第5講 極值問題、雙極值點(diǎn)問題

第5講極值、雙極值問題整理：貴州畢節(jié)周政源一、問題綜述函數(shù)的極值的定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x二x及其附近有定義，0(1)若對(duì)于x附近的所有點(diǎn)，都有f(x)<f(x)，則f(x)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作000y=f(x)；極大值0(2)若對(duì)xo附近的所有點(diǎn)，都有f(x)>f(xo)，則f(xo)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x°)?極大值與極小值統(tǒng)稱極值．用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)廣(x):③求方程f(x)=0的根；④檢查f'(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.如果f'(x)在這個(gè)根的左、右兩側(cè)符號(hào)不變，則f(x)在這個(gè)根處沒有極值．(最好通過列表法)利用極值求參數(shù)的取值范圍：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)數(shù)廣(x)，求方程f(x)=0的根的情況，得關(guān)于參數(shù)的方程(或不等式)，進(jìn)而確定參數(shù)的取值或范圍.二、典例分析類型一：求函數(shù)的極值【例1】求函數(shù)f(x)=x4-yx3+2x2+1(xGR)的極值.【解析】f(X=4x3-10x2+4x=2x(2x-1)(x-2),令/'(x)二0,解得“=0，x2=2,x3=2.當(dāng)x變化時(shí)，/'(x),/(x)變化狀態(tài)如下表：x(—8,0)01(0,—)2121(二，2)22(2,+8)f'(x)—0+0—0+f(x)1/55485-3/由上表可以看出，/(x)在(一8,0)和(2,2)上為減函數(shù)，在(0,2)和(2,+(?)上為增函數(shù).當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極小值/(0)=1；當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)有極小值f⑵=-5.當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有極大值/()=2248【方法小結(jié)】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的的基本步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)廣(x):③求方程f'(x)=0的根；④檢查廣(X)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則f(X)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(X)在這個(gè)根處取得極小值.如果f'(x)在這個(gè)根的左、右兩側(cè)符號(hào)不變，則f(X)在這個(gè)根處沒有極值.(最好通過列表法)【例2】已知函數(shù)f(x)=x—2-alnx,aeR，求函數(shù)f(x)的極值.【解析】f(x)=x-2-alnx定義域?yàn)?0,+a),f(x)=1一￡=土上,xx當(dāng)a<0時(shí)，f(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，f(x)無(wú)極值.當(dāng)a>0時(shí)，令廣(x)=0，解得x=a當(dāng)xe(0,a),f(x)<0,f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減；當(dāng)xe(a,+8),f(x)>0,f(x)在(a,+8)上單調(diào)遞增.故f(x)在x=a處取得極小值，且極小值為f(a)=a-2-alna，無(wú)極小值.綜上，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)有極小值為a-2-alna，無(wú)極大值.

【例3】已知函數(shù)f(x)二xe-i-2mx-mx,meR,討論f(x)的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，有極值時(shí)求出x-x-i-m)(x+1)，【解析】易知廣(x)=xex-i+ex-i-mx-m=①當(dāng)m<0時(shí)，ex-1-m>°恒成立,所以當(dāng)xe(-g,—1)時(shí)，廣(x)<°,f(x)單調(diào)遞減,當(dāng)xe(—1,+a)時(shí)，廣(x)>°,f(x)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得極小值f(-1)=-丄+牛e22②當(dāng)m>°時(shí)，令f(x)=°可得x=1,x=1+lnm，12(1)當(dāng)x<x時(shí)，即m>e-2時(shí)，12當(dāng)xe(-l,l+Inm)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)xe(-8,-l)U(l+Inm,+8)時(shí)，f(x)>°,所以當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得極大值f(-1)=-丄+m，e22當(dāng)x=1+lnm時(shí)，f(x)取得極小值f(1+lnm)=-2m(1+lnml；(2)當(dāng)x>x時(shí)，即°<m<e-2時(shí)，12當(dāng)xe(l+Inm,-1)時(shí)，f(x)<0,當(dāng)xe(-8,l+Inm)U(-l,+8)時(shí)，f(x)>0,所以當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)取得極小值f(-1)=-丄+m，e22當(dāng)x=1+lnm時(shí)，f(x)取得極大值f(1+lnm)=-2m(1+lnml；當(dāng)x=x時(shí)，即m=e-2時(shí)，f,(x)>°恒成立，f(x)無(wú)極值.12【方法小結(jié)】應(yīng)注意f'(x)=°只是函數(shù)f(x)在x處有極值的必要條件，如果再加上x左右導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相°°°反，方能斷定函數(shù)在x°處取得極值，反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是經(jīng)常出現(xiàn)的失誤.類型二：函數(shù)極值的逆向應(yīng)用【例4】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在點(diǎn)x°處取得極大值5,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)

