn)增解．已知集合A中含有三個(gè)元素0，1，x,若x2∈A，求實(shí)數(shù)x的值．分析：既然x2是集合中的元素,則它既可能是1，也可能是0，或者是x，需對(duì)其進(jìn)行分類討論．解：(1）當(dāng)x2＝0時(shí)，得x＝0，此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同的元素，舍去．(2）當(dāng)x2＝1時(shí)，得x＝±1。若x＝1，此時(shí)集合A中有兩個(gè)相同的元素,舍去；若x＝－1，此時(shí)集合A中有三個(gè)元素0,1，－1，符合題意．(3）當(dāng)x2＝x時(shí),得x＝0或x＝1，由上可知都不符合題意．綜上可知，符合題意的x的值為－1.一、選擇題1．下列語(yǔ)句所描述的對(duì)象的全體能構(gòu)成集合的是（C)A．校內(nèi)喜歡體育的學(xué)生B．本班視力良好的學(xué)生C．參與國(guó)慶60周年大閱兵的所有徒步方隊(duì)D．本班身材高大的學(xué)生解析：判斷所給的對(duì)象能否構(gòu)成集合，關(guān)鍵是理解集合的概念,明晰集合中元素的性質(zhì)，其中“確定性”是關(guān)鍵．選項(xiàng)A中“喜歡",選項(xiàng)B中“良好”，選項(xiàng)D中“高大"均沒(méi)有明確的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，所描述的對(duì)象不滿足集合