多元模型回歸和分析

多元模型回歸和分析2一、實驗數(shù)據(jù)分析由實驗數(shù)據(jù)回歸模型，得到模型參數(shù)前，對數(shù)據(jù)自變量間的線性相關性進行檢驗，是發(fā)現(xiàn)回歸模型應用的可靠性和準確性受限制的有效方法。因自變量間的線性相關性，使得無法區(qū)分它們對因變量的作用;回歸模型參數(shù)時會遇到幾乎是奇異的數(shù)據(jù)矩陣，這樣的模型參數(shù)有很大的不確定性(95％的參數(shù)置信度范圍寬)。例：回歸二氧化硫的催化氧化速率方程：裝有載鉑氧化鋁催化劑顆粒的微分固定床反應器中，測定二氧化硫的催化氧化速率?？倝簽?90mmHg時，記錄流體相的組成分壓，有下表所示的速率結果，通過這些數(shù)據(jù)求取二氧化硫的催化氧化速率方程。3二氧化硫的催化氧化速率r分壓(atm)mol/g.hSO3SO2O20.020.04280.02550.1860.040.03310.03530.1900.060.02720.04090.1930.080.02360.04430.1950.100.02140.04640.1960.120.02010.04760.197表8－2二氧化硫的催化氧化速率4兩種模型的非線性回歸1、一般的指數(shù)速率方程形式(8.2.1)k=0.517±113.3；a=-1.98±7.02；b=-0.216±4.556；c=6.078±124.7

擬合結果：參數(shù)的95％置信度太寬，模型參數(shù)不可靠。

2、根據(jù)原子氧的吸附機理，得到的速率方程式（Smith，ChemicalEngineeringKinetics,3rdEd.,1981,McGraw-Hill,P.374）(8.2.2)K=73，為反應平衡常數(shù)A=0.1017±0.0958；B=16.02±4.33

擬合結果：與方程(8.2.1)相比，方程參數(shù)的置信度有了顯著改善。

5對速率方程的進一步分析如果把方程(8.2.2)改寫為：(8.2.3)將模型參數(shù)代入計算并以方程左邊為橫坐標、右邊為縱坐標作圖。結果并不是斜率為-1的直線。說明表所給的速率數(shù)據(jù)沒有足夠的信息來表明速率方程中的逆反應貢獻。如將SO3分壓對O2分壓作圖，這兩分壓間有近似線性關系。所以方程（）的置信區(qū)間范圍大。6二、回歸模型的選擇（1）例：水飽和蒸汽壓的模型回歸水的蒸汽壓數(shù)據(jù)選用的溫度范圍為0～120℃三參數(shù)的Antoine方程：四參數(shù)的Riedel回歸方程：五參數(shù)回歸方程（參考Thek-Stiel的蒸汽壓預測方程提出）：(8.2.4)(8.2.5)(8.2.6)7水飽和蒸汽壓的模型回歸結果參數(shù)Antoine方程改進Thek-Stiel方程A18.5587.5132B-3973.2-10.449C-39.9832.8683D-.064796E-6.8475R20.99999981.0表8-3 水飽和蒸汽壓的方程擬合結果

擬合度十分接近1，表明擬合是成功的，但實際上用Antoine方程來擬合回歸得到的結果不理想，說明僅從擬合度上來判斷結果的好壞是不夠的。為什么呢？

8因變量與殘差關系圖殘差定義：(8.2.7)考察模型參數(shù)估計方法的兩個基本假設：參數(shù)估計的誤差相互不相關聯(lián)，是隨機的。估計誤差符合正態(tài)分布。檢查模型適合體系數(shù)據(jù)程度的最有效方法之一是對因變量與殘差作圖，觀察其分布情況。

9Antoine方程擬合的殘差殘差雖然很小，但其分布不是隨機的。殘差的分布同正態(tài)分布相比，有較大的差距。

兩方面的結果充分說明了擬合回歸的Antoine方程還不能充分反映蒸汽壓與溫度間的關系，造成殘差間存在關聯(lián)。采用Riedel方程擬合得到的也是類似的結果。

10改進Thek-Stiel方程方程的擬合結果擬合誤差比Antoine方程小了近一個數(shù)量級，而且殘差分布是隨機分布的。誤差分布基本符合正態(tài)分布。改進Thek-Stiel方程方程描述水飽和蒸汽壓的合適模型。