(1,0),(2,0)，如圖所示.求:x的值；0a,b,c的值.【解析】(1)由圖象可知，在(-?1)上f(x)>0，在(1,2)上f(x)<0，在(2,+8)上f(x)>0,故/(x)在(-8,1)和(2,+8)上遞增，在(1,2)上遞減,因此f(x)在x=1處取得極大值，所以x=1.0(2)方法一：f'(x)=3ax2+2bx+c，3a+2b+c=0由f(由f(1)=0，f(2)=0,f(1)=5，得<12a+4b+c=0，解得\b=-9.c=12方法二:設(shè)f(x)=m(x一1)(x一2)=mx2一3mx+2m.方法二:TOC\o"1-5"\h\zm3又f'(x)=3ax2+2bx+c，所以a=一，b=一一m，c=2m，32f(x)=mx3一mx2+2mx，由f(1)=5，即m—m+2m=5，32八33得m=6，所以a=2，b=—9，c=12.【方法小結(jié)】(1)由導(dǎo)函數(shù)的圖象求極值點(diǎn)，先看圖象與x軸的交點(diǎn)，其次看這點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值的正負(fù).(2)注意條件“在點(diǎn)x處的極大值是5”的雙重條件，即f(x)=0，f(x)=5.000類型三：極值的綜合應(yīng)用【例5】已知函數(shù)f(x)=x3-3ax-1(a豐0)，若f(x)在x=-1處取得極大值，直線y=m與y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍.【解析】f(x)=3x2-3a，因?yàn)閒(x)在x=-1處取得極大值，所以廣(-1)=3(-1)2-3a=0，所以a=1.所以f(x)=x3一3x一1，f(x)=3x2-3，由f(x)=3x2—3=0解得x=—1,x=1.12由f(x)的單調(diào)性可知，f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=1，在x=1處取得極小值f(1)=-3.因?yàn)橹本€y=m與函數(shù)y=f(x)的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又f(-3)=-19<-3，f(3)=17>1，結(jié)合f(x)的單調(diào)性可知，m的取值范圍是(-3,1).

方法小結(jié)】?jī)汕€的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，實(shí)際上是方程解的個(gè)數(shù)問題，而本質(zhì)上是函數(shù)的極值問題。類型四：雙極值問題【例6】(2018年新課標(biāo)I)已知函數(shù)f(x)=丄—x+alnx.x1)討論f(x)1)討論f(x)的單調(diào)性;2)1)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，證明：f(xi)—f(x2)<a-2?i2x-xi2①因?yàn)閒(x)=l—x+alnx，所以f，(x)=—x_ax+1，xx2所以當(dāng)-2<a<2時(shí)A<0,廣(x)<0，所以f(x)在(0,+小上單調(diào)遞減,②因?yàn)锳>0，即a<-2或a>2，此時(shí)方程x2—ax+1=0的兩個(gè)根為x=aa2―4,x=竺二￡，1222當(dāng)a<-2時(shí)，此時(shí)兩根均為負(fù)，所以f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減；當(dāng)a>2時(shí)，A>0，此時(shí)f(x)在(0,x)單調(diào)遞減，在(x,x)單調(diào)遞增，在(x,+8)單調(diào)遞減.1122(2)由⑴可得方程x2-ax+1=0的兩個(gè)根為x1，x2，得a>2,x1+x2=a，x1x2=】，令0<x1<x2所以x1=+，2iri)x+iri)x+alnx—x+alnx所以f(x)—f(x)=」-12x11所以f(x1)-fg)=—2+alnx1—lnx2，x-xx-x\o"CurrentDocument"f(x)1—f2(x)1要證fW八x2丿<a—2成立，x—x12x222Inx-Inx即證——12<x-x121，=2(x-x)+a(lnx-lnx)，2ii2xlnxln—x+xxi2即證一-x—xi2x-xi2—2lnx——+x2x2<0,x>1，即證2<0，2即證-2lnx一丄+x>0(x>1)，2x222令g(x)=-2lnx一丄+x,x>1可得g(x)在(1,+a)上為增函數(shù)，所以g(x)>g(1)=0,x所以lnx1-lnx2<1成立，即fW-f(x2)<a—2成立.x—xx—x1212

