中考數(shù)學(xué)二輪壓軸培優(yōu)專(zhuān)題31三角形與新定義綜合問(wèn)題（教師版）

專(zhuān)題31三角形與新定義綜合問(wèn)題

【例1】(2022?淮安區(qū)模擬)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)(can)，如圖1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的鄰對(duì)記作canB，這時(shí)canB＝＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值是一一對(duì)應(yīng)的，根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問(wèn)題：(1)can30°＝，若canB＝1，則∠B＝60°．(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】(1)根據(jù)定義，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)，想到過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，根據(jù)∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)，求出BC即可解答，根據(jù)定義，canB＝1，可得底邊與腰相等，所以這個(gè)等腰三角形是等邊三角形，從而得∠B＝60°；(2)根據(jù)定義，想利用等腰三角形的三線(xiàn)合一性質(zhì)，想到過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，canB＝，所以設(shè)BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出關(guān)于x的方程即可解答．【解答】解：(1)如圖：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∵∠B＝30°，∴BD＝ABcos30°＝AB，∴BC＝2BD＝AB，∴can30°＝＝＝，若canB＝1，∴canB＝＝1，∴BC＝AB，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°，故答案為：，60；(2)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，∵canB＝，∴＝，∴設(shè)BC＝8x，AB＝5x，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝BC＝4x，∴AD＝＝3x，∵S△ABC＝48，∴BC?AD＝48，∴?8x?3x＝48，∴x2＝4，∴x＝±2(負(fù)值舍去)，∴x＝2，∴AB＝AC＝10，BC＝16，∴△ABC的周長(zhǎng)為36，答：△ABC的周長(zhǎng)為36．【例2】(2022?柯城區(qū)校級(jí)三模)定義：若三角形的一條邊上的高線(xiàn)與這條邊相等，則稱(chēng)這個(gè)三角形為“標(biāo)準(zhǔn)三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD，則△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形．【概念感知】判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．√(2)頂角為30°的等腰三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形．×【概念理解】若一個(gè)等腰三角形為標(biāo)準(zhǔn)三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為1：1：或：：2．【概念應(yīng)用】(1)如圖，若△ABC為標(biāo)準(zhǔn)三角形，CD⊥AB于點(diǎn)D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．(2)若一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．【分析】【概念感知】(1)根據(jù)等腰直角三角形的兩條直角邊互相垂直且相等，即可判斷；(2)作出圖形，分別對(duì)底邊上的高和腰上的高進(jìn)行討論，即可求解；【概念理解】當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC＝1：1：；當(dāng)△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，設(shè)BE＝x，則AE＝2x，求出AB＝x，則AB：AC：BC＝：：2；【概念應(yīng)用】(1)過(guò)C點(diǎn)作AB的平行線(xiàn)，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC+BC＝A'B，此時(shí)AC+BC的值最小，求出A'B即可；(2)分兩種情況討論：①當(dāng)AC＝AB時(shí)，AC＝CD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則AC＝a，由等積法求出BE＝a，用勾股定理分別求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，則可求sin∠BCE＝；②當(dāng)BC＝AB時(shí)，BC＝DC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則BC＝a，由勾股定理分別求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等積法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．【解答】解：【概念感知】(1)如圖1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，∵AB＝AC，∴等腰直角三角形是標(biāo)準(zhǔn)三角形，故答案為：√；(2)如圖2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，∵∠A＝30°，∴CD＝AC，∵CA＝AB，∴CD＝AB，∴△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；如圖3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，此時(shí)AE＞BC，∴△ABC不是標(biāo)準(zhǔn)三角形；故答案為：×；【概念理解】如圖1，當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，AC：AB：BC＝1：1：；如圖4，當(dāng)△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，∴BE＝EC＝BC＝AE，設(shè)BE＝x，則AE＝2x，在Rt△ABE中，AB＝x，∴AB：AC：BC＝：：2；故答案為：1：1：或：：2；【概念應(yīng)用】(1)如圖5，過(guò)C點(diǎn)作AB的平行線(xiàn)，作A點(diǎn)關(guān)于該平行線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A'，連接A'B，當(dāng)A'、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，AC+BC＝A'B，此時(shí)AC+BC的值最小，∵AB＝CD＝1，∴AA'＝2，在Rt△ABA'中，A'B＝，∴AC+BC的最小值為；(2)在△ABC中，AB＝CD，AB⊥CD，∴AC＞CD，BC＞CD，∴AC＞AB，BC＞AB，∴△ABC的最小角為∠ACB，①如圖6，當(dāng)AC＝AB時(shí)，AC＝CD，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則AC＝a，∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，∴BE＝a，在Rt△ACD中，AD＝2a，∴BD＝AD﹣AB＝a，在Rt△BCD中，BC＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；②如圖7，當(dāng)BC＝AB時(shí)，BC＝DC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交于E，設(shè)CD＝AB＝a，則BC＝a，在Rt△BCD中，BD＝2a，∴AD＝3a，在Rt△ACD中，AC＝a，∵S△ABC＝×AB×CD＝×AC×BE，∴BE＝a，在Rt△BCE中，sin∠BCE＝；綜上所述：最小角的正弦值為或.【例3】(2020?五華區(qū)校級(jí)三模)愛(ài)好思考的小茜在探究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)了“中垂三角形”，即兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”．如圖(1)、圖(2)、圖(3)中，AM、BN是ABC的中線(xiàn)，AM⊥BN于點(diǎn)P，像ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”．設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c．【特例探究】(1)如圖1，當(dāng)∠PAB＝45°，c＝時(shí)，a＝4，b＝4；如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝2時(shí)，a2+b2＝20；【歸納證明】(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2、b2、c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來(lái)，并利用圖3證明你的結(jié)論．