1999-數(shù)一真題、標準答案及解析

1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試理工數(shù)學(xué)一試題詳解及評析一、填空題lim?1

1 ? .x0?

xtanx?? ?1【答】31】

lim?1

1 ?limtanxxlimtanxxx0?x2

xtanx

x0

x2tanx

x0 x3? ?x0x0

sec2x13x2tan2x3x22】

lim?1

131 ?limsinxxcosxlimsinxxcosxx0?x2

xtanx

x0

x2sinx

x0 x3? ?limcosxcosxxsinxx0

3x2limsinx1x03x 3d x 2x0sinxtt .【答】【詳解】

sinx2.

dxsinxt2txtud0inu2udx0 dxxdxsinu2dudx0sinx2故本題應(yīng)填sinx2(3)y''4ye2x的通解為 .【答】

yCe2x?C1x?e2x其中CC為任意常數(shù).1 ?2 4? 1 2? ?【詳解】 特征方程為：240,解得2,21 2y''4y0yCe2xCe2xfxe2xa2為特征方程1 1 2的單根，因此原方程的特解可設(shè)為y*Axe2x,代入原方程可求得A1，4故所求通解為

yyy*Ce2xCe2x1xe2x故本題應(yīng)填

1 1 2 4yCe2x?C1x?e2x,1 ?2 4?? ?設(shè)n階矩陣A的元素全為1，則A的n個特征值是 .n?【答】

n,0,…,0【詳解】 因為1

1 … 1

n

1 … 1EA

1

1n

1… 1# # # # # # # #1 1 …1 1

11

1

1n0 … 0# # # #0 0 … Ann0（n1重）n?n0,…0.B和CABCPAPBPC1,2PABC1

9,則PA.16【答】 .4【詳解】 根據(jù)加法公式有PABCPAPBPCPACPABPBCPABC1B和CABCPAPBPC

,因此有2PABPACPBCP2A,PABCP0,PABC3PA3P2A9163 1解得 PA

,PA4 41 1又根據(jù)題設(shè)

PA 2

PA4二、選擇題fxFx是其原函數(shù)，則fxFx必是偶函數(shù).fxFx必是奇函數(shù).fxFx必是周期函數(shù).fxFx必是單調(diào)增函數(shù).【】【答】 應(yīng)選（A）x【詳解】 fx的原函數(shù)Fx可以表示為Fx0ftdtC,于是x xFx0 ftdtCut0fuduC.fxfufu，從而有即 Fx為偶函數(shù).

Fx0xx0xx

fuCftCFx故（）為正確選項.至于（BC（）可分別舉反例如下：fxx2Fx1x31不是奇函數(shù)，可排除（B；3fxs2xFx1x1sin2x不是周期函數(shù)，可排除（C；2 4fxx在區(qū)間Fx1x2在區(qū)間內(nèi)非2單調(diào)增函數(shù)，可排除（D）.??1cosx,x0?設(shè)fx? x 其中g(shù)x是有界函數(shù)，則fx在x0處?x2gx,x0（A）極限不存在. （B）極限存在，但不連續(xù)（C）連續(xù)，但不可導(dǎo) （D）可導(dǎo).【】【答】 應(yīng)選（D）【詳解】因為f'00limfxf0lim1cosx0,x0

xfxf0

x0

3x2x2gxf'00lim lim limgxx0,x0

x0

x x0fxx0fxx0處可導(dǎo)，故正確選項為(D).??(3)fx?

x,0x121

，Sx2

ancosx,x,?22x,? ? 1? 1

x1

n1? 5?

20fxosdx,n,,,…,S?2?等于1(A)2

(B) (C)312 41

(D)34【】【答】 應(yīng)選（C）.fx從0,12）延拓，進一步展開為傅里葉級數(shù)，根據(jù)收斂定理有S?5?S?21?S?1?? 2? ? 2? ? 2?? ? ? ? ? ?f?10?f?10??1?

?2 ? ?2 ?S? ?? ? ? ??2?3.4AmnB是nm矩陣，則mnAB0

2mnAB0（C當nm時必有行列式AB0 （當nm時必有行列式AB0【】【答】 應(yīng)選（B）.【詳解】 因為AB為m階方陣，且rBin?rA,rB?in,n當mn時，由上式可知，rABnm,即AB不是滿秩的，故有行列式AB0.因此，正確選項為（B）.X和YN0,1N，則（A）PXY1.2

(B)PXY11.2（C）PXY1.2【答】 應(yīng)選（B）.

