九年級上冊圓 幾何綜合章末練習(xí)卷(Word版 含解析)

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一、初三數(shù)學(xué)圓易錯(cuò)題壓軸題（難）

1．如圖①，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，點(diǎn)D是AC旁邊一點(diǎn)（別與C重合），以AD為直徑作⊙O，過C作CE切⊙O于E，交AB于F．（1）若⊙O半徑為2，求線段CE的長；（2）若AF＝BF，求⊙O的半徑；

（3）如圖②，若CE＝CB，點(diǎn)B對于AC的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，試求G、E兩點(diǎn)之間的距離．

【答案】（1）CE＝42；（2）⊙O的半徑為3；（3）G、E兩點(diǎn)之間的距離為9.6【解析】【分析】

（1）依照切線的性質(zhì)得出∠OEC=90°，然后依照勾股定理即可求得；（2）由勾股定理求得BC，然后經(jīng)過證得△OEC∽△BCA，得到OEOCBCBA=，即8610

rr

-=解得即可；

（3）證得D和M重合，E和F重合后，經(jīng)過證得△GBE∽△ABC，

GBGE

ABAC

=，即12108GE=，解得即可.【詳解】

解：（1）如圖①，連接OE，

∵CE切⊙O于E，∴∠OEC＝90°，

∵AC＝8，⊙O的半徑為2，

∴OC＝6，OE＝2，

∴CE＝2242

OCOE

-=；

（2）設(shè)⊙O的半徑為r，

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，∴BC＝22

ABAC

-＝6，

∵AF＝BF，

∴AF＝CF＝BF，

∴∠ACF＝∠CAF，

∵CE切⊙O于E，

∴∠OEC＝90°，

∴∠OEC＝∠ACB，

∴△OEC∽△BCA，

∴OEOC

BCBA

=，即

8

610

rr

-

=

解得r＝3，

∴⊙O的半徑為3；

（3）如圖②，連接BG，OE，設(shè)EG交AC于點(diǎn)M，

由對稱性可知，CB＝CG，

∵CE＝CG，

∴∠EGC＝∠GEC，

∵CE切⊙O于E，

∴∠GEC+∠OEG＝90°，

∵∠EGC+∠GMC＝90°，

∴∠OEG＝∠GMC，

∵∠GMC＝∠OME，

∴∠OEG＝∠OME，

∴OM＝OE，

∴點(diǎn)M和點(diǎn)D重合，

∴G、D、E三點(diǎn)在同向來線上，

連接AE、BE，

∵AD是直徑，

∴∠AED＝90°，即∠AEG＝90°，

又CE＝CB＝CG，

∴∠BEG＝90°，

∴∠AEB＝∠AEG+∠BEG＝180°，

∴A、E、B三點(diǎn)在同一條直線上，∴E、F兩點(diǎn)重合，

∵∠GEB＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，∴△GBE∽△ABC，

∴GBGE

ABAC

=，即

12

108

GE

=

∴GE＝9.6，

故G、E兩點(diǎn)之間的距離為9.6．

【點(diǎn)睛】

本題考查了切線的判定，軸的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，證得G、D、E三點(diǎn)共線以及A、E、B三點(diǎn)在同一條直線上是解題的關(guān)

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于點(diǎn)A，AC=2，BD⊥AB于點(diǎn)B，BD=6，以AB為直徑的半圓O上有一動點(diǎn)P（別與A、B兩點(diǎn)重合），連接PD、PC，我們把由五條線段AB、BD、DP、PC、CA所組成的封閉圖形ABDPC叫做點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形，如圖1所示.

（1）如圖2，當(dāng)P運(yùn)動到半圓O與y軸的交點(diǎn)位置時(shí)，求點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積.

（2）如圖3，連接CD、OC、OD,推斷△OCD的形狀，并加以證明.

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到啥位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，簡要講明理由，并求面積的最大值.

【答案】（1）12；（2）推斷△OCD是直角三角形，證明見解析；（3）連接OC，交半圓O于點(diǎn)P，這時(shí)點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，理由風(fēng)解析，82

+

【解析】

試題分析：（1）推斷出四邊形AOPC是正方形，得到正方形的面積是4，依照BD⊥AB，

BD=6，求出梯形OPDB的面積=()(26)2

8

22

OPDBOB

+?+?