【拓展證明】(3)如圖4，在?ABCD中，E、F分別是AD、BC的三等分點(diǎn)，且AD＝3AE，BC＝3BF，連接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF與BE相交點(diǎn)G，AD＝3，AB＝3，求AF的長(zhǎng)．【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出PA、PB，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到MN∥AB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分別求出PM、PN，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；(2)連接MN，設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，利用勾股定理分別用x、y表示出a、b、c，得到答案；(3)取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，證明△ABF為“中垂三角形”，根據(jù)(2)中結(jié)論計(jì)算即可．【解答】解：(1)在Rt△APB中，∠PAB＝45°，c＝，則PA＝PB＝c＝4，∵M(jìn)、N分別為CB、CA的中點(diǎn)，∴MN＝AB＝2，MN∥AB，∴△APB∽△MPN，∴＝＝＝，∴PM＝PN＝2，∴BM＝＝2，∴a＝2BM＝4，同理：b＝2AN＝4，如圖2，連接MN，在Rt△APB中，∠PAB＝30°，c＝2，∴PB＝c＝1，∴PA＝＝，∴PN＝，PM＝，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝，b＝，∴a2+b2＝20，故答案為：4；4；20；(2)a2+b2＝5c2，理由如下：如圖3，連接MN，設(shè)PN＝x，PM＝y(tǒng)，則PB＝2PN＝2x，PA＝2PM＝2y，∴BM＝＝，AN＝＝，∴a＝2，b＝2，∴a2+b2＝20(x2+y2)，∵c2＝PA2+PB2＝4(x2+y2)，∴a2+b2＝5c2；(3)取AB的中點(diǎn)H，連接FH并延長(zhǎng)交DA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△AHP∽△BHF，∴＝＝1，∴AP＝BF，∵AD＝3AE，BC＝3BF，AD＝3，∴AE＝BF＝，∴PE＝FC，∴四邊形PFCE為平行四邊形，∵BE⊥CE，∴BG⊥FH，∵AE∥BF，AE＝BF，∴AG＝GF，∴△ABF為“中垂三角形”，∴AB2+AF2＝5BF2，即32+AF2＝5×()2，解得：AF＝4．【例4】(2020?岳麓區(qū)校級(jí)二模)定義：在△ABC中，若有兩條中線(xiàn)互相垂直，則稱(chēng)△ABC為中垂三角形，并且把AB2+BC2+CA2叫做△ABC的方周長(zhǎng)，記作L，即L＝AB2+BC2+CA2．(1)如圖1，已知△ABC是中垂三角形，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線(xiàn)，若AC＝BC，求證：△AOB是等腰直角三角形；(2)如圖2，在中垂三角形ABC中，AE，BD分別是邊BC，AC上的中線(xiàn)，且AE⊥BD于點(diǎn)O，試探究△ABC的方周長(zhǎng)L與AB2之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，已知拋物線(xiàn)y＝與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，與y軸相交于點(diǎn)B，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)相交于點(diǎn)C，與x軸負(fù)半軸相交于點(diǎn)D，且BD＝CD，連接AC交y軸于點(diǎn)E．①求證：△ABC是中垂三角形；②若△ABC為直角三角形，求△ABC的方周長(zhǎng)L的值．【分析】(1)先利用“SAS“證明△BAD≌△ABE，然后根據(jù)△ABC是中垂三角形即可證明；(2)先判斷出AC＝2AD，BC＝2BE，再利用勾股定理，即可得出結(jié)論；(3)①利用二次函數(shù)先求出點(diǎn)B、點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)確定E是AC的中點(diǎn)，最后根據(jù)中垂三角形的定義即可證明；②先由點(diǎn)A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)的坐標(biāo)得到kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，然后分情況討論即可求解；或結(jié)合射影定理分情況討論進(jìn)行求解即可．【解答】(1)證明：AC＝BC，BD，AE分別是AC，BC邊上的中線(xiàn)，∴AD＝BE，∠BAD＝∠ABE，∴△BAD≌△ABE(SAS)，∴∠ABD＝∠BAE，∴OA＝OB．∵△ABC是中垂三角形，且AC＝BC，∴∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．(2)L＝6AB2．證明：如圖，連接DE．∵AE，BD分別是邊BC，AC上的中線(xiàn)，∴AC＝2AD，BC＝2BE，DE＝AB，∴AC2＝4AD2，BC2＝4BE2，DE2＝AB2．在Rt△AOD中，AD2＝OA2+OD2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，∴AC2+BC2＝4(AD2+BE2)＝4(OA2+OD2+OB2+OE2)＝4(AB2+DE2)＝4(AB2+AB2)＝5AB2，∴L＝AB2+AC2+BC2＝AB2+5AB2＝6AB2．(3)①證明：在y＝中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2a，∴點(diǎn)B(0，﹣2a)．y＝0時(shí)，＝0，整理得3x2﹣4x﹣32＝0，解得x1＝﹣(舍)，x2＝4，∴點(diǎn)A(4，0)．∵BD＝CD，yC＝﹣yB＝2a，將y＝2a代人y＝，解得x1＝(舍)，x2＝﹣4，∴C(﹣4，2a)．由點(diǎn)A(4，0)，C(﹣4，2a)可知，E是AC的中點(diǎn)．又∵BD＝CD，∴AD，BE都是△ABC的中線(xiàn)．又∵∠AOB＝90°，∴AD⊥BE，∴△ABC是中垂三角形．②解法一：由點(diǎn)A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)可得kAB＝a，kAC＝﹣a，kBC＝﹣a，∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，kAB?kBC＝﹣1，解得a＝(負(fù)值舍去)，∴點(diǎn)B(0，﹣2)，∴L＝6AB2＝6×24＝144．當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，kAB?kCA＝﹣1，解得a＝2(負(fù)值舍去)，∴點(diǎn)B(0，﹣4)，∴L＝6AB2＝6×48＝288．綜上所述，△ABC的方周長(zhǎng)L的值為144或288．解法二：由點(diǎn)A(4，0)，B(0，﹣2a)，C(﹣4，2a)，∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D(﹣2，0)，E(0，a)．∵∠C＜∠AOB，∴∠C≠90°．當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，在△ABD中，由射影定理得OB2＝OA?OD，∴4a2＝8，解得α＝(負(fù)值舍去)，∴點(diǎn)B(0，﹣2)，∴L＝6AB2＝6×24＝144．當(dāng)∠BAC＝90°時(shí)，在△ABE中，由射影定理得OA2＝OB?OE，∴16＝2a2，解得a＝2(負(fù)值舍去)，∴點(diǎn)B(0，﹣4)，∴L＝6AB2＝6×48＝288．綜上所述，△ABC的方周長(zhǎng)L的值為144或288．【例5】(2020?安徽模擬)通過(guò)學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長(zhǎng)的比值是一一對(duì)應(yīng)的，因此，兩條邊長(zhǎng)的比值與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化．類(lèi)似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系．我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做底角的鄰對(duì)(can)，如圖(1)在△ABC中，AB＝AC，底角B的鄰對(duì)記作canB，這時(shí)canB＝，容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的鄰對(duì)值也是一一對(duì)應(yīng)的．根據(jù)上述角的鄰對(duì)的定義，解下列問(wèn)題：(1)can30°＝；(2)如圖(2)，已知在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝24，求△ABC的周長(zhǎng)．【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)∠B＝30°，可得出BD＝AB，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出BC＝AB，繼而得出canB；(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)canB＝，設(shè)BC＝8x，AB＝5x，再由S△ABC＝24，可得出x的值，繼而求出周長(zhǎng)．