求解排列組合應用題“字訣”

求解排列合應用題的八字訣”分—注意利用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理解題。對于一個比較復雜的排列組合應用問題；通常情況下，可以通過“分類等手段分解成若干個易于解決的小問題，然后各個擊破之。特—從特殊的元素、特殊的位置入手解題。附條件的排列組合應用問題往往涉及一些特殊的元素或特殊的位置；對特殊的元素和特殊的位置作特殊的照顧，則容易找到通向成功之路的入口處。反—利用“正難則反”的原則解題。當問題的正面情況錯綜復雜時，即正面進攻很難奏效時，可以考慮從問題的反面入手，有時會幫你進入“柳暗花明”的境界。等—利用概率相等解題。充分利用各元素在每個位置上出現(xiàn)的概率相等，有時可以直搗題目結論?；⒁庥棉D化思想指導解題。許多排列組合應用問題，表面上看似乎是風馬牛不相及，若能用轉化的思想方法剝去其外包裝，則會發(fā)現(xiàn)其本質是相同的，僅僅是問題的“情境”不同而已。轉化思想是我們通向成功彼岸的指路明燈，對此要引起特別的重視。捆—解決若干元素必須排在一起的重要解題技巧。插—解決若干元素必須互不相鄰的重要解題技巧。推—運用遞推關系解決排列組合應用問題。遞推方法是把復雜問題化歸為簡單問題，未知問題轉化為已知問題的重要手段之一，也是應用轉化思想指導解題的重要體現(xiàn)。若能對上述“八字訣”做到爛熟于心，又能對具體情況作具體分析，合理地選擇方法和技巧，并綜合運用之；則通常情況下能立于不敗之地。下面通過幾個例題的解答和評注，說明“八字訣”的具體應用。例21994年上?？碱}）計劃在某畫廊展示出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，幅油畫，5國畫成一行陳列要同一品種的畫必須放在一起并且彩畫不放在兩端那么不同的陳列方）種A

44

5

B

A35

4A545

C

3

545

D．

2

4A545解：一步：確定4幅油畫的相對位置（捆在一起）的方法數(shù)

4

.第二步：確定5幅國畫的相對位置（捆一起）的方法數(shù)A.5第三步：確定國畫和油畫的相對位置的方法數(shù)

，再把水彩畫插在國畫和油畫之間1.2∴滿足條件的陳列方式有：

442

種故選D評注：由本題的主要附加條件“連在一起故容易相到使用“捆”技巧。例3全國高考題從方體的6個面中選取3個面其中有兩個面不相鄰的選法共（）A.8種B.12種C.16種D.20解評：于正面考慮比較復雜，而問題的反面即為三個面兩兩相鄰，難即

36

種故選B例4五個成年人和兩個小孩（一男一女）排成一排照相，要求每個小孩兩邊都是成年人，且小女孩要和其母親（五個成年人之一）排在一起，問：有多少種不同的排法？解第一步其他四位成年人中選出一人和小女孩的母親排在小女孩的兩邊成女母方法數(shù)為：

14

。2第二步：把“成女母”看成一個成年人和另外三位成年人排成一排的方法數(shù)：

4

24

第三步：把小男孩插入相應的位置的方法數(shù)為：

A13

.∴滿足條件的排法數(shù)為：824×3=576.評注：①由于小女孩最為特殊，故首先照顧小女孩，即從特殊的元素入手；②小女孩必須和母親在一起，且兩邊都是成年人，故易想到用“捆”的技巧；③由于小男孩必須排在兩成年人之間，故可采用“插”的技巧。例編號為1.2.3??的個人，坐到編號為1.2.3?n的把椅上，且每個人都不對號入座的方法數(shù)記為。求，xn1

