平面向量基本定理 教學(xué)設(shè)計(jì)

附件：教學(xué)設(shè)計(jì)方案模版教學(xué)設(shè)計(jì)方案課程平面向量基本定理課程標(biāo)準(zhǔn)課程標(biāo)準(zhǔn)對本節(jié)課的要求是：了解平面向量的基本定理及其意義。教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（人教A版）數(shù)學(xué)必修四，第二章第三節(jié)的內(nèi)容，主要介紹了平面向量基本定理，本節(jié)課既是前面所學(xué)的平面向量的加法、減法、數(shù)乘、共線向量基本定理的延伸，也為向量的坐標(biāo)表示奠定了理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課的內(nèi)容起到了承前啟后的作用。教學(xué)目標(biāo)知識與技能目標(biāo)：理解平面向量基本定理，能夠在具體問題中選擇適當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒矫嫔系钠渌蛄?。過程與方法目標(biāo)：讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生和形成過程，體會定理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)定理功能的強(qiáng)大，從而激發(fā)學(xué)生熱愛數(shù)學(xué)的情感。學(xué)習(xí)目標(biāo)理解平面向量基本定理，能夠在具體問題中選擇適當(dāng)?shù)幕讈肀硎酒矫嫔系钠渌蛄?。學(xué)情分析一方面學(xué)生在本節(jié)課之前剛剛學(xué)習(xí)了平面向量的加減法、數(shù)乘、共線向量基本定理，另一方面在物理課上已經(jīng)學(xué)過力的分解，這就為本節(jié)課的學(xué)習(xí)做好了知識儲備。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解平面向量基本定理。難點(diǎn)：在具體問題中靈活應(yīng)用平面向量基本定理。教與學(xué)的媒體選擇PPT課程實(shí)施類型√偏教師課堂講授類偏自主、合作、探究學(xué)習(xí)類備注教學(xué)活動步驟序號1（一）復(fù)習(xí)引入課堂開始，先讓學(xué)生回憶前面所學(xué)過的向量的加減法運(yùn)算及其幾何意義、共線向量基本定理。溫故知新，激活學(xué)生的知識儲備，為新課的教學(xué)做好鋪墊。為了引入新課，我將給出這樣的問題讓學(xué)生思考：“給定平面內(nèi)任意兩個向量，，請你作出向量，?！苯虒W(xué)中可以先讓學(xué)生分析兩個向量，可能的位置關(guān)系，區(qū)分出共線、不共線兩種情況，然后再作出兩種情況下的圖形。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生進(jìn)一步思考：“平面內(nèi)任意向量是否都可以用形如的向量表示呢？”學(xué)生通過作圖可以驗(yàn)證當(dāng)，共線時平面上存在著向量不能用，來表示，于是只研究，不共線的情況。這里給學(xué)生提供充裕的時間，讓學(xué)生自己作圖探究。2（二）探究新知1.在學(xué)生的探究過程中，我將作如下的引導(dǎo)：①設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖研究與，之間的關(guān)系。學(xué)生通過構(gòu)造平行四邊形，不難發(fā)現(xiàn)可以分解成與，平行的兩個向量。②既然可以分解成與，平行的兩個向量，那么是否可以用含有，的式子表示出來？學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)共線向量基本定理，分解之后的兩個向量分別可以用，來表示，從而可以用，來表示。③讓學(xué)生思考：一對實(shí)數(shù)、是否唯一？這里可以根據(jù)學(xué)生接受的程度確定是否給出唯一性的證明。2.通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生之間的討論，最終讓學(xué)生嘗試概括出平面向量基本定理的內(nèi)容：如果，是平面上的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。3.為了深化學(xué)生對定理的理解，我讓學(xué)生體會以下三點(diǎn)：①同一平面可以有許多組基底，只要兩個向量不共線；②若基底選取不同，則表示同一向量的實(shí)數(shù)、也不盡相同；③特別地，若，則。4.提醒學(xué)生：計(jì)算向量夾角時，要把兩個向量的起點(diǎn)平移到一起；夾角的范圍是；夾角的大小與兩個向量的位置狀態(tài)無關(guān)。還可以舉例子讓學(xué)生思考：在正三角形中，與的夾角是多少度？