11二、回歸模型的選擇（2）前面說明了模型參數(shù)較少時會出現(xiàn)擬合殘差的分布不是隨機的，而是呈現(xiàn)某種分布，相互關聯(lián)。在模型回歸擬合數(shù)據(jù)的過程中，如模型參數(shù)過多會出現(xiàn)什么情況？如何判斷回歸擬合模型中有過多的參數(shù)呢？12丙烷在氫型絲光沸石上的吸附平衡例：選用不同吸附方程擬合丙烷在氫型絲光沸石體系303K的吸附平衡數(shù)據(jù)。目標：說明如何對模型擬合結果進行統(tǒng)計分析，確定模型擬合的好壞、模型參數(shù)的可靠性和準確性，從而進行擬合模型的選擇。P,kPaq,mmol/gP,kPaq,mmol/gP,kPaq,mmol/gP,kPaq,mmol/g0.100.09

1.080.4812.670.81115.891.140.140.12

1.470.5116.700.85140.071.170.220.18

1.510.5324.810.90158.901.190.330.24

2.270.5934.280.95176.761.200.410.30

3.220.6443.850.98193.371.220.490.31

4.720.6954.621.02206.811.240.570.36

5.060.7065.791.040.770.41

7.390.7573.191.060.990.4410.260.7994.661.09表8-4303K時丙烷在氫型絲光沸石上的吸附平衡數(shù)據(jù)

13具有代表性的、也是適用性較廣的模型1、Lanmuir(L)雙參數(shù)方程：2、Freundlich(F)雙參數(shù)方程：(8.2.8)3、BET雙參數(shù)方程：4、Langmuir-Freundlich(LF)三參數(shù)方程：5、三參數(shù)方程：6、Toth三參數(shù)方程：7、擴展的LF方程（五參數(shù)）：8、(14)式的特殊形式（四參數(shù)）：(8.2.9)(8.2.10)(8.2.11)(8.2.12)(8.2.13)(8.2.14)(8.2.15)14各模型的計算結果Eq.(8)Eq.(9)Eq.(10)Eq.(11)Eq.(12)Eq.(13)Eq.(14)Eq.(15)nm1.0840.051/0.9760.0250.4380.0534.62317.221.5350.2570.7580.0880.7690.068a0.5530.1310.4460.034/1.3820.107//1.3290.4961.4270.144b/0.200.018/0.4940.0620.6781.6580.5490.0760.9420.1070.9750.058c//812.1116.3/20.9652.650.3410.0591.9071.5930.0170.003d//////0.0240.0480.9120.046e//////1.6380.586/s29.09010-27.72110-25.13410-23.79910-22.9933.15410-21.04810-28.68610-3R20.987900.991270.996140.997950.998580.998590.999860.99990表8－5吸附等溫線關聯(lián)的參數(shù)值、方差和回歸系數(shù)

從表中可看出，方程(8→14)擬合方差逐漸減少，回歸系數(shù)更接近1（方程(12)是通過壓力數(shù)據(jù)來擬合的，故擬合方差和其它方程的結果不是在同一數(shù)量級上)。由方程(14)的五參數(shù)形式改進的方程(15)式獲得的結果最好，實驗數(shù)據(jù)點幾乎完全落在方程（15）式的曲線上(見下圖)。15方程(13)和方程(15)的擬合結果方程(15)式獲得的結果最好，實驗數(shù)據(jù)點幾乎完全落在方程（15）式的曲線上。16判斷模型參數(shù)是否過少的依據(jù)通過對方程(13)和五參數(shù)方程(15)的殘差進行分析，方程(13)因參數(shù)過少，吸附量的計算誤差與實驗吸附量之間存在著某種分布。方程(15)計算誤差在零的兩邊是隨機分布的，看不出規(guī)律性。因此，擬合計算誤差有無規(guī)律性的分布是判斷模型參數(shù)是否過少的依據(jù)。因此，擬合計算誤差有無規(guī)律性的分布是判斷模型參數(shù)是否過少的依據(jù)。