,x,23

。解：易見：,

x，3

，∵n人坐到n不同的椅子上的方法數(shù)為有且僅有n個對號入座的方法數(shù)為：

An

。其中：有且僅有（）個人對號入座的方法數(shù)為：

1n

.有且僅有（）個人對號入座的方法數(shù)為：

Cn

2

.有且僅有（）個人對號入座的方法數(shù)為：

C

3xn

.????????????????????有且僅有（n-k）個人對號入座方法數(shù)為：

C

kn

x

k

.????????????????????有且僅有1個人對號入座的方法數(shù)為：

nn

n

.有且僅有0個人對號入座的方法數(shù)為：n∴

AC1x+n1

2n

x

2

+

C

3xn

+??+

Cn

n

+xn令可得：24=1+

C2x+Cxx=1+6+8+x444

∴x4令可得：120=1+

C

2+Cx+C5535

x+x，x=44.45首先我們把人數(shù)推廣到n個，即n個排成一列，重新站隊時，各人都不站在原來的位置上設足這樣的站隊方式有an種現(xiàn)我們來通過合理分步恰當分類找出遞推關系：第一步：第一個人不站在原來的第一個位置，有n-1種法。第二步假設第一個人站在第個置則第二個人的站法又可以分為兩類第一，第二個人恰好站在第一個位置，則余下的個人有種站隊方式；第二類，第二個人不站在第一個位置則就是第二個人不站在第一個位置三個不站在第三個位置第四個人不站在第四個位置，，第個人不站在第n個位置，所以有an-1種隊方式。

由分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，我們便得到了數(shù)列an的推關系式：an=(n-1)*(an-1+an-2)，顯然，，a3=2,a4=9,a5=44評注：①給出的問題本身就有點遞推數(shù)列的“味道選擇遞推方法解之。②在實施遞推策略的過程中，注意到問題的反面——至少有一人對號入座的問題已經解決，故又使用了“正難則反”的解題策略。③從理論上講，上述給出的公式已徹底解決了個元素n個置的錯位排列問題。例1993年全國高考題）同4然后每人從中拿一張別人送出的賀年卡，4張年卡的不同分配方式有（）A.6種

B.9

種

解評：本題可轉化為：編號為：1.2.3.4的四個人坐在編號為的四把椅上，人都不對號入座的方法數(shù)為多少？由例可知：x4故選（B）.例：4夫妻排成一排照相，每對夫妻要排在一起的方法數(shù)為多少？解：第一步：請每對夫妻各自手拉手（捆）的方法數(shù)為：2×22×2=16.第二步：把每對夫妻看成一個人排成一排的方法數(shù)為：

4

.∴滿足條件的排法數(shù)為：16×24=384.評注：由于每對夫妻要排在一起，故使用先捆后排的策略。例．4對夫妻排成前后兩排，每排人，使每對夫妻前后對號的排法有多少種？解評：易見本題和例7是同一個問題，故方法數(shù)為例９．４對夫妻排成前后兩排，每排４人，使每對夫妻前后都不對號的排法有多少種？解：第一步：對四對夫妻進行重新組合，建立４個新的臨時家庭，使每個家庭一男一女，但不是夫妻，由例可知其方法數(shù)為＝９4第二步：對四個臨時家庭進行排隊，由例８解法可知，其方法數(shù)為∴滿足條件的排法數(shù)為：9384=3456.評注：本題看似復雜，但利用分步計數(shù)原理可以分解為兩個小題，事實上本題可以看成是由例6和例組合并成的。各寫一張賀年卡，先集中起來，二

知識要點(一兩個計數(shù)原理:分類計數(shù)理:做一件事,完成它可以有類辦法在第一類辦法中有m種不同的方法第二類辦法中有種不同的方法?n類法中有m種不同的方法,那完成這件事共=+m++?m種不同的方法.分類滿足的條件是不重不漏)分步計數(shù)理:做一件事完成它需要分成n個步,做第一步有種不同的方法做第二步有種不同的方法,?步有m種不同的方法那么完成這件事共=××m×?×種不同的方法(意分步的標準既不重步也不漏步).注意:兩個原理是決以后問題的基,多數(shù)的問題在解決的最,都可以歸結到這兩個原理上,特要注意分步與分類的區(qū)別(二排列排列的定:從個不同元素中,任(m≤n)個元素被取出的元素各不相同),按照定的順序排成一列,叫從n個元素中取出個元素的一個排列(有序性是排列的本)

排列數(shù)的義:從n個元素中取(≤n個元素的所有排列的個數(shù),叫做n個素中取出m元素的排列數(shù),用號

n

表示.排列數(shù)公:時排列稱為選排列排列數(shù)為

((nn

(必須熟記)時排列稱為全排列排列數(shù)為

n

(n規(guī)0!.列數(shù)公式的另一種形式

An

!()!

(在計算化簡證明中用途比較大).個性質:①

AnAn

;

mAnn

Amn

.(三組合組合的定:n個不同元素中,任m(m≤n)個素并成一組,叫個元素中取元素的一個組合(組合中的元素與順序無關)組合數(shù)的義:從n個元素中取(≤n個元素的所有組合的個數(shù),叫做n個素中取出m元素的組合數(shù),用號

C

m

表示.組合數(shù)公:本公式

Cmn

AnAm

(n(nm(m2)

(必須熟記)合數(shù)公式的另一種形:C.n

Cmn

!!()!