【解答】解：(1)過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵∠B＝30°，∴cos∠B＝＝，∴BD＝AB，∵△ABC是等腰三角形，∴BC＝2BD＝AB，故can30°＝＝；(2)過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵canB＝，則可設(shè)BC＝8x，AB＝5x，∴AE＝＝3x，∵S△ABC＝24，∴BC×AE＝12x2＝24，解得：x＝，故AB＝AC＝5，BC＝8，從而可得△ABC的周長(zhǎng)為18．一．解答題(共20題)1．(2022秋?如皋市期中)定義：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角兩倍的三角形，叫做“倍角三角形”．(1)下列三角形一定是“倍角三角形”的有②③(只填寫(xiě)序號(hào))．①頂角是30°的等腰三角形；②等腰直角三角形；③有一個(gè)角是30°的直角三角形．(2)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC≥90°，將△ABC沿邊AB所在的直線(xiàn)翻折180°得到△ABD，延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E，連接BE．①若BC＝BE，求證：△ABE是“倍角三角形”；②點(diǎn)P在線(xiàn)段AE上，連接BP．若∠C＝30°，BP分△ABE所得的兩三角形中，一個(gè)是等腰三角形，一個(gè)是“倍角三角形”，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠E的度數(shù)．【分析】(1)利用“倍角三角形”的定義依次判斷可求解；(2)①由折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求∠BAE＝2∠ADB，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠BDE＝∠E，可得結(jié)論；②分兩種情況討論，由三角形內(nèi)角和定理和“倍角三角形”的定義可求解．【解答】(1)解：若頂角是30°的等腰三角形，∴兩個(gè)底角分別為75°，75°，∴頂角是30°的等腰三角形不是“倍角三角形”，若等腰直角三角形，∴三個(gè)角分別為45°，45°，90°，∵90°＝2×45°，∴等腰直角三角形是“倍角三角形”，若有一個(gè)是30°的直角三角形，∴另兩個(gè)角分別為60°，90°，∵60°＝2×30°，∴有一個(gè)30°的直角三角形是“倍角三角形”，故答案為：②③；(2)①證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵將△ABC沿邊AB所在的直線(xiàn)翻折180°得到△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，BC＝BD，∴∠BAE＝2∠ADB，∵BE＝BC，∴BD＝BE，∴∠E＝∠ADB，∴∠BAE＝2∠E，∴△ABE是“倍角三角形”；②解：由①可得∠BAE＝2∠BDA＝2∠C＝60°，如圖，若△ABP是等腰三角形，則△BPE是“倍角三角形”，∴△ABP是等邊三角形，∴∠APB＝60°，∴∠BPE＝120°，∵△BPE是“倍角三角形”，∴∠BEP＝2∠EBP或∠PBE＝2∠BEP，∴∠BEP＝20°或40°；若△BPE是等腰三角形，則△ABP是“倍角三角形”，∴∠ABP＝∠BAP＝30°或∠APB＝∠BAE＝30°或∠ABP＝2∠APB或∠APB＝2∠ABP，∴∠APB＝90°或30°或40°或80°，∴∠BPE＝90°或150°或140°或100°，∵△BPE是等腰三角形，∴∠BEP＝45°或15°或20°或40°，綜上所述：∠BPE的度數(shù)為45°或15°或20°或40°．2．(2022秋?義烏市校級(jí)月考)【概念認(rèn)識(shí)】如圖①所示，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，則BD，BE叫做∠ABC的“三分線(xiàn)”，其中，BD是“鄰AB三分線(xiàn)“，BE是“鄰BC三分線(xiàn)”．【問(wèn)題解決】(1)如圖②所示．在△ABC中．∠A＝80°，∠ABC＝45°．若∠ABC的三分線(xiàn)BD交AC于點(diǎn)D．求∠BDC的度數(shù)．(2)如圖③所示，在△ABC中．BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線(xiàn)和∠ACB的鄰BC三分線(xiàn)，且∠BPC＝140°．求∠A的度數(shù)．【延伸推廣】(3)在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的三分線(xiàn)所在的直線(xiàn)與∠ACD的三分線(xiàn)所在的直線(xiàn)交于點(diǎn)P，若∠A＝m°(m＞54)，∠ABC＝54°．求出∠BPC的度數(shù)．(用含m的式子表示)【分析】(1)分BD是鄰AB的三分線(xiàn)和BD是鄰BC的三分線(xiàn)兩種情況解答即可；(2)由∠BPC＝140°，得∠PBC+∠PCB＝40°，故∠ABC+∠ACB＝40°，可得∠ABC+∠ACB＝120°，從而∠A＝60°；(3)分四種情況分別解答即可．【解答】解：(1)當(dāng)BD是“鄰AB三分線(xiàn)”時(shí)，∠ABD＝∠ABC＝15°，則∠BDC＝∠ABD+∠A＝15°+80°＝95°，當(dāng)BD′是“鄰BC三分線(xiàn)”時(shí)，∠ABD′＝∠ABC＝30°，則∠BD′C＝∠ABD′+∠A＝30°+80°＝110°，綜上所述，∠BDC的度數(shù)為95°或110°；(2)∵∠BPC＝140°，∴∠PBC+∠PCB＝40°，∵BP，CP分別是∠ABC的鄰BC三分線(xiàn)和∠ACB的鄰BC三分線(xiàn)，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠ABC+∠ACB＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠A＝60°；(3)如圖：∵∠A＝m°，∠ABC＝54°，∴∠ACD＝(m+54)°，①當(dāng)BP是鄰AB的三等分線(xiàn)，AP是鄰AC的三等分線(xiàn)時(shí)，∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；②當(dāng)BP是鄰AB的三等分線(xiàn)，AP是鄰CD的三等分線(xiàn)時(shí)，∠PBC＝∠ABC＝36°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m﹣18)°；③當(dāng)BP是鄰BC的三等分線(xiàn)，AP是鄰AC的三等分線(xiàn)時(shí)，∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+36)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝(m+18)°；④當(dāng)BP是鄰BC的三等分線(xiàn)，AP是鄰CD的三等分線(xiàn)時(shí)，∠PBC＝∠ABC＝18°，∠PCD＝∠ACD＝(m+18)°，∴∠BPC＝∠PCD﹣∠PBC＝m°；綜上所述，∠BPC度數(shù)為m或m﹣18或m+18或m．3．(2022春?石嘴山校級(jí)期末)[問(wèn)題情境]我們知道：在平面直角坐標(biāo)系中有不重合的兩點(diǎn)A(x1，y1)和點(diǎn)B(x2，y2)，若x1＝x2，則AB∥y軸，且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為|y1﹣y2|；若y1＝y(tǒng)2，則AB∥x軸，且線(xiàn)段AB的長(zhǎng)度為|x1﹣x2|．[拓展]現(xiàn)在，若規(guī)定：平面直角坐標(biāo)系中任意不重合的兩點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)之間的折線(xiàn)距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．例如：圖中，點(diǎn)M(﹣1，1)與點(diǎn)N(1，﹣2)．之間的折線(xiàn)距離d(M，N)＝|﹣1﹣1|+|1﹣(﹣2)|＝2+3＝5，[應(yīng)用]解決下列問(wèn)題：(1)已知點(diǎn)E(3，2)，點(diǎn)F(1．﹣2)，求d(E，F(xiàn))的值；(2)已知點(diǎn)E(3，1)，H(﹣1，n)，若d(E，H)＝6，求n的值；(3)已知點(diǎn)P(3，4)，點(diǎn)Q在y軸上，O為坐標(biāo)系原點(diǎn)，且△OPQ的面積是4.5，求d(P，Q)的值．【分析】(1)根據(jù)折線(xiàn)距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|計(jì)算即可；(2)根據(jù)折線(xiàn)距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，構(gòu)建方程求解即可；(3)設(shè)Q(0，m)，利用三角形的面積公式求出m的值，再根據(jù)折線(xiàn)距離為d(M，N)＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|計(jì)算即可求解．【解答】解：(1)∵點(diǎn)E(3，2)，點(diǎn)F(1，﹣2)，∴d(E，F(xiàn))＝|3﹣1|+|2﹣(﹣2)|＝6；(2)∵E(3，1)，H(﹣1，n)，d(E，H)＝6，∴d(E，H)＝|3﹣(﹣1)|+|1﹣n|＝6，解得：n＝﹣1或3；(3)如圖，設(shè)Q(0，m)．由題意，?