不規(guī)則物體的質(zhì)心計(jì)算和展示

不規(guī)則物體的質(zhì)心計(jì)算和展示第一頁，共十八頁，2022年，8月28日§1質(zhì)心水平上拋三角板運(yùn)動(dòng)員跳水投擲手榴彈其中為質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量若令系統(tǒng)總動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的整體運(yùn)動(dòng)可以等效為一個(gè)假想質(zhì)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)。如何確定這個(gè)點(diǎn)的位置？第二頁，共十八頁，2022年，8月28日質(zhì)心(質(zhì)量中心)：質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的平均位置。直角坐標(biāo)系中，各分量的表達(dá)式點(diǎn)C的位矢是質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)位矢的質(zhì)量加權(quán)平均。例：任意三角形的每個(gè)頂點(diǎn)有一質(zhì)量m，求質(zhì)心。xyo（x1,y1）x2對(duì)兩質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，質(zhì)心位置總滿足關(guān)系式：m1d1

=m2d2··×d1d2Cm1m2o第三頁，共十八頁，2022年，8月28日對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體，將其分為n個(gè)小質(zhì)元直角坐標(biāo)系中的分量表達(dá)式坐標(biāo)系的選擇不同，質(zhì)心的坐標(biāo)也不同；密度均勻，形狀對(duì)稱的物體，其質(zhì)心在物體的幾何中心處；質(zhì)心不一定在物體上，例如：圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上。線分布：面分布：體分布：第四頁，共十八頁，2022年，8月28日例：已知半圓環(huán)質(zhì)量為Ｍ，半徑為Ｒ求：它的質(zhì)心位置？解：建立坐標(biāo)系如圖,取dl→dm=ldldl=Rd線密度由對(duì)稱性質(zhì)心不在物體上，但相對(duì)半圓環(huán)位置固定第五頁，共十八頁，2022年，8月28日例：求半徑為R的半球形球殼的質(zhì)心半球殼的總質(zhì)量為如圖將球殼細(xì)分成無數(shù)多細(xì)環(huán)，細(xì)環(huán)半徑記為r，設(shè)球殼質(zhì)量面密度為s，則其中任一細(xì)環(huán)的質(zhì)量為解：根據(jù)對(duì)稱性，細(xì)環(huán)的質(zhì)心位于y軸。半球殼質(zhì)心的位置第六頁，共十八頁，2022年，8月28日例：計(jì)算如圖所示的面密度σ為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標(biāo)系取微元ds=dxdy，質(zhì)量為dm=σds=σdxdy∴質(zhì)心的x坐標(biāo)為從圖中看出三角形斜邊的方程為同理∴質(zhì)心的坐標(biāo)為

第七頁，共十八頁，2022年，8月28日例：半徑為R的大球內(nèi)有一個(gè)半徑為R/2的球形空腔，空腔的下部放置了一個(gè)半徑為R/4的小球。已知大球和小球的質(zhì)量密度相同。求：系統(tǒng)的質(zhì)心。解：該系統(tǒng)可看成由質(zhì)量分布均勻(無空腔)的大、中、小三個(gè)球體組成，它們各自的質(zhì)心分別處于球心處。中球的質(zhì)量為負(fù)。大球：中球：小球：設(shè)小球質(zhì)量為m0，則質(zhì)量和質(zhì)心坐標(biāo)分別為：系統(tǒng)的總質(zhì)量為三個(gè)球體可視為質(zhì)量各自集中在質(zhì)心（球心）處的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)。第八頁，共十八頁，2022年，8月28日實(shí)例第九頁，共十八頁，2022年，8月28日重心是重力的作用點(diǎn)，質(zhì)心是系統(tǒng)質(zhì)量分布的中心。當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球而不受重力作用時(shí)，重心這個(gè)概念就失去意義，但質(zhì)心卻依然存在。除非重力場(chǎng)均勻，否則系統(tǒng)的質(zhì)心與重心通常不重合?！镏匦?CenterofGravity)和質(zhì)心(

Center-of-Mass)是兩個(gè)不同的概念：★質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)代表著質(zhì)點(diǎn)系整體的運(yùn)動(dòng)，與單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同。這正是將實(shí)際物體抽象為質(zhì)點(diǎn)模型的實(shí)質(zhì)。質(zhì)點(diǎn)系的任何運(yùn)動(dòng)一般都可分解為質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)和相對(duì)于質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)