1■三2，則實(shí)數(shù)ax1【例7】已知函數(shù)f(x)=aex一-x2-b(a,bgR)■三2，則實(shí)數(shù)ax1的取值范圍為.【解法1】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x,12所以廣(x)=aex所以廣(x)=aex-x=0有兩根x,x，即12na=f=-

ax2=x②ex1ex22

令g(x)=—，則g'(x)^—x又a=—r，令m(x)=—，易知m(x)在(0,1)單調(diào)遞增，所以0<m(x)Wm(ln2)=則當(dāng)x則當(dāng)xg(—8,1)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x當(dāng)xg(1,+8)時(shí)，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減;又xT一8時(shí)，g(x)T-g；xT+8時(shí)，g(x)t0+且g(0)=0,g(x)圖像如下圖所示:由②得x-三2nx-x三ln2.x2g(x)圖像如下圖所示:由②得x-三2nx-x三ln2.x211表示x到x的距離最小為ln2，21且直線y=a與其有兩個(gè)交點(diǎn).In22ln22ln2x當(dāng)x=ln2時(shí)，—1=?此時(shí)1ex2222e2ln2e*2ex.]當(dāng)x=2ln2時(shí)，滿足x-x=ln2為臨界情況，當(dāng)y=a下移時(shí)滿足題意.221故實(shí)數(shù)a的取值范圍為aef0,吸1【解法2】函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x,12所以f，(x)=aex一x=0有兩根x,x，即ae^=x,aex?=x，兩式相比，得ex?-嗎1212"2lnt令t=4(t三2)，則宀=t，得學(xué)-(t三2)(顯然x1>0)，令g(t)=皿(t三2)，則g'(t)=t一皿一1t一1(t-1)2設(shè)h(t)=t-lnt-1(t22),則h'(t)=-lnt<0，所以h(t)在【2,+8)單調(diào)遞減，所以h(t)Wh(2)=1-2ln2<0，即g'(t)<0,所以g(t)在[2,+8)單調(diào)遞減，故g(t)wg(2)=ln2，即xe(0,ln2].1ex1ex2即0<aWln2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為aef0,ln2.2I2」【方法小結(jié)】借助題設(shè)將目標(biāo)函數(shù)化為一個(gè)變量的函數(shù),再求其范圍或證明不等式．三、鞏固練習(xí)1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10,求a，b的值.2．3.已知f(x)=(x2一2ax)lnx+2axx2,aeR，求f(x)的極值2．3.237已知f(x)=2x2-10x(xeR)，是否存在自然數(shù)m，使得方程f(x)+=0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且x只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。已知函數(shù)f(x)=ax2-2x+lnx有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x，x，若不等式九〉f(x)+f(x)恒成立，貝實(shí)1212數(shù)九的取值范圍是()A.[—3,+a)B.(3,+a)C?[―e，+a)D?(e，+g)已知函數(shù)f(x)=1—x一alnx.x討論f(x)的單調(diào)性；若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x,x，記過點(diǎn)A(x,f(x)),B(x,f(x))的直線的斜率為k，問：是否存在121122a，使得k=a—2，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.6.已知函數(shù)f(x)=lnx.若方程f(x+a)=x有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求a的值.若函數(shù)g(x)=f(x)+x2—mx,m>^-的極值點(diǎn)x,x(x<x)恰好是函數(shù)h(x)=f(x)—cx2—bx的零221212點(diǎn)，求y=(x—x)h，%+3的最小值.12I2丿四、鞏固練習(xí)參考答案1.【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,依題意得方程組3+2a+依題意得方程組3+2a+b=01+a+b+a2=10解得a=—3b=3a=4b=—11當(dāng)a=-3,b=3時(shí)，f'(x)=3x2+6x+3,令f'(x)=0得x=1.(一8,l)l(l,+w)廣(x)+0+f(x)□無(wú)極值□顯然a=-3，b=3不合題意，舍去.令廣(x)=0得x=-#x或當(dāng)a=4,b=-11時(shí)，/(x)=3x2令廣(x)=0得x=-#x或x(11)"3)11—亍(-中)l(l,+s)廣(x)+0—0+f(x)□極大值□極小值□x=l.fx)在x=l處有極小值10,合題意，口0=4,b=-11.2.【解析】由f(x)=C—2ax)nx+2ax—x2可得f(x)=(2x—2a)lnx2.2①當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)xw(l,+8)時(shí)，廣(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)xw(0,1)時(shí)，廣(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)在x=1處取得極小值，極小值為f(1)=2a—1，無(wú)極大值；②當(dāng)0<a<1時(shí)，當(dāng)xw(0,a)U(1,+8)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)xg(a,1)時(shí)，f(x)<0所以f(x)在x=1處取得極小值，極小值為f(1)=2a—1，在x=a處取得極大值，極大值為f(a)=—a2lna+—a2；2