|m|?2＝4.5，解得m＝±3，∴Q(0，3)或(0，﹣3)，當(dāng)Q(0，3)時(shí)，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣3|＝4，當(dāng)Q(0，﹣3)時(shí)，d(P，Q)＝|3﹣0|+|4﹣(﹣3)|＝10，∴d(P，Q)＝4或10．4．(2022春?鎮(zhèn)江期末)定義：在一個(gè)三角形中，如果有一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍，我們稱(chēng)這兩個(gè)角互為“開(kāi)心角”，這個(gè)三角形叫做“開(kāi)心三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝35°，則∠A與∠B互為“開(kāi)心角”，△ABC為“開(kāi)心三角形”．【理解】(1)若△ABC為開(kāi)心三角形，∠A＝144°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為12°；(2)若△ABC為開(kāi)心三角形，∠A＝70°，則這個(gè)三角形中最小的內(nèi)角為35或°；(3)已知∠A是開(kāi)心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開(kāi)心角，試確定∠A的取值范圍，并說(shuō)明理由；【應(yīng)用】如圖，AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，交BC于點(diǎn)E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延長(zhǎng)BA和DC交于點(diǎn)P，已知∠P＝30°，若∠BAE是開(kāi)心△ABE中的一個(gè)開(kāi)心角，設(shè)∠BAE＝∠α，求∠α的度數(shù)．【分析】(1)設(shè)最小角為α，由題意可得α+2α＝＝36°，求出α即為所求；(2)當(dāng)∠A是“開(kāi)心角”，則最小角為35°；當(dāng)∠A不是“開(kāi)心角”，設(shè)最小角為α，α+2α＝110°，α＝()°；(3)三角形另一個(gè)開(kāi)心角是2∠A，第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，再由∠A≤180°﹣3∠A，可得∠A≤45°；【應(yīng)用】由題意可得∠PAC＝180°﹣2∠α，設(shè)∠PCA＝x，則x＝2∠α﹣30°，∠AEB＝240°﹣3∠α，∠ABE＝2∠α﹣60°，分兩種情況討論：①當(dāng)∠BAE與∠ABE互為開(kāi)心角時(shí)，∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，求得∠α＝40°；②當(dāng)∠BAE與∠AEB互為開(kāi)心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB(舍)，求得∠α＝48°．【解答】解：(1)設(shè)最小角為α，∵△ABC為開(kāi)心三角形，∠A＝144°，∴α+2α＝180°﹣144°＝36°，∴α＝12°，故答案為：12；(2)當(dāng)∠A是“開(kāi)心角”，則最小角為35°；當(dāng)∠A不是“開(kāi)心角”，設(shè)最小角為α，∴α+2α＝180°﹣70°＝110°，∴α＝()°，故答案為：35或；(3)∠A是開(kāi)心△ABC中最小的內(nèi)角，并且是其中的一個(gè)開(kāi)心角，∴另一個(gè)開(kāi)心角是2∠A，∴第三個(gè)內(nèi)角是180°﹣3∠A，∵∠A是最小內(nèi)角，∴∠A≤180°﹣3∠A，∴∠A≤45°；【應(yīng)用】∵AD平分△ABC的內(nèi)角∠BAC，∴∠CAE＝∠BAE＝∠α，∴∠PAC＝180°﹣2∠α，設(shè)∠PCA＝x，∵CD平分△ABC的外角∠DCF，∴∠BCD＝∠CDF＝x，∴∠ACB＝180°﹣2x，∵∠P＝30°，∴180°﹣2∠α+x＝150°，∴x＝2∠α﹣30°，∴∠AEB＝∠α+180°﹣2x＝240°﹣3∠α，∴∠ABE＝180°﹣∠α﹣(240°﹣3∠α)＝2∠α﹣60°，①當(dāng)∠BAE與∠ABE互為開(kāi)心角時(shí)，∠BAE＝∠ABE或∠BAE＝2∠ABE，∴∠α＝(2∠α﹣60°)或∠α＝2(2∠α﹣60°)，解得∠α＝40°；②當(dāng)∠BAE與∠AEB互為開(kāi)心角，∠BAE＝∠AEB或∠BAE＝2∠AEB，∵∠AEB＝∠EAC+∠ACE，∠EAC＝∠BAE，∴∠BAE＝2∠AEB舍去，∴∠α＝(240°﹣3∠α)，解得∠α＝48°，綜上所述：40°或48°．5．(2022春?崇川區(qū)期末)定義：如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿(mǎn)足α+2β＝100°，那么我們稱(chēng)這樣的三角形為“奇妙三角形”．(1)如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．求證：△ABD為“奇妙三角形”(2)若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；(3)如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫(xiě)出∠C的度數(shù)．【分析】(1)根據(jù)“奇妙三角形”的定義，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即證明△ABD為“奇妙三角形”．(2)由三角形的內(nèi)角和知，A+∠B＝100°，由△ABC為“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°兩種情況，計(jì)算得∠B＝90°或∠A＝90°，從而證明△ABC是直角三角形．(3)由三角形的內(nèi)角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC為“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°兩種情況，求得∠C＝80°或100°．【解答】(1)證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD．在△ABC中，∵∠ACB＝80°，∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，即∠A+2∠ABD＝100°，∴△ABD為“奇妙三角形”．(2)證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，∴∠B＝10°或∠A＝10°，當(dāng)∠B＝10°時(shí)，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．當(dāng)∠A＝10°時(shí)，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．由此證得，△ABC是直角三角形．(3)解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵△ABD為“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝(100°﹣40°)÷2＝30°，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，∴∠C＝80°；②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時(shí)，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，∴∠C＝100°；綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°．6．(2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考)定義：三角形一邊上的點(diǎn)將該邊分為兩條線(xiàn)段，且這兩條線(xiàn)段的積等于這個(gè)點(diǎn)到這邊所對(duì)頂點(diǎn)連線(xiàn)的平方，則稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)為三角形該邊的“好點(diǎn)”．如圖1，△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上一點(diǎn)，連接AD，若AD2＝BD?CD，則稱(chēng)點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的“好點(diǎn)”．(1)如圖2，△ABC的頂點(diǎn)是4×3網(wǎng)格圖的格點(diǎn)，請(qǐng)僅用直尺畫(huà)出(或在圖中直接描出)AB邊上的所有“好點(diǎn)”點(diǎn)D；(2)△ABC中，BC＝7，，tanC＝1，點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，求線(xiàn)段BD的長(zhǎng)；(3)如圖3，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)H在AB上，連結(jié)CH并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D．若點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”．①求證：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半徑為r，且r＝3OH，求的值．【分析】(1)直角三角形的“好點(diǎn)”是斜邊的中點(diǎn)，作斜邊上的高，垂足也為“好點(diǎn)”，即可得答案；(2)作AE⊥BC，解斜△ABC，設(shè)BD＝a，根據(jù)AD2＝DE2+AE2＝BD?CD列方程求得；(3)①由△ACH∽△DBH得，CH?HD＝AH?BH，結(jié)合BH2＝CH?HD，得證；②先確定AD是直徑，然后求出AH、BH、BD、BH、CH，從而求出比值．