小線度物體（其上各處相等），質(zhì)心和重心是重合的。

作用在物體上各部分的重力方向平行；重力加速度可以視為常數(shù)。對(duì)于地球上體積不太大的物體，重心與質(zhì)心的位置是重合的。但當(dāng)物體的高度和地球半徑相比較不能忽略時(shí)，兩者就不重合了，如高山的重心比質(zhì)心要低一些。第十頁，共十八頁，2022年，8月28日第十一頁，共十八頁，2022年，8月28日z'ri'x'y'xyzmircri§2質(zhì)心參考系質(zhì)心參考系是固結(jié)在質(zhì)心上的平動(dòng)參考系。質(zhì)心在其中靜止，一般選取質(zhì)心作為坐標(biāo)系的原點(diǎn)。質(zhì)心系不一定是慣性系，只有合外力為零時(shí)質(zhì)心系才是慣性系。質(zhì)心系中的速度求導(dǎo)從質(zhì)心系中來看，系統(tǒng)總動(dòng)量=0，零動(dòng)量參考系動(dòng)量守恒在討論碰撞及天體運(yùn)動(dòng)時(shí)經(jīng)常用到質(zhì)心系?？ㄈ?冥衛(wèi)一)和冥王星組成雙星系統(tǒng)，它們的共同質(zhì)心在冥王星表面以外。第十二頁，共十八頁，2022年，8月28日§3質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理1、系統(tǒng)的總動(dòng)量

系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積········×CmivCvirCrizyxO2、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理

質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律：作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量與系統(tǒng)質(zhì)心加速度的乘積。與描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的牛頓第二定律在形式上完全相同。整體的運(yùn)動(dòng)→單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與內(nèi)力無關(guān)，僅取決于外力，如大力士不能自舉其身。若質(zhì)點(diǎn)系受到的外力的矢量和為零，則質(zhì)心靜止或作勻速直線運(yùn)動(dòng)第十三頁，共十八頁，2022年，8月28日oz例：柔繩下落一質(zhì)量m

長(zhǎng)度為l

均勻柔繩豎直懸掛，其下端剛剛與地面接觸。今使之自靜止?fàn)顟B(tài)下落，求：繩下落到所剩的長(zhǎng)度為z時(shí)，地面對(duì)繩的作用力。設(shè)地面對(duì)繩子的作用力N，繩子的質(zhì)心加速度

ac

，建立如圖所示坐標(biāo)系，對(duì)整個(gè)繩子：未落地部分：質(zhì)量，質(zhì)心的坐標(biāo)為，解：取整條繩子為研究對(duì)象，將柔繩視為質(zhì)點(diǎn)系，采用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。質(zhì)心的坐標(biāo)：未落地部分+已落地部分整條繩的質(zhì)心坐標(biāo)為質(zhì)心的速度為質(zhì)心的加速度為第十四頁，共十八頁，2022年，8月28日例：車在船上的運(yùn)動(dòng)船長(zhǎng)l1，質(zhì)量m1；汽車長(zhǎng)l2，質(zhì)量m2。汽車從船尾由靜止開始向船頭運(yùn)動(dòng)，到達(dá)船頭時(shí)恰好相對(duì)船靜止，求：由于汽車的運(yùn)動(dòng)而使船移動(dòng)的距離。解：在水平方向上，車和船組成的系統(tǒng)所受外力為零，動(dòng)量守恒。方法1

用動(dòng)量守恒定律（略）外力=0，系統(tǒng)質(zhì)心保持靜止方法2

用質(zhì)心的概念m1m2設(shè)初始船和車的坐標(biāo)分別為x10和x20，根據(jù)質(zhì)心坐標(biāo)的定義得t0時(shí)刻t時(shí)刻兩式相減得車的絕對(duì)位移為：船移動(dòng)的距離車的相對(duì)位移第十五頁，共十八頁，2022年，8月28日解：考慮彈丸為一系統(tǒng)；爆炸前后系統(tǒng)所受外力沒變，彈丸的質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡都在同一拋物線上。取第一塊碎片的落地點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為正方向，設(shè)m1和m2為兩個(gè)碎片的質(zhì)量；設(shè)x1和x2為兩塊碎片落地點(diǎn)距原點(diǎn)的距離；xc為彈丸質(zhì)心距原點(diǎn)的距離。由于x1=0，m1=m2=m即第二塊碎片的落地點(diǎn)的水平距離為碎片質(zhì)心與第一塊碎片水平距離的兩倍。例：設(shè)一個(gè)質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩塊碎片。其中一塊碎片豎直自由下落，另一塊碎片水平拋出，它們同時(shí)落地。試問第二塊碎片落地點(diǎn)在何處？第十六頁，共十八頁，202