方程(13)的擬合誤差

方程(15)的擬合誤差

17判斷模型參數(shù)是否過多的依據(jù)Eq.(14)Eq.(15)nm0.7580.0880.7690.068a1.3290.4961.4270.144b0.9420.1070.9750.058c1.9071.5930.0170.003d0.0240.0480.9120.046e1.6380.586/s21.04810-28.68610-3R20.999860.99990在方程(14)的計算結果中，有些參數(shù)95%的置信度較大，說明這些參數(shù)之間有聯(lián)系，不是獨立的。而對于方程(14)的五參數(shù)形式，即方程(15)，其所有參數(shù)的95%置信度都較小。事實上，方程(15)就是據(jù)此分析對吸附平衡理論作進一步研究而獲得的。因此，擬合參數(shù)95%的置信度是否較大是判斷模型參數(shù)是否過多的依據(jù)。18回歸模型的選擇總結模型參數(shù)較少時會出現(xiàn)擬合殘差的分布不是隨機的，而是呈現(xiàn)某種分布，相互關聯(lián)。殘差的分布偏離正態(tài)分布較遠。模型參數(shù)過多會出現(xiàn)某些參數(shù)95%的置信度較大，說明這些參數(shù)之間有聯(lián)系，不是獨立的。19習題研究二硫化碳飽和蒸汽壓的模型回歸問題。（P266，Ex8.3）二硫化碳的基本性質(zhì)：臨界溫度為273.05℃臨界壓力為72.87atm。溫度，℃蒸汽壓，mmHg溫度，℃蒸汽壓，mmHg-701.610198.0-603.520297.5-507.130432.7-4014.040616.7-3026.250995.6-2046.5601170.4-1078.8701558.00127.320Statistica的非線性估計非線性估計方法User-SpecifiedRegression,leastsquare

可以計算95%置信區(qū)間21“l(fā)eastsquare”與“CustomLoss

”比較“l(fā)eastsquare”計算結果（采用Levenberg-Marquardt方法）“CustomLoss

”計算結果（采用Quasi-Newton法） Matrixillconditioned;cannotcomputestandarderrors.E±Conf22“CustomLoss

”的方差分析與迭代步驟

“CustomLoss”無迭代歷史紀錄，協(xié)方差分析結果已出現(xiàn)病態(tài)。Covariancematrixcannotbecomputed.23Statistica非線性估計的殘差分析殘差分布情況殘差對預測值作圖24對方程(15)的殘差分析HistogramofresidualsResidualvs.Predicted25誤差正態(tài)分布圖“l(fā)eastsquare”計算的誤差正態(tài)分布圖“CustomLoss

”計算的誤差正態(tài)分布圖Antoine方程擬合結果26非線性函數(shù)的管理27三、MATLAB的擬合函數(shù)多項式擬合函數(shù)polyfit非線性最小二乘法lsqnonlin()——非線性最小二乘（優(yōu)化問題）lsqcurvefit()——非線性最小二乘曲線擬合nlinfit()——前兩種的簡化版本nlparci()——計算參數(shù)的置信區(qū)間nlpredci()——計算預測值的置信區(qū)間nlintool()——nlinfit()、nlparci()、nlpredci()的集成圖形用戶界面擬合函數(shù)注意：不同的擬合函數(shù)命令，其優(yōu)化目標函數(shù)定義以及調(diào)用形式不同，注意區(qū)分?。?！28（一）Polyfit的使用p=polyfit(x0,y0,n)其中x0和y0分別為觀察節(jié)點和觀察值向量；n表示插值多項式的次數(shù)；輸出值p表示插值多項式的系數(shù)。例：某實驗中測得一組數(shù)據(jù)，其值如下：