==，二者相加即為點(diǎn)P的

關(guān)聯(lián)圖形的面積是12．

（2）依照CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，推斷出△OCD是直角三角形．

（3）要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，確定關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積﹣△PCD的面積，依照此思路，舉行解答．

試題解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，

∵P是半圓O上的點(diǎn)，P在y軸上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四邊形AOPC是正方形，

∴正方形的面積是4，

又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面積=()(26)2

8

22

OPDBOB

+?+?

==，

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積是12．

（2）推斷△OCD是直角三角形．

證明：延長CP交BD于點(diǎn)F，則四邊形ACFB為矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．

（3）連接OC交半圓O于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所確定的點(diǎn)的位置．

理由如下：連接CD，梯形ACDB的面積=()(26)4

16

22

ACDBAB

+?+?

==為定值，

要使點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大，就要使△PCD的面積最小，

∵CD為定長，∴P到CD的距離就要最小，

連接OC，設(shè)交半圓O于點(diǎn)P，

∵AC⊥OA，AC=OA，∴∠AOC=45°，過C作CF⊥BD于F，則ACFB為矩形，

∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC⊥CD，OC=2

∴PC在半圓外，設(shè)在半圓O上的任意一點(diǎn)P′到CD的距離為P′H，則P′H+P′O＞OH＞OC，∵OC=PC+OP，∴P′H＞PC，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到半圓O與OC的交點(diǎn)位置時(shí)，點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的面積最大．

∵CD=42CP=222，

∴△PCD的面積=

()(26)4

1622

ACDBAB+?+?==，

∴點(diǎn)P的關(guān)聯(lián)圖形的最大面積是梯形ACDB的面積﹣△PCD的面積=16(842)842--=+．

考點(diǎn)：圓的綜合題．

3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D在AB旁邊，CD與OB交于點(diǎn)E，∠ACD＝∠OBC；

（1）如圖1，求證：CD⊥AB；

（2）如圖2，當(dāng)∠BAC＝∠OBC+∠BCD時(shí)，求證：BO平分∠ABC；

（3）如圖3，在（2）的條件下，作OF⊥BC于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G，作OH⊥CD于點(diǎn)H，連接FH并延長，交OB于點(diǎn)P，交AB邊于點(diǎn)M．若OF＝3，MH＝5，求AC邊的長．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）AC＝48

5

【解析】【分析】

（1）依照直徑所對的圓周角是直角，得出∠FCB=90°，再依照“同弧所對的圓周角相等”得出∠A=∠F，再依照已知條件得∠3=90°，得CD⊥AB；

（2）延長BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，依照三角形的內(nèi)角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；

（3）延長BO交AC于點(diǎn)K，延長CD交⊙O于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BN，由條件可得CH=NH，BF=CF，從而HF是△CBN的中位線，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由

∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，依照勾股定理可得

BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=3

5

，因此可得AC=2CK，CK=BC?sin∠OBC=

24

5

得

AC=485

.

【詳解】

解：（1）如圖1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2

延長BO交⊙O于F，連接CF．

∵BF是⊙O的直徑，∴∠FCB＝90°

∴∠1+∠F＝90°，

∵弧BC＝弧BC，

∴∠A＝∠F

又∵∠1＝∠2，

∴∠2+∠A＝90°，

∴∠3＝90°，

∴CD⊥AB

（2）如圖2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4

延長BO交AC于K

∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，

∴∠A＝∠5，

∵∠A+∠2＝90°，

∴∠5+∠2＝90°，

∴∠6＝90°

∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，

∴∠6＝∠7，

又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2

∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，

∴BO平分∠ABC

（3）如圖3，延長BO交AC于點(diǎn)K，延長CD交⊙O于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BN