當(dāng)a=1時(shí)，f((x)>0恒成立，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>1時(shí)，當(dāng)xw(0,l)U(a,+8)時(shí)，f(x)>0，當(dāng)xw(l,a)時(shí)，f(x)<0,所以f(x)在x=1處取得極大值，極大值為f(1)=2-2，在x=a處取得極小值，極小值為f(a)=-a2Ina+—a2.23.【解析】方程f(x)+37=0等價(jià)于方程2x3-10x2+37=0,x設(shè)h(x)=2x3一10x2+37，則h'(x)=6x2一20x=2x(3x一10)，h'(x)<0,h'(x)<0,h(x)是減函數(shù)；當(dāng)x彳+8J時(shí),h'(x)>0,h(x)是增函數(shù).??-h(3)=1>0，h伴卜-27<0，h(4)=5>0，???方程h(x)=0在區(qū)間內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根而在區(qū)間(0,3)，(4,+8)內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根，所以存在唯一的自然數(shù)m=3使得方程f(x)+37=0在區(qū)間(m,m+1)內(nèi)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.x4.【解析】f'(x)=2ax-2+丄=0即2ax2—2x+1=0有兩個(gè)正根x,xTOC\o"1-5"\h\zx12A=4—8a>0所以2ax2-2x+1=0<x+x2所以2ax2-2x+1=0<12a2xx=>0122a所以f(x)+f(x)=a(x2+x2)-2(x+x)+lnxx121212122xx-2(x+x2xx-2(x+x)+lnxx=ar丄丄］12_1212ka2a丿/=a卜x+x-2+ln丄=-1+1丄1,a2aa2a令g(a)=-丄ln+丄-10<a<—

a2a>0，a2aa2所以g(a)在(0,丄k2丿上為增函數(shù)，所以g(a)<g-=-3，所以九〉-3，故選A.k2丿5.【解析】(5.【解析】(1)f(x)定義域?yàn)?0,+8)，f，(x)x2x2一ax+1x2令g(x)=x2-ax+1，其判別式A=a2一4，所以當(dāng)|a|<2時(shí)，A<0,f(x)>0，故f(x)在生(0,+8)單調(diào)遞增,當(dāng)當(dāng)a<-2時(shí)，A>0,g(x)=0得當(dāng)a<-2時(shí)，此時(shí)兩根均為負(fù)，所以f(x)在(0,+^)上單調(diào)遞增,11221122當(dāng)a>2時(shí)，A>0,g(x)=0,此時(shí)f(x)在(0,x)單調(diào)遞增，在(x,x)單調(diào)遞減，在(x,+8)單調(diào)遞增,11221)由(1)知，a>2，因