xl2345y1.31.82.22.93.5已知x和y成線性關系，即y=kx+b，求系數(shù)k和b

x=[12345];y=[1.31.82.22.93.5];p=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p,x);plot(x,y1)holdon;plot(x,y,'b*');p=0.550.69也就是，k為0.55，b為0.6929（二）lsqcurvefit的使用方程（目標函數(shù)）Findcoefficientsbetathatbestfittheequation調(diào)用形式beta=lsqcurvefit(fun,beta0,xdata,ydata)beta=lsqcurvefit(fun,beta0,xdata,ydata,lb,ub)beta=lsqcurvefit(fun,beta0,xdata,ydata,lb,ub,options)xdata和ydata——分別為觀察節(jié)點和觀察值向量；fun——自定義的非線性擬合模型；beta0——擬合參數(shù)的初始值；beta——擬合模型中的參數(shù)；lb,ub——擬合參數(shù)初值的邊界值,lb<=beta<=ub。30lsqcurvefit的使用（續(xù)）調(diào)用形式（續(xù)）[beta,resnorm]=lsqcurvefit(...)[beta,resnorm,residual]=lsqcurvefit(...)[beta,resnorm,residual,exitflag]=lsqcurvefit(...)[beta,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqcurvefit(...)[beta,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqcurvefit(...)[beta,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqcurvefit(...)resnorm——返回beta處的殘差平方和，sum((fun(x,xdata)-ydata).^2)residual——返回解beta處的殘差，

fun(x,xdata)-ydata

exitflag——退出方式output——返回優(yōu)化信息的輸出結果，iterations、funcCount、algorithm、stepsize等lambda——解beta處的Lagrange乘子jacobian——返回函數(shù)在解beta處的Jacobian矩陣31lsqcurvefit的擬合函數(shù)的定義擬合函數(shù)的定義：functionF=myfun(beta,xdata) F=...%Computefunctionvaluesatxbeta=lsqcurvefit(@myfun,beta0,xdata,ydata)Note:(1)funshouldreturnfun(x,xdata),andnotthesum-of-squaressum((fun(x,xdata)-ydata).^2).(2)Thealgorithmimplicitlysquaresandsumsfun(x,xdata)-ydata.32lsqcurvefit的擬合函數(shù)的定義（續(xù)）IftheJacobiancanalsobecomputedbyuser-definedfunction[F,J]=myfun(beta,xdata)F=...%objectivefunctionvaluesatbetaifnargout>1%twooutputargumentsJ=...%Jacobianofthefunctionevaluatedatbetaendoptions=optimset('Jacobian','on')ForexamplefunctionF=myfun(beta,xdata) F=beta(1)*exp(beta(2)*xdata);33lsqcurvefit應用示例%Assumeyoudeterminedxdataandydataexperimentallyxdata=[0.91.513.819.824.128.235.260.374.681.3];ydata=[455.2428.6124.167.343.228.113.1-0.4-1.3-1.5];beta0=[100;-1]%Startingguess[beta,resnorm]=lsqcurvefit(@myfun,beta0,xdata,ydata)functionF=myfun(beta,xdata)F=beta

(1)*exp(beta(2)*xdata);beta=498.8309-0.1013resnorm=9.504934（三）lsqnonlin的使用方程（目標函數(shù)）Findcoefficientsbetathatbestfittheequation調(diào)用形式beta=lsqnonlin(fun,beta0)beta=lsqnonlin(fun,beta0,lb,ub)beta=lsqnonlin(fun,beta0,lb,ub,options)fun——自定義的優(yōu)化函數(shù)；beta

0——優(yōu)化參數(shù)的初始值；beta——擬合模型中的參數(shù)；lb,ub——擬合參數(shù)初值的邊界值,lb<=beta<=ub。35lsqnonlin的使用（續(xù)）調(diào)用形式（續(xù)）[x,resnorm]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqnonlin(...)[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=lsqnonlin(...)resnorm——返回beta處的殘差平方和，sum((fun(beta,xdata)-ydata).^2)residual——返回解beta處的殘差，