(m,N*)

(在計算,化簡,證中用途比較).規(guī)個性質:①

mn

nn

;

Cn

n

mn

.(個很重要的公式定要記住).排列組合見問題解策略:特殊元素優(yōu)先安排的策略合理分類與準確分步的策略;排列、組合混合問題先選后排的策略正難則反、等價轉化的策略;相鄰問題捆綁處理的策略不相鄰問題插空處理的策略;定序問題除法處理的策略分排問題直排處理的策略“小集團”列問題中先整體后局部的策略;構造模型的策略.(四二項式定理二項式定:一般地,對于任意正整數(shù)n都有:(a)aarr(n)nnn

這個公式所表的定理叫二項式定理,邊的多項式做

(

n

的二項展開,中系數(shù)r(r二項式系數(shù)式中的n

Crbrn

叫做二項式的通項公式用

Tr

表示式展開式中的第r.二項式系的性質①對稱性首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等

Cn

n

.②增減性最大值:果二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)中間一項的二項式系數(shù)最大;果二項式的冪指數(shù)是奇,間兩項的二項式系數(shù)相等并且最大.當是偶數(shù)時,n是奇數(shù),開式共有+1項,以展開式有中間一項且這一項的二項式系數(shù)最大,最n大C.nn是奇數(shù)時,n是偶數(shù)開式共n項,以展開式有中間兩項并且這兩項的項式系數(shù)相等并且最大,大為

nCn

nC2n

.③各項二式系數(shù)的和

nnnn

n

.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和等于偶數(shù)項的系數(shù)和:

C0n

2n

4n

1n

3n

5n

n

.展開式中項的系數(shù):只需要將變元值令為1,算出值即可二項展開中系數(shù)最問題①由二項式系數(shù)性質可知,項數(shù)n是偶數(shù)時,展開式中二項式系數(shù)最大的項是中間項大為

nCn

;是奇數(shù)時,開式中二項式系數(shù)最大的項為中間兩項大為

nCn

nC2n

.②展開式中系數(shù)與二項式系數(shù)不同,設

t

r

是展開式中

Tr

項的系數(shù)若

Tr

項為系數(shù)最大的值,必有,rrtrr

0r

.此不等式組,確定r的,而確定系數(shù)最大的項.(五概率隨機事件概率本概念①隨機事在定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.②必然事在定條件下必然要發(fā)生的事件③不可能件:在定條件下不可能發(fā)生的事件.④基本事:一次試驗連同其中出現(xiàn)的每一個結果稱為一個基本事件(2)隨機件的概率①定義:般地,大量重復進行同一試驗時,件A發(fā)生的頻率

總是接近于某一個常數(shù),它附近擺動,這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率記作P(A).②必然事件的概率為1,不可能事件的率為0,所隨機事件的概率0P(A)≤1.可能事件概率

①一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結果稱為一個基本事件通常一次試驗中的某一事A由個基本事件組成.如一次試驗中可能出現(xiàn)的結果個,即試驗n個基本事件組成,而每一個結果出現(xiàn)的可能性都相等,那每一個基本事件的概率都是

.如某個事件A的結果有個,那事件A概率為

()

.②求等可能事件的基本步驟:A.算出基本事件的總個數(shù)出事件A包含基本事件的個數(shù)m算事件概率

()

.互斥事件一個發(fā)生概率(1)基本念①互斥事事A可能同時發(fā)生,種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件.②對立事:中必有一個發(fā)生的互斥事件叫做對立事件,件A的立事件記作

.③兩個對立事件一定是互斥事,之兩個互斥事件不一定是對立事;個事件對立是兩個事件互斥的充分非必要條件;個事件互斥是兩個事件對立的必要非充分條件件A+B的意義及其概率運公式①若事件A,B互斥事A+B的含義是中有一個發(fā)生且只有一個發(fā),只有對于互斥事件能運用概率運算的加法公式.②如果事件互斥么A+B()+P().③如果事件A,A,?彼此互斥P(+A+?)=PPA)+?).④對立事件

的概率和等于

()(APA)(A))

.相互獨立件同時發(fā)的概率(1)相關念①相互獨立事件:果事件()否發(fā)生對事件(或)發(fā)生的概率沒有響,么這樣的兩個事件叫做相互獨立事件.②性質:果事件A互獨立么

A與B,與B,與

也都是相互獨立的.③事件·B表示相互獨立