PXY11.2【】【詳解】 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，服從正態(tài)分布的隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布.因此XY~N1,2,XY~N1,21利用正態(tài)分布在其數(shù)學(xué)期望左右兩側(cè)取值的概率均為2

B）為正確選項.yyxzzxzxfxyFxyz0f和F分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求dz.dx【詳解】分別在zxfxy和Fx,y,z0的兩端對x求導(dǎo)，得?dz

fx?1dy?f'?dx

? dx?? ? ??F'xF'ydy

'dz0?整理后得

Fzdx dx?xf'dydz

fxf'? dx dx? dy dz?F'y F'

F'x?解此方程組，得

dx dxdz

fxf'F'yxf'F'

,F'yxf'F'z0四、求I

dx F'yxf'F'zexsinybxydxexosyaxdy,a,b為正常數(shù)，L為從點axx2A2a,0沿曲線y 到點O0,0axx2【詳解】添加從點O0,0沿y0到點A2a,0的有向直線段L1,則IL

?exnybxy?xexsyxy11L11利用格林公式，前一積分

?exnybxy?xexsyxyI?QP

badxdy1 ?

y?dxdyD? ? Da2ba2其中D為LL1所圍成的半圓域，后一積分選擇x為參數(shù)，得L1:?y?xx,0?y?可直接積分I2

2abxdx2a2b0故 III?2?a2ba3.01 2 ?2 ? 2? ?五、設(shè)函數(shù)yxx0二階可導(dǎo)且y'x0y0yyx上任意一點PxyxxS1區(qū)間0xyyx為曲邊的曲邊梯形面積記為S22S1S2恒為1，求此曲線yyx的方程.【詳解】 曲線yyx上點Px,y處的切線方程為Yyxy'xXx? y ? 'y'它與x軸的交點為?x ,0?由于yx0,y0因此yxx0y'? ?1 ? y? y2? 于是S12yx?xy'?2y'.? x又 S20ytdtx

y2 x根據(jù)題設(shè) 2S1S21，有

2y'0ytdt并且 y'01，兩邊對x求導(dǎo)并化簡得y'y'2這是可降階得二階常微分方程，令ypdpp2，分離變量得dy

py'，則上述方程可化為dpp ydy解得pC1y，即

dxC1y,從而有

yCexC1 y0y'01

C

0,1 2故所求曲線得方程為

yex.x0x2nxx2.【詳解1】fxx2nxx2.又

易知f10f'x2xlnxx21,f'0xfx2lnx12x2

1,f''120x2fxx3可見，當0x1fx當1xfx因此，有當1x時，fxf20f'0f'x是單調(diào)增函數(shù)推知，當0x1f'x當1x時，f'xfxf00x，即證之：x0x2nxx2.【詳解2】x0x2nxx2等價于當0x1時，lnxx1;當1x時，lnxx1;于是令x1

fxlnxx1x1

x1則 f'x1 2 22

x21

20x0xf0

x1

xx1當0x1fx0，當1xfx0x0時，有x2fxx2nxx2,即當 x0時，x2nxx2.30m,抓斗400N500N2000N3m/s,在提升過程中，20N/s說明：①1NmNsJ【詳解1】建立坐標軸如圖所示，將抓起污泥的抓斗提升至井口需作功WW1W2W3其中W1是克服抓斗自重所作的功；W2是克服纜繩重力作的功；W3為提出污泥所作的功.由題意知W14003012000.xxdx5030xdx,30從而 20500xdx22500.30在時間間隔ttdt3200020tdt.30將污泥從井底提升至井口共需時間310

10，所以30320002tdt57000.因此，共需作功W12000225005700091500J【詳解2】作x軸如圖所示，將抓起污泥的抓斗提升至井口需作功記為W，當抓斗運動到x處時，作用力fx1

包括抓斗的自重400N,纜繩的重力5030xN

，污泥的重力20003于是

x20N，即fx4005030x200020x3900170x,3 3W30?00xx0x5x230000J0? 3 ? 3 0? ?222zSxy21PxyzS,SP處的切平面，z2 2x,y,z為點O0,0,0到平面的距離，求z dS.Sx,y,zFxyzx2y2z2設(shè)X,YZ為上任意一點，則的方程為2 2x y F'XxF'YyF'Zzx y xX yY即從而知

zZ2 2AxByCzA2B2C2AxByCzA2B2C2

x2y2

1z2?2?4 4 ?這里 A

x,B2

,Cz,?

? ?y2?由曲面方程知

z1?22?,于是zx

? ?21?2221?22?x2 y2??21?22?x2 y2??y

y ,因此dS

d d11?x???z?z? ? 4x2y221?22?x2 y2??x2yx2y24 4z2dS Sx,y,z S14x2y2d12

24r2rdr432

40 000九、設(shè)an4tannxdx,1n（1）求 nn2的值；nn1an（2）試證：對任意的常數(shù)級數(shù)收斂nn1n【詳解】（1）因為1 1 1aa 4tannx1tan2xdx 4tannxsec2n n n2

n0

n0tnxt11tnt 1 n0n又由部分和數(shù)列n

nn1nS1aannn

1 11,i1i

i i2

i1

ii1 n1n有 limSnn1n因此 nn2nn1（2）先估計an的值，因為 an4tannxdxtanxt

t dt1tndt 1,2 n10 01t 2 n1

n1所以

nn

1,n1 1由11知

1收斂nn1nan從而 也收斂.nn1n?aA?

1 c?b 3?AA有一個特征值，? ? 01c 0 a?屬于的一個特征向量為,,Ta,,c和的值.0 0【詳解】根據(jù)題設(shè)有

A*,0又 0

AEE,于是

AA*AA,0 即 0 ?a也即 ?

1 c??1? ?1?b 3??1??1?0? ?? ? ? ?由此，可得

1c 0 a??1? ?1??0a1c1?5b31?? 0?解此方程組，得

?01ca1bac又由 A1和ac，有a

1 a5 3 3a31故 ac

1a

0 a因此 a2,bc2,1.AmB為mnBT