【解答】解：(1)如圖1，斜邊AB的中點(diǎn)D與斜邊AB上的高CD'的垂足D'均為AB邊長(zhǎng)的“好點(diǎn)”．(2)如圖2，作AE⊥BC于E，在Rt△ABE中，tanB＝，∴設(shè)AE＝3a，BE＝4a，tanC＝，∴CE＝AE＝3a，∴3a+4a＝7，∴a＝1，∴AE＝CE＝3，BE＝4，∴AB＝5，設(shè)BD＝x，∴DE＝|4﹣x|，在Rt△ADE中，由勾股定理得，AD2＝DE2+AE2＝(4﹣x)2+32，∵點(diǎn)D是BC邊上的“好點(diǎn)”，∴AD2＝BD?CD＝x?(7﹣x)，∴x?(7﹣x)＝(4﹣x)2+32，∴x1＝5，x2＝，即BD＝5或．(3)如圖3，①證明：∵點(diǎn)H是△BCD中CD邊上的“好點(diǎn)”，∴BH2＝CH?HD，∵∠CAB＝∠CBD，∠ACD＝∠ABD，∴△ACH∽△DBH，∴，∴CH?HD＝AH?BH，∴BH2＝AH?BH，∴AH＝BH，∴OH⊥AB；②連接AD，設(shè)OH＝a，則OA＝3a，由①知，OH⊥AB，又∵OH∥BD，∴BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴AD是⊙O的直徑，∴OA＝OD＝3a，在Rt△AOH中，由勾股定理得，AH＝，∵AH＝BH＝，OA＝OD，∴BD＝2a，在Rt△BDH中，由勾股定理得，DH＝＝，由BH2＝CH?DH得：，∴CH＝，∴．7．(2021秋?如皋市期末)【了解概念】定義：如果一個(gè)三角形一邊上的中線(xiàn)等于這個(gè)三角形其中一邊的一半，則稱(chēng)這個(gè)三角形為半線(xiàn)三角形，這條中線(xiàn)叫這條邊的半線(xiàn)．【理解運(yùn)用】(1)如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，試判斷△ABC是否為半線(xiàn)三角形，并說(shuō)明理由；【拓展提升】(2)如圖2，在△ABC中，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，M為△ABC外一點(diǎn)，連接MB，MC，若△ABC和△MBC均為半線(xiàn)三角形，且AD和MD分別為這兩個(gè)三角形BC邊的半線(xiàn)，求∠AMC的度數(shù)；(3)在(2)的條件下，若MD＝，AM＝1，直接寫(xiě)出BM的長(zhǎng)．【分析】(1)根據(jù)半線(xiàn)三角形的定義進(jìn)行判斷即可；(2)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，可證明△MAB≌△NAC，則AM＝AN，所以三角形MAN是等腰直角三角形，由此可解答；(3)在(2)的基礎(chǔ)上可知，MB＝NC，AM＝AN＝1，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，由此可得MB的長(zhǎng)．【解答】解：(1)△ABC是半線(xiàn)三角形，理由如下：取BC得中點(diǎn)D，連接AD，∵AB＝AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，在Rt△ABD中，∠B＝30°，∴AD＝AB，∴△ABC是半線(xiàn)三角形．(2)過(guò)點(diǎn)A作AN⊥AM交MC于點(diǎn)N，如圖，∵M(jìn)D為△MBC的BC邊的半線(xiàn)，∴MD＝BC＝BD＝CD，∴∠DBM＝∠DMB，∠DMC＝∠DCM，∴∠BMC＝90°，同理∠BAC＝90°，又∵∠MOB＝∠AOC，∴∠MBA＝∠MCA，∵∠MAN＝∠BAC＝90°，∴∠MAB＝∠NAC．∵AB＝AC，∴△MAB≌△NAC(ASA)，∴AM＝AN，又∵∠MAN＝90°，∴∠AMC＝∠ANM＝45°．(3)由題意可知，BC＝2MD＝3，由(2)知△MAB≌△NAC(ASA)，∴MB＝NC，AM＝AN＝1，∴MN＝，在Rt△MBC中，由勾股定理可得，MB2+MC2＝BC2，∴MB2+(+MB)2＝32，解得，MB＝2﹣(負(fù)值舍去)．故MB的值為2﹣．8．(2021秋?順義區(qū)期末)我們定義：在等腰三角形中，腰與底的比值叫做等腰三角形的正度．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，的值為△ABC的正度．已知：在△ABC中，AB＝AC，若D是△ABC邊上的動(dòng)點(diǎn)(D與A，B，C不重合)．(1)若∠A＝90°，則△ABC的正度為；(2)在圖1，當(dāng)點(diǎn)D在腰AB上(D與A、B不重合)時(shí)，請(qǐng)用尺規(guī)作出等腰△ACD，保留作圖痕跡；若△ACD的正度是，求∠A的度數(shù)．(3)若∠A是鈍角，如圖2，△ABC的正度為，△ABC的周長(zhǎng)為22，是否存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，說(shuō)明理由．【分析】(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)可得出答案；(2)作AC的中垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．設(shè)AD＝x，AE＝x，求出AD＝x，則可得出△ADE是等腰直角三角形，則可得出答案；(3)設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．由三角形的周長(zhǎng)求出x＝2，得出AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，由勾股定理求出AH，分兩種情況：當(dāng)AD＝DC時(shí)，當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，可求出答案．【解答】解：(1)若∠A＝90°，，則△ABC的正度為，故答案為：；(2)用尺規(guī)作出等腰△ACD，如圖1，作AC的中垂線(xiàn)交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．∴AD＝CD，DE⊥AC，AC＝2AE．∵△ACD的正度是，∴，∴，∴．在Rt△ADE中，設(shè)AD＝x，AE＝x，∴．∴DE＝AE．∴△ADE是等腰直角三角形．∴∠A＝45°．(3)存在點(diǎn)D，使△ACD具有正度．∵△ABC的正度為，△ABC的周長(zhǎng)為22，∴．設(shè)AB＝3x，BC＝5x，則AC＝3x．∵△ABC的周長(zhǎng)為22，∴3x+5x+3x＝22．∴x＝2．∴AB＝6，AC＝6，BC＝10，作AH⊥BC于H，則BH＝CH＝5，∴AH＝．①當(dāng)AD＝DC時(shí)，如圖2所示，設(shè)AD＝DC＝y(tǒng)，則HD＝5﹣y，由AH2+HD2＝AD2，得11+(5﹣y)2＝y(tǒng)2．解得y＝，即AD＝．∴△ACD的正度為．②當(dāng)AC＝DC＝6時(shí)，如圖3所示，DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1，∴DA＝．∴△ACD的正度為．綜上所述，△ACD的正度為或．9．(2021秋?丹陽(yáng)市期末)梅涅勞斯(Menelaus)是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖(1)，如果一條直線(xiàn)與△ABC的三邊AB，BC，CA或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于F、D、E三點(diǎn)，那么一定有＝1．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：證明：如圖(2)，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BC，交DF的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，則有，，∴＝1．請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問(wèn)題：(1)如圖(3)，△ABC三邊CB，AB，AC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交直線(xiàn)l于X，Y，Z三點(diǎn)，證明：＝1．請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問(wèn)題：(2)如圖(4)，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AB上，且BF＝2AF，CF與AD交于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為．(3)如圖(5)，△ABC的面積為2，F(xiàn)為AB中點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，連接FD交AC于E，則四邊形BCEF的面積為．【分析】(1)過(guò)點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，根據(jù)平行線(xiàn)截線(xiàn)段成比例的知識(shí)解答即可；(2)根據(jù)梅涅勞斯定理進(jìn)行推理；(3)根據(jù)梅涅勞斯定理得，＝1，則＝，由面積公式得SBCEF＝S△BCF+S△CEF，即可得出答案．【解答】(1)證明：如答圖1，過(guò)點(diǎn)C作CN∥XZ交AY于點(diǎn)N，則＝，＝．故：??＝??＝1．(2)解：如答圖2，根據(jù)梅涅勞斯定理得：＝1．又∵BF＝2AF，∴＝，＝2，∴DE＝AE．在等邊△ABC中，∵AB＝2，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，BD＝CD＝1．∴由勾股定理知：AD＝＝＝．∴AE＝．故答案是：；(3)解：∵DEF是△ABC的梅氏線(xiàn)，∴由梅涅勞斯定理得，＝1，即××＝1，則＝．