高等數學A,B教學大綱

《高等數學A、B》教學大綱英文課程名稱:HigherMathematics課程代碼:課程類別:專業(yè)基礎課學時:84+86;84+72學分:5.0+5.5;5.0+4.0開課學期:第一、第二學期適用專業(yè):理工科(非數學類專業(yè)本科學生考核方式:筆試先修課程:初等數學開課單位:數學科學學院一、課程簡介高等數學是高等院校理工科類開設的一門公共專業(yè)基礎必修課。主要內容包括函數、極限與連續(xù)、導數、微分、微分中值定理及導數的應用、不定積分、定積分及其應用、空間解析幾何與向量代數、多元函數的微分法及應用、二重積分與三重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數及微分方程等,是后續(xù)數學課程和專業(yè)課程的重要基礎。二、教學基本要求與內容安排(一教學目與要求通過本課程的教學,使學生獲得一元微積分學、多元微積分學、空間解析幾何與向量代數、無窮級數、常微分方程等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能,具備應用高等數學的思想方法處理相應專業(yè)問題的能力,并具有一定的分析問題和解決問題的能力,為學習后繼課程和進一步學習其它課程奠定必要的數學基礎。第一章函數與極限1.了解鄰域的概念,鞏固對函數概念的理解和函數性質的了解。2.理解復合函數的概念,了解反函數及初等函數的概念。3.會建立簡單實際問題中的函數關系式。4.理解極限的描述性概念及其意義、函數左右極限的概念及其關系。5.掌握極限的運算法則,了解極限的性質,會用變量代換求簡單復合函數的極限。6.了解極限存在的兩個準則,會用兩個重要極限求極限。7.了解無窮小、無窮大、高階無窮小和等價無窮小的概念,會用等價無窮小求極限。8.理解函數連續(xù)的概念;了解函數間斷點的概念,會判別間斷點的類型。9.了解初等函數的連續(xù)性,并會用初等函數的連續(xù)性求極限。10.了解閉區(qū)間上連續(xù)函數的介值定理與最值定理,并會應用這些性質。11.會利用極限知識解決一些實際應用問題。第二章一元函數微分學1.理解導數的概念及其幾何意義、物理意義,了解函數的可導性與連續(xù)性之間的關系。2.了解導數作為函數變化率的實際意義,會用導數表達科學技術中一些量的變化率。3.掌握導數的四則運算法則和復合函數的求導法則,掌握基本初等函數的導數公式。會求的復合函數導數4.會求隱函數和由參數方程所確定的函數的一階導數以及這兩類函數中比較簡單的二階導數,會解一些簡單實際問題中的相關變化率問題。5.了解高階導數的概念,掌握簡單函數一階、二階導數的求法。6.了解微分的概念,了解微分概念中所包含的局部線性化思想,了解微分的有理運算法則和一階微分形式不變性,會求函數的微分。7.了解并會用羅爾定理和拉格朗日定理。8.會用洛必達法則求不定式的極限。9.掌握用導數判斷函數的單調性、函數圖形的凹凸性,會求拐點。10.理解函數的極值概念,掌握用導數求極值的方法。會求解較簡單的最大值與最小值的應用問題。11.了解曲率和曲率半徑的概念,會計算曲率和曲率半徑。第三章一元函數積分學1.理解原函數與不定積分的概念,掌握不定積分的基本公式以及求不定積分的換元法與分部積分法,并會求不定積分(淡化特殊積分技巧的訓練,對于求有理函數積分的一般方法不作要求,對于一些簡單有理函數、三角有理函數和無理函數的積分可作為兩類積分法的例題作適當訓練。2.理解定積分的概念和幾何意義,了解定積分的性質和積分中值定理。理解變上限的積分作為其上限的函數,會求其導定理,掌握牛頓-萊布尼茨(Newton-Leibniz公式。3.掌握求定積分的換元法與分部積分法,并會運用這些方法計算定積分。4.掌握科學技術問題中建立定積分表達式的元素法(微元法,會建立某些簡單幾何量和物理量的積分表達式。5.了解兩類反常積分及其收斂性的概念,會計算反常積分。6.了解定積分的近似計算法(梯形法和拋物線法的思想。第四章常微分方程1.了解微分方程、解、通解、初始條件和特解等概念。2.掌握變量可分離的方程及一階線性微分方程的解法。3.會解齊次方程,并從中領會用變量代換求解微分方程的的思想。4.會用降階法求下列三種類型的高階方程:((,nyfx=(,yfxy''=,(,yfyy'''=。5.理解二階線性微分方程解的結構。6.掌握二階常系數齊次線性微分方程的解法,了解高階常系數齊次線性微分方程的解法。7.會求自由項形如(xnPxeα,(cossinxeAxBxαββ+的二階常系數非齊次線性微分方程的特解,其中(nPx為實系數n次多項式,,,,ABαβ為實數。8.會通過建立微分方程模型,解決一些簡單的實際問題。第五章向量代數與空間解析幾何1.加深對向量概念的理解,鞏固向量的線性運算及數量積運算。2.理解方向余弦與投影的概念。3.掌握向量的向量積幾何與坐標運算。4.會求平面方程及平面與平面的夾角。5.會求空間直線方程及直線與直線、直線與平面的夾角,會求點到直線、點到平面的距離。并會利用它們的關系解決有關問題。6.了解曲面方程和空間曲線方程的概念。7.識別常用二次曲面的方程及其圖形,會求簡單的柱面和旋轉面的方程。8.了解空間曲線的參數方程和一般方程,了解空間曲線在坐標面上的投影,并會求該投影曲線的方程。第六章多元函數微分學1.理解二元函數的概念,了解多元函數的概念。2.