∵OH⊥CN，OF⊥BC

∴CH＝NH，BF＝CF

∴HF是△CBN的中位線，HF∥BN

∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC

∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM

∴∠OEH＝∠EHM

設(shè)EM、OE交于點(diǎn)P

∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°∴∠EOH＝∠OHP

∴OP＝PH

∵∠ADC＝∠OHC＝90°

∴AD∥OH

∴∠PBM＝∠EOH，∠BMP＝∠OHP

∴PM＝PB

∴PM+PH＝PB+OP

∴HM＝OB＝5

在Rt△OBF中，依照勾股定理可得BF＝4

∴BC＝8，sin∠OBC＝35

∵∠A+∠ABO＝∠DEB+∠ABO＝90°

∴∠AKB+∠CKB＝90°∴OK⊥AC

AC＝2CK，CK＝BC?sin∠OBC＝245

∴AC＝485

【點(diǎn)睛】

此題要緊考查了圓的綜合應(yīng)用以及三角形的內(nèi)角和定理及外角定理和勾股定理、三角函數(shù)等知識，明白同弧所對的圓周角相等是解題關(guān)鍵．

4．如圖1，四邊形ABCD中，、為它的對角線，E為AB旁邊一動點(diǎn)（點(diǎn)E別與點(diǎn)A、B重合），EF∥AC交BC于點(diǎn)F，F(xiàn)G∥BD交DC于點(diǎn)G，GH∥AC交AD于點(diǎn)H，連接HE．記四邊形EFGH的周長為，假如在點(diǎn)的運(yùn)動過程中，的值別變，則我們稱四邊形ABCD為“四邊形”，此刻的值稱為它的“值”．通過探索，可得矩形是“四邊形”．如圖2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，則它的“值”為．

（1）等腰梯形（填“是”或“別是”）“四邊形”；

（2）如圖3，是⊙O的直徑，A是⊙O上一點(diǎn)，，點(diǎn)為上的一動點(diǎn)，將△沿的中垂線翻折，得到△．當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到某一位置時(shí)，以、、、、、中的任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的“四邊形”最多，最多有個(gè)．

【答案】“值”為10；（1）是；（2）最多有5個(gè)．

【解析】

試題分析：認(rèn)真分析題中“四邊形”的定義結(jié)合矩形的性質(zhì)求解即可；

（1）依照題中“四邊形”的定義結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)即可作出推斷；

（2）依照題中“四邊形”的定義結(jié)合中垂線的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)即可作出推斷.

矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，則它的“值”為10；

（1）等腰梯形是“四邊形”；

（2）由題意得當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到某一位置時(shí)，以、、、、、中的任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的“四邊形”最多，最多有5個(gè).

考點(diǎn)：動點(diǎn)咨詢題的綜合題

點(diǎn)評：此類咨詢題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，普通作為壓軸題，題目比較典型．

5．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙C的半徑為r(r＞1)，點(diǎn)P是圓內(nèi)與圓心C別重合的點(diǎn)，⊙C的“完美點(diǎn)”的定義如下：過圓心C的任意直線CP與⊙C交于點(diǎn)A，B，若滿腳|PA﹣PB|＝2，則稱點(diǎn)P為⊙C的“完美點(diǎn)”，如圖點(diǎn)P為⊙C的一具“完美點(diǎn)”．

(1)當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)

①點(diǎn)M(3

2

，0)⊙O的“完美點(diǎn)”，點(diǎn)(﹣

3

2

，﹣

1

2

)⊙O的“完美點(diǎn)”；(填

“是”或者“別是”)

②若⊙O的“完美點(diǎn)”P在直線y＝3

4

x上，求PO的長及點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(s，t)，且在直線y＝﹣2x+1上，⊙C半徑為r，若y軸上存在⊙C的“完美點(diǎn)”，求t的取值范圍．

【答案】(1)①別是，是；②PO的長為1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4

5

，

3

5

)或(﹣

4

5

，﹣

3

5

)；(2)t的

取值范圍為﹣1≤t≤3．

【解析】

【分析】

（1）①利用圓的“完美點(diǎn)”的定義直截了當(dāng)推斷即可得出結(jié)論.②先確定出滿腳圓的“完美點(diǎn)”的OP的長度，然后分事情討論計(jì)算即可得出結(jié)論；（2）先推斷出圓的“完美點(diǎn)”的軌跡，然后確定出取極值時(shí)OC與y軸的位置關(guān)系即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：(1)①∵點(diǎn)M(3

2

，0)，

∴設(shè)⊙O與x軸的交點(diǎn)為A，B，∵⊙O的半徑為2，

∴取A(﹣2，0)，B(2，0