3（三）鞏固應(yīng)用例1：以平行四邊形的兩條鄰邊與所對應(yīng)的向量和為基底，用這對基底來表示對角線與所對應(yīng)的向量。通過設(shè)置這道題是為了讓學(xué)生熟悉定理的簡單應(yīng)用。變式一：在例1的基礎(chǔ)上，取對角線上靠近的四等分點(diǎn)，請用和這對基底來表示。變式二：再取對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，請用和這對基底來表示。（讓學(xué)生體會平面上的任意一個向量都可以用這對基底來唯一線性表示。）變式三：將基底換為對角線與所對應(yīng)的向量，用這對新基底來表示和。（從中滲透方程的思想。）變式四：用新基底來表示和。通過變式三和變式四讓學(xué)生體會平面上的任意一對非零且不共線的向量都可以拿來當(dāng)作基底表示其他向量。例2：梯形的下底是上底的兩倍，分別取上底和下底的中點(diǎn)、，請自選基底來表示向量。（本題的解法有很多，教學(xué)時可鼓勵學(xué)生探索多種解法。）4（四）歸納小結(jié)讓學(xué)生自己總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從內(nèi)容和方法兩個方面進(jìn)行總結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力和概括歸納能力。5（五）布置作業(yè)課后三道與本節(jié)內(nèi)容對應(yīng)的習(xí)題?！虒W(xué)活動詳情教學(xué)活動1：探究新知活動目標(biāo)學(xué)習(xí)平面向量基本定理的內(nèi)容解決問題理解平面向量基本定理的幾個關(guān)鍵要素技術(shù)資源PPT與幾何畫板常規(guī)資源板書活動概述1.在學(xué)生的探究過程中，我將作如下的引導(dǎo)：①設(shè)，是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)的任一向量，我們通過作圖研究與，之間的關(guān)系。學(xué)生通過構(gòu)造平行四邊形，不難發(fā)現(xiàn)可以分解成與，平行的兩個向量。②既然可以分解成與，平行的兩個向量，那么是否可以用含有，的式子表示出來？學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，根據(jù)共線向量基本定理，分解之后的兩個向量分別可以用，來表示，從而可以用，來表示。③讓學(xué)生思考：一對實(shí)數(shù)、是否唯一？這里可以根據(jù)學(xué)生接受的程度確定是否給出唯一性的證明。2.通過教師的引導(dǎo)和學(xué)生之間的討論，最終讓學(xué)生嘗試概括出平面向量基本定理的內(nèi)容：如果，是平面上的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。3.為了深化學(xué)生對定理的理解，我讓學(xué)生體會以下三點(diǎn)：①同一平面可以有許多組基底，只要兩個向量不共線；②若基底選取不同，則表示同一向量的實(shí)數(shù)、也不盡相同；③特別地，若，則。4.提醒學(xué)生：計(jì)算向量夾角時，要把兩個向量的起點(diǎn)平移到一起；夾角的范圍是；夾角的大小與兩個向量的位置狀態(tài)無關(guān)。還可以舉例子讓學(xué)生思考：在正三角形中，與的夾角是多少度？教與學(xué)的策略讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)定理的產(chǎn)生和形成過程，體會定理所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。反饋評價這部分的評價偏向過程性評價，重點(diǎn)評價學(xué)生的在學(xué)習(xí)過程中的參與度，以及學(xué)生對知識的理解。教學(xué)活動2：鞏固應(yīng)用活動目標(biāo)學(xué)會運(yùn)用平面向量基本定理解決問題會運(yùn)用平面向量基本定理來解決簡單的問題技術(shù)資源PPT與幾何畫板常規(guī)資源板書活動概述例1：以平行四邊形的兩條鄰邊與所對應(yīng)的向量和為基底，用這對基底來表示對角線與所對應(yīng)的向量。通過設(shè)置這道題是為了讓學(xué)生熟悉定理的簡單應(yīng)用。變式一：在例1的基礎(chǔ)上，取對角線上靠近的四等分點(diǎn)，請用和這對基底來表示。變式二：再取對角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，請用和這對基底來表示。（讓學(xué)生體會平面上的任意一個向量都可以用這對基底來唯一線性表示。）變式三：將基底換為對角線與所對應(yīng)的向量，用這對新基底來表示和。（從中滲透方程的思想。）變式四：用新基底來表示和。通過變式三和變式四讓學(xué)生體會平面上的任意一對非零且不共線的向量都可以拿來當(dāng)作基底表示其他向量。例2：梯形的下底是上底的兩倍，分別取上底和下底的中點(diǎn)、，請自選基