了解二元函數的極限與連續(xù)性的概念,了解有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的性質。3.理解二元函數偏導數與全微分的概念,了解全微分存在的必要條件與充分條件。4.掌握復合函數一階偏導數的求法,會求復合函數的二階偏導數(對于求抽象復合函數的二階導數,只要求作簡單訓練。5.會求隱函數(包括由兩個方程構成的方程組確定的隱函數的一階偏導數(對求二階偏導數不作要求。6.了解方向導數與梯度的概念及其計算方法。7.了解曲線的切線和法平面以及曲面的切平面與法線,并會求出它們的方程。8.理解二元函數極值與條件極值的概念,會求二元函數的極值,掌握求條件極值的拉格朗日乘數法,會求解一些比較簡單的最大值與最小值的應用問題。第七章重積分1.理解二重積分的概念,了解二重積分的性質。2.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標,3.了解三重積分的概念,會計算簡單的三重積分(直角坐標、柱面坐標,*球面坐標。4.會利用知識計算曲面的面積、質心和轉動慣量。第八章曲線積分與曲面積分1.理解兩類曲線積分的概念,了解兩類曲線積分的性質及兩類曲線積分的關系,會計算兩類曲線積分(對于空間曲線積分的計算只作簡單訓練。2.掌握格林公式,會使用平面線積分與路徑無關的條件,會求二元函數全微分的原函數,了解第二類平面線積分與路徑無關的物理意義。3.了解兩類曲面積分的概念、相互聯(lián)系及其計算方法。4.了解高斯公式,斯托克斯公式(斯托克斯公式的證明以及利用該公式計算空間曲線積分不作要求。5.了解科學技術問題中建立重積分與曲線、曲面積分表達式的元素法(微元法,會建立某些簡單的幾何量和物理量的積分表達式。第九章無窮級數1.了解無窮級數收斂、發(fā)散以及和的概念,了解無窮級數的基本性質及收斂的必要條件。2.理解正項級數的比較審斂法以及幾何級數與p-級數的斂散性,掌握正項級數的比值審斂法。3.理解交錯級數的萊布尼茨定理,會判定交錯級數的收斂性。了解絕對收斂與條件收斂的概念及二者的關系。4.了解函數項級數的收斂域與和函數的概念,掌握簡單冪級數收斂區(qū)間的求法(區(qū)間端點的收斂性不作要求。了解冪級數在其收斂區(qū)間內的一些基本性質,會求冪級數的和函數。5.會利用xe,sinx,cosx,ln(1x+與(1xα+的麥克勞林展開式將一些簡單的函數展開成冪級數。6.了解利用將函數展開為冪級數進行近似計算的思想。7.了解用三角函數逼近周期函數的思想,了解函數展開為傅里葉級數的狄利克雷條件,會將定義在(π,π-和(,ll-上的函數展開為傅里葉級數,會將定義在(0,l上的函數展開為傅里葉正弦或余弦級數。(二教學內容安排1函數2極限的概念3極限運算法則和性質4兩個重要極限5無窮小與無窮大6連續(xù)函數與性質7極限應用舉例習題課第二章一元函數微分學1導數的概念2函數的四則運算求導法則3反函數與復合函數的導數4隱函數及參數方程的導數5高階導數6函數的微分7微分中值定理8洛必達法則9函數的單調性、凹凸性10函數的極值與最值11曲率習題課第三章一元函數積分學1不定積分的概念與性質2換元積分法3分部積分法4定積分的概念與性質5微積分基本公式6定積分的方法7定積分在幾何上的應用8定積分在物理上的應用BCAAABB講授講授講授講授講授講授講授講授練習1△☆☆☆224421224AAAABBBAAAB講授講授講授講授講授講授☆☆☆☆222311△22322228講授講授討論講授講授講授練習☆☆☆BAABAAAB講授講授講授講授講授講授講授講授☆☆☆☆☆242224529反常積分10定積分的近似計算習題課第四章微分方程1微分方程的概念2可分離變量的微分方程3一階線性微分方程4齊次微分方程5可降階的高階微分方程7常系數齊次線性微分方程8常系數非齊次線性方程習題課第五章向量與解析幾何1向量及其線性運算2點與向量的坐標3數量積和向量積4平面及其方程5空間直線及其方程6曲面與曲線習題課第六章多元函數微分學1多元函數的基本概念2偏導數3全微分4多元復合函數求導法則5隱函數的求導公式6方向導數與梯度7多元函數微分學幾何應用8多元函數的極值及求法BC講授講授講授練習21214CBABBAB講授講授講授講授講授講授講授講授練習11☆212☆△23212BBAAAB講授講授講授講授講授講授講授練習11☆☆☆△2114223CAAAABAB講授講授講授講授講授講授講授講授☆☆☆☆☆△△23222244習題課第七章重積分1二重積分的概念2二重積分的計算法3三重積分概念和計算4重積分應用舉例習題課第八章曲線與曲面積分1對弧長的曲線積分2對坐標的曲線積分3格林公式及其應用4*對面積的曲面積分5*高斯公式與斯托克斯公式6*曲線與曲面積分應用習題課第九章無窮級數1常數項級數的概念和性質2常數項級數的審斂法3冪級數4*函數展開成泰勒級數5*傅里葉級數6*級數應用舉例習題課CAABCCBAABCBCABA講授練習214講授講授講授講授講授練習2☆532218講授講授講授講授講授講授講授練習2☆☆△34412218講授講授講授講授講授講授講授練習2☆☆432412（教學要求：A—熟練掌握；B—理解或掌握；C—了解或會）注：第二學期72課時刪去其中*號部分三、成績考核該課程的考核方式為筆試；平時成績占50%，期末成績占50%；平時成績評定包含出勤、課堂表現(xiàn)、作業(yè)、期中考核