如答圖3，連接FC，S△BCF＝S△ABC，S△CEF＝S△ABC，于是S四邊形BCEF＝S△BCF+S△CEF＝S△ABC＝×2＝．故答案是：．10．(2021秋?洪江市期末)從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的完美分割線(xiàn)．(1)如圖1，在△ABC中，∠A＝44°，CD是△ABC的完美分割線(xiàn)，且AD＝CD，求∠ACB的度數(shù)；(2)如圖2，在△ABC中，CD為角平分線(xiàn)，∠A＝40°，∠B＝60°，求證：CD為△ABC的完美分割線(xiàn)；(3)如圖3，△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割線(xiàn)，且△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，求完美分割線(xiàn)CD的長(zhǎng)．【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠ACD＝44°，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BCD＝∠A，計(jì)算即可；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠ACB＝80°，進(jìn)而判斷出△ABC不是等腰三角形，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ACD＝∠BCD＝44°，得到△ACD為等腰三角形和△BCD∽△BAC，根據(jù)三角形的完美分割線(xiàn)證明結(jié)論；(3)根據(jù)題意求出AD，再根據(jù)△BCD∽△BAC，求出BD，再根據(jù)△BCD∽△BAC，求出CD．【解答】(1)解：∵AD＝CD，∠A＝44°，∴∠ACD＝∠A＝44°，∵CD是△ABC的完美分割線(xiàn)，且AD＝CD，∴△BCD∽△BAC，∴∠BCD＝∠A＝44°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝88°；(2)證明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣(∠A+∠B)＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD為等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割線(xiàn)；(3)解：∵△ACD是以CD為底邊的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝2，∴AD＝2，∵CD是△ABC的完美分割線(xiàn)，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA?BD，設(shè)BD＝x，則AB＝AD+BD＝2+x，∴()2＝x(x+2)，∴x＝±﹣1，∵x＞0，∴x＝﹣1，∴BD＝﹣1，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝﹣．11．(2021秋?石景山區(qū)期末)在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，點(diǎn)P是線(xiàn)段CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l⊥CB交AB于點(diǎn)Q．給出如下定義：若在AC邊上存在一點(diǎn)M，使得點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N恰好在△ACB的邊上，則稱(chēng)點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”．例如，圖1中的點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”．(1)如圖2，若CP＝1，點(diǎn)M1，M2，M3，M4在AC邊上且AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6．在點(diǎn)M1，M2，M3，M4中，是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”為M2、M4；(2)若點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”，恰好使得△ACN是等腰三角形，求AM的長(zhǎng)；(3)存在直線(xiàn)l及點(diǎn)M，使得點(diǎn)M是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”，直接寫(xiě)出線(xiàn)段CP的取值范圍．【分析】(1)由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得MN⊥l，MN⊥AC，得MN直線(xiàn)截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，則點(diǎn)N1在△ABC的外部，同理點(diǎn)M2關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)N2，再證M1、M3不是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”，M2、M4是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”即可；(2)分三種情況，①若AC為底邊，△ACN是等腰直角三角形；②若AC為腰且∠A為頂角；③若AC為腰且∠ACN為頂角，分別求出AM的長(zhǎng)即可；(3)由(1)知，0＜AM＜6時(shí)，AM等于2倍的M到l的距離時(shí)，N點(diǎn)在AB邊上，AM＝6時(shí)，M到l的距離小于等于3時(shí)，N點(diǎn)在BC邊上，當(dāng)M到l的距離大于3時(shí)，N點(diǎn)在△ABC的外部，即可得出結(jié)論．【解答】解：(1)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，∴∠A＝45°，∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)l⊥CB，∠ACB＝90°，∴MN⊥l，MN⊥AC，∴MN直線(xiàn)截△ABC得到的含∠A的三角形是等腰直角三角形，∴MN直線(xiàn)與AB邊的交點(diǎn)到點(diǎn)M的距離等于AM，∵AM1＝1，AM2＝2，AM3＝4，AM4＝6，CP＝1，∴點(diǎn)M1關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)N1，M1N1＝2＞AM1，∴點(diǎn)N1在△ABC的外部，同理，點(diǎn)M2關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)N2，M2N2＝2＝AM2，點(diǎn)N2在△ABC的AB邊上，點(diǎn)M3關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)N3，M3N3＝2＜AM3，點(diǎn)N3在△ABC的內(nèi)部，AM4＝6，則點(diǎn)M4與點(diǎn)C重合，M4N4＝2＜BC，點(diǎn)N4在△ABC的BC邊上，∴M1、M3不是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”，M2、M4是△ACB的關(guān)于直線(xiàn)l的“反稱(chēng)點(diǎn)”，故答案為：M2、M4；(2)∵Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝6，∴∠A＝∠B＝45°，∵點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，直線(xiàn)l⊥CB，∠ACB＝90°，∴MN⊥l，MN⊥AC，∴MN∥BC，若△ACN是等腰三角形，①若AC為底邊，△ACN是等腰直角三角形，如圖1所示：則CN＝AN，∴∠A＝∠NCA＝45°，∴∠NCB＝90°﹣45°＝45°，∴∠NCB＝∠B，∴CN＝BN，∴AN＝BN，∴N是AB的中點(diǎn)，∴MN是△ABC的中位線(xiàn)，∴M是AC的中點(diǎn)，∴AM＝3；②若AC為腰且∠A為頂角，如圖2所示：則AN＝AC＝6，在Rt△AMN中，∠AMN＝90°，∠A＝45°，∴AM＝AN＝3；③若AC為腰且∠ACN為頂角，則點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，如圖3所示：∴AM＝6；綜上所述，AM的長(zhǎng)為3或或6；(3)由(1)知，0＜AM＜6時(shí)，AM等于2倍的M到l的距離時(shí)，N點(diǎn)在AB邊上，AM＝6時(shí)，M到l的距離小于等于3時(shí)，N點(diǎn)在BC邊上，當(dāng)M到l的距離大于3時(shí)，N點(diǎn)在△ABC的外部，∵CP等于M到l的距離，∴0＜CP≤3．12．(2021秋?鄞州區(qū)期末)【問(wèn)題提出】如圖1，△ABC中，線(xiàn)段DE的端點(diǎn)D，E分別在邊AB和AC上，若位于DE上方的兩條線(xiàn)段AD和AE之積等于DE下方的兩條線(xiàn)段BD和CE之積，即AD×AE＝BD×CE，則稱(chēng)DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段．(1)如圖1，若DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段，AD＝2CE，AB＝8，求AC的長(zhǎng)；【發(fā)現(xiàn)證明】(2)如圖2，△ABC中，點(diǎn)F在BC邊上，F(xiàn)D∥AC交AB于D，F(xiàn)E∥AB交AC于E，連結(jié)DE，求證：DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段；【綜合運(yùn)用】(3)如圖3，DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段，連結(jié)DE并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，過(guò)點(diǎn)A畫(huà)AG∥DE交△ADE的外接圓于點(diǎn)G，連結(jié)GE，設(shè)＝x，＝y(tǒng)．①求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；②連結(jié)BG，CG，當(dāng)y＝時(shí)，求的值．【分析】(1)設(shè)AE＝x，利用“友好分割”線(xiàn)段的定義得到等積式，將已知條件代入等積式中化簡(jiǎn)求得AE，則AC＝AE+EC，結(jié)論可得；(2)利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論；(3)①過(guò)點(diǎn)C作CH∥BD交DF于點(diǎn)H，利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，得到比例式，，將兩個(gè)等式左右分別相乘，整理后將＝x，＝y(tǒng)代入即可得出結(jié)論；②利用①的結(jié)論可以得到；通過(guò)證明△BDG∽△GEC，利用相似三角形的性質(zhì)得出結(jié)論．【解答】(1)解：設(shè)AE＝x，∵DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段，∴AD?AE＝BD?EC．∵AD＝2CE，AB＝8，∴2EC?AE＝(8﹣AD)?EC．∴2x＝8﹣2EC．∴x＝4﹣EC，∴AE＝4﹣EC．∴AC＝AE+EC＝4．(2)證明：∵FD∥AC，∴．∵FE∥AB，．∴．∴AD?AE＝BD?EC．∴DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段；(3)解：①∵DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段，∴AD?AE＝BD?EC．∴．∵＝x，∴＝x．過(guò)點(diǎn)C作CH∥BD交DF于點(diǎn)H，如圖，∵CH∥BD，∴，．∴．∴．∵＝x，＝y(tǒng)，∴y×＝x．∴y＝x2．∴y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為：y＝x2；②連接DG，如圖，∵y＝，y＝x2，∴．∵x＞0，∴x＝．即．∵AG∥DE，∴．∴AD＝EG．∴．∴．∴AE＝DG，∠ADE＝∠GED．∴∠BDF＝∠GEF．∵，∴∠GDE＝∠AED．∵∠AED＝∠CEF，∴∠GDE＝∠CEF．∴∠BDF+∠GDE＝∠GEF+∠CEF．即∠BDG＝∠GEC．∵DE是△ABC的“友好分割”線(xiàn)段，∴AD?AE＝BD?EC．∴．∴．∴△BDG∽△GEC．∴．∵EG＝AD，∴＝．13．(2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末)定義1：如圖1，若點(diǎn)H在直線(xiàn)l上，在l的同側(cè)有兩條以H為端點(diǎn)的線(xiàn)段MH、NH，滿(mǎn)足∠1＝∠2，則稱(chēng)MH和NH關(guān)于直線(xiàn)l滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”；定義2：如圖2，在△ABC中，△PQR的三個(gè)頂點(diǎn)P、Q、R分別在BC，AC、AB上，若RP和QP關(guān)于BC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PQ和RQ關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，PR和QR關(guān)于AB滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，則稱(chēng)△PQR為△ABC的光線(xiàn)三角形．閱讀以上定義，并探究問(wèn)題：在△ABC中，∠A＝30°，AB＝AC，△DEF三個(gè)頂點(diǎn)D、E、F分別在BC、AC，AB上．(1)如圖3，若FE∥BC，DE和FE關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，求∠EDC的度數(shù)；(2)如圖4，在△ABC中，作CF⊥AB于F，以AB為直徑的圓分別交AC，BC于點(diǎn)E，D．①證明：△DEF為△ABC的光線(xiàn)三角形；②證明：△ABC的光線(xiàn)三角形是唯一的．【分析】(1)證明∠AEF＝∠DEC＝75°，可得結(jié)論；(2)①連接AD，證明AD⊥CB，利用等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)證明BD＝DC，∠BAD＝∠CAD，推出BD＝DE＝DF，再分別證明∠FDB＝∠EDC＝30°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∠AFE＝∠DFB＝75°，可得結(jié)論；②證明△DFE是頂角為120°，腰長(zhǎng)為BC的一半的等腰三角形，即可解決問(wèn)題．【解答】(1)解：如圖3中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠C＝75°，∵EF∥CB，∴∠AEF＝75°，∵DE和FE關(guān)于AC滿(mǎn)足“光學(xué)性質(zhì)”，∴∠AEF＝∠DEC＝75°，∴∠EDC＝180°﹣∠DEC﹣∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°；(2)①證明：如圖4中，∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠B＝∠ACB＝75°，∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴BD＝DE，∵CF⊥AB，∴∠CFB＝90°，∵DB＝DC，∴DF＝DB＝DC，∴DF＝DB＝DE＝DC，∴∠B＝∠DFB＝75°，∠DCE＝∠DEC＝75°，∴∠FDB＝∠EDC＝30°，∴DF，DE關(guān)于BC滿(mǎn)足光學(xué)性質(zhì)，∵∠DEF＝180°﹣30°﹣30°＝120°，DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝30°，∴∠DEF＝∠EDC，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠ACB＝75°，∠AFE＝∠B＝75°，∴∠AFE＝∠DFB＝75°，∠AEF＝∠DEC＝75°，∴FE，DE關(guān)于AC滿(mǎn)足光學(xué)性質(zhì)，EF，DF關(guān)于AB滿(mǎn)足光學(xué)性質(zhì)，∴△DEF是為△ABC的光線(xiàn)三角形；②證明：由①可知，DE＝DF＝DB＝DC，∠EDF＝120°，∴△DFE是頂角為120°，腰長(zhǎng)為BC的一半的等腰三角形，∴△DEF是唯一確定的，∴△ABC的光線(xiàn)三角形是唯一的．14．(2021秋?豐臺(tái)區(qū)期末)對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的線(xiàn)段AB及點(diǎn)P，給出如下定義：若點(diǎn)P滿(mǎn)足PA＝PB，則稱(chēng)P為線(xiàn)段AB的“軸點(diǎn)”，其中，當(dāng)0°＜∠APB＜60°時(shí)，稱(chēng)P為線(xiàn)段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；當(dāng)60°≤∠APB＜180°時(shí)，稱(chēng)P為線(xiàn)段AB的“近軸點(diǎn)”．(1)如圖1，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(﹣2，0)，(2，0)，則在P1(﹣1，3)，P2(0，2)，P3(0，﹣1)，P4(0，4)中，線(xiàn)段AB的“軸點(diǎn)”是P2，P3，P4；線(xiàn)段AB的“近軸點(diǎn)”是P3，P2．(2)如圖2，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B在y軸正半軸上，∠OAB＝30°．若P為線(xiàn)段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t的取值范圍t＜0或t＞3．【分析】(1)由題意可知A、B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則線(xiàn)段的“軸點(diǎn)”在y軸上；(2)分兩種情況：①當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段AB上方時(shí)，②當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段AB下方時(shí)，分別求△PAB為等邊三角形時(shí)t的值，即可確定t的取值范圍．【解答】解：(1)∵A(﹣2，0)，B(2，0)，∴A、B關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，∵PA＝PB，∴P點(diǎn)在y軸上，∴線(xiàn)段AB的“軸點(diǎn)”是P2，P4，P3，當(dāng)P2(0，2)時(shí)，AP＝BP＝2，∴∠APO＝45°，∴∠APB＝90°，∴P2是線(xiàn)段AB的“近軸點(diǎn)”，當(dāng)P3(0，﹣1)時(shí)，AP＝BP＝，∴∠APB＞60°，∴P3是線(xiàn)段AB的“近軸點(diǎn)”，故答案為：P2，P3，P4；P3，P2；(2)如圖1，∵∠BAO＝30°，∴∠ABO＝60°，∵AP＝BP，∵A(3，0)，∴OB＝，當(dāng)P點(diǎn)在y軸上時(shí)，P(0，﹣)，∴當(dāng)t＜0時(shí)，P為線(xiàn)段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；如圖2，當(dāng)AP⊥x軸時(shí)，∵∠BAO＝30°，∴∠PAB＝60°，∵PA＝PB，∴∠APB＝60°，∴此時(shí)P點(diǎn)是線(xiàn)段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，∵A(3，0)，∴OA＝3，∴AB＝2，∴AP＝2，∴t＞3時(shí)P為線(xiàn)段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”；綜上所述：t＜0或t＞3時(shí)P為線(xiàn)段AB的“遠(yuǎn)軸點(diǎn)”，故答案為：t＜0或t＞3．15．(2022秋?長(zhǎng)沙期中)概念學(xué)習(xí)規(guī)定：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱(chēng)這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”．從三角形(不是等腰三角形)一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線(xiàn)與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角開(kāi)中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角三角形”，我們把這條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線(xiàn)”．理解概念：(1)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，請(qǐng)寫(xiě)出圖中兩對(duì)“等角三角形”．概念應(yīng)用：(2)如圖2，在△ABC中，CD為角平分線(xiàn)，∠A＝40°，∠B＝60°．求證：CD為△ABC的等角分割線(xiàn)．動(dòng)手操作：(3)在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的等角分割線(xiàn)，請(qǐng)求出所有可能的∠ACB的度數(shù)．【分析】(1)根據(jù)“等角三角形”的定義解答；(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB，根據(jù)角平分線(xiàn)的定義得到∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，根據(jù)“等角三角形”的定義證明；(3)分△ACD是等腰三角形，DA＝DC、DA＝AC和△BCD是等腰三角形，DB＝BC、DC＝BD四種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理計(jì)算．【解答】解：(1)△ABC與△ACD，△ABC與△BCD，△ACD與△BCD是“等角三角形”；(2)在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD為角平分線(xiàn)，∴∠ACD＝∠DCB＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD為△ABC的等角分割線(xiàn)；(3)當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖2，DA＝DC時(shí)，∠ACD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°，當(dāng)△ACD是等腰三角形，如圖3，DA＝AC時(shí)，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，∴∠ACB＝50°+65°＝115°，當(dāng)△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情況不存在，當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖4，DC＝BD時(shí)，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝＝，∴∠ACB＝，當(dāng)△BCD是等腰三角形，如圖5，DB＝BC時(shí)，∠BDC＝∠BCD，設(shè)∠BDC＝∠BCD＝x，則∠B＝180°﹣2x，則∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由題意得，180°﹣2x+50°＝x，解得，x＝，∴∠ACD＝180°﹣2x＝，∴∠ACB＝，綜上所述：∠ACB的度數(shù)為100°或115°或或．16．(2022春?華州區(qū)期末)閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的2倍的三角形叫做奇異三角形．(1)理解并填空：①根據(jù)奇異三角形的定義，請(qǐng)你判斷：等邊三角形一定是奇異三角形嗎？是(填“是”或“不是”)②若某三角形的三邊長(zhǎng)分別為1、、2，則該三角形是(填“是”或“不是”)奇異三角形．(2)探究：在Rt△ABC，兩邊長(zhǎng)分別是a、c，且a2＝50，c2＝100，則這個(gè)三角形是否是奇異三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】(1)①根據(jù)等邊三角形的三邊相等、奇異三角形的定義判斷；②根據(jù)奇異三角形的定義判斷；(2)分c為斜邊、b為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義判斷．【解答】解：(1)①設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則a2+a2＝2a2，∴等邊三角形一定是奇異三角形，故答案為：是；②∵12+()2＝8，2×22＝8，∴12+()2＝2×22，∴該三角形是奇異三角形，故答案為：是；(2)當(dāng)c為斜邊時(shí)，則b2＝c2﹣a2＝100﹣50＝50，則a2+b2≠2c2，a2+c2≠2b2，∴Rt△ABC不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時(shí)，b2＝a2+c2＝150，則有a2+b2＝50+150＝200＝2c2，∴Rt△ABC是奇異三角形，答：當(dāng)c為斜邊時(shí)，Rt△ABC不是奇異三角形；當(dāng)b為斜邊時(shí)，Rt△ABC是奇異三角形．17．(2022?任城區(qū)三模)我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad)．如圖①在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝．容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的．根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問(wèn)題：(1)sad60°＝1．(2)sad90°＝．(3)如圖②，已知sinA＝，其中∠A為銳角，試求sadA的值．【分析】(1)頂角為60°的等腰三角形是等邊三角形，從而可得sad60°；(2)頂角為90°的等腰三角形是等腰直角三角形，從而可得sad90°＝；(3)在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于點(diǎn)E，分別表示出DE、AE，CE、CD，繼而可求出sadA的值．【解答】解：(1)sad60°＝1；(2)sad90°＝；(3)設(shè)AB＝5a，BC＝3a，則AC＝4a，在AB上取AD＝AC＝4a，作DE⊥AC于點(diǎn)E，如圖所示：則DE＝AD?sinA＝4a?＝，AE＝AD?cosA＝4a?＝，CE＝4a﹣＝，，∴sadA＝．18．(2021?柯城區(qū)模擬)定義：若三角形的一條邊上的高線(xiàn)與這條邊相等，則稱(chēng)這個(gè)三角形為“等底高三角形”，這條邊叫做等底線(xiàn)，這條邊上的高叫做等高線(xiàn)．如圖：在△ABC，CD⊥AB于點(diǎn)D，且AB＝CD，則△ABC為等底高三角形，AB叫等底線(xiàn)，CD叫等高線(xiàn)．【概念感知】判斷：對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)等邊三角形不可能是等底高三角形．√(2)等底高三角形不可能是鈍角三角形．×【概念理解】若一個(gè)等腰三角形為等底高三角形，則此三角形的三邊長(zhǎng)之比為．【概念應(yīng)用】(1)若△ABC為等底高三角形，等底線(xiàn)長(zhǎng)為2，求三角形的周長(zhǎng)的最小值．(2)若一個(gè)等底高三角形的其中一邊是另一邊的倍，求最小角的正弦值．【分析】拿到這種閱讀理解題，一定要先理解給出的新定義的含義，這是做題的根本．根據(jù)題意，多畫(huà)圖，才能找到題目的本意．【解答】解：【概念感知】(1)√，邊與高構(gòu)成直角三角形，斜邊不可能等于直角邊；(2)×，如圖1，高在一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)上即可．【概念理解】分兩種情況：第一種情況如圖2﹣1，底邊上的高等于底邊時(shí)，設(shè)BD＝a，則BD＝CD＝a，∴BC＝AD＝2a，在Rt△ABD中，AB＝AC＝＝＝，∴AB：AC：BC＝．第二種情況，如圖2﹣2，等腰直角三角形中，兩個(gè)腰分別為底和高時(shí)，設(shè)BC＝a，則AC＝a，在RtRt△ABC中，AB＝a，∴AC：BC：AB＝1：1：．【概念應(yīng)用】(1)如圖3，BC＝AD＝2，設(shè)BD＝x(0＜x＜2)，則CD＝2﹣x，∴在R