fun(beta,xdata)-ydataexitflag——退出方式output——返回優(yōu)化信息的輸出結果，iterations、funcCount、algorithm、stepsizelambda——解beta處的Lagrange乘子jacobian——返回函數(shù)在解beta處的Jacobian矩陣36lsqnonlin的用于擬合的目標函數(shù)定義擬合函數(shù)的定義：functionF=myfun(beta,xdata,ydata)F=fitfun(beta,xdata)-ydata.%Computefunctionvaluesatbetabeta=lsqnonlin(@myfun,beta0,[],xdata,ydata)Note:funshouldreturnthesum-of-squaressum((fun(beta,xdata)-ydata).^2).ForexamplefunctionF=myfun(beta,xdata,ydata) F=beta(1)*exp(beta(2)*xdata)-ydata;37（四）nlinfit的使用nlinfit()是lsqcurvefit()和lsqnonlin()的簡化版本調(diào)用形式beta=nlinfit(x,y,fun,beta0)[beta,residual,jacobian]=nlinfit(x,y,fun,beta0)[...]=nlinfit(x,y,fun,beta0,options)x和y——分別為觀察節(jié)點和觀察值向量，行數(shù)要相同；fun——自定義的非線性擬合模型；beta0——擬合參數(shù)的初始值；beta——擬合模型中的參數(shù)；residual——殘差；jacobian——Jacobian矩陣38（五）nlparci的使用Confidenceintervalsforparametersinnonlinearregression調(diào)用ci=nlparci(beta,'covar',sigma)ci=nlparci(beta,resid,'jacobian',J)returnsthe95%confidenceintervalsciforthenonlinearleastsquaresparameterestimatesbeta.ci=nlparci(...,'alpha',alpha)

returns100(1-alpha)%confidenceintervals.Forexampleloadreaction[beta,residual,jacobian]=nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta);ci=nlparci(beta,residual,jacobian)ci=-0.74673.2519-0.03770.1632-0.03120.1113-0.06090.2857-0.73813.1208

LowlimitandUpperlimit39（六）nlpredci的使用Confidenceintervalsforpredictionsinnonlinearregression調(diào)用[ypred,delta]=nlpredci(modelfun,x,beta,resid,'covar',sigma)[ypred,delta]=nlpredci(modelfun,x,beta,resid,'jacobian',J)returnspredictions,ypred,and95%confidenceintervalhalf-widths,delta,forthenonlinearregressionmodeldefinedbymodelfun,atinputvaluesx.[...]=nlpredci(...,'param1',val1,'param2',val2,...)Forexampleloadreaction;[beta,resid,J]=nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);newX=reactants(1:2,:);[ypred,delta]=nlpredci(@hougen,newX,beta,resid,J);ypred=8.41793.9542delta=0.28050.2474

ypred±delta40使用MATLAB進行參數(shù)估計示例例1：等溫積分反應器的參數(shù)估計 在一等溫積分反應器的動力學實驗中，發(fā)生如下反應：已知：當t=0時，CA0=1，CB0=0，CC0=0。實驗數(shù)據(jù)如下表：ti051015205080100200CAi,exp1.0000.8400.6790.5030.4250.1370.0300.0060.000CBi,exp0.0000.1550.3270.4260.4770.5710.5020.3850.145模型：因為CA+CB+CC=1，所以描述反應器出口反應物濃度變化的模型方程只需要兩個：初始條件為：t=0，CA0=1，CB0=0，CC0=0。41使用MATLAB的dsolve求積分>>s=dsolve('Dy1=-k1*y1,Dy2=k1*y1-k2*y2','y1(0)=1,y2(0)=0')

s=y1:[1x1sym]

y2:[1x1sym]

>>s.y1>>s.y2>>simplify(s.y2)

ans=

exp(-k1*t)

ans=

-(-k1+k2)/(k1-k2)^2*k1*exp(-k2*t)-1/(k1-k2)*k1*exp(-k1*t)ans=

k1*(exp(-k2*t)-exp(-k1*t))/(k1-k2)42對積分式進行參數(shù)估計的源程序functionseqcurvefit11clearall;loadseqdata;beta0=[0.0050.001];

lb=[00];ub=[infinf];[beta,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=...lsqnonlin(@seqfun,beta0,lb,ub,[],t,c);

ci=nlparci(beta,residual,jacobian);

functiony=seqfun(beta,t,c)ca=exp(-beta(1)*t);cb=beta(1)/(beta(2)-beta(1))*(exp(-beta(1)*t)-exp(-beta(2)*t));y=[ca-c(:,1)cb-c(:,2)];

43輸出計算結果的源程序%printresultfprintf('\nEstimatedParametersbyLsqnonlin():\n')fprintf('\tk1=%.4f±

%.4f\n',beta(1),ci(1,2)-beta(1))fprintf('\tk2=%.4f±

%.4f\n',beta(2),ci(2,2)-beta(2))fprintf('Thesumofthesquaresis:%.1e\n\n',sum(residual.^2))%plotoffitresultstc=linspace(0,max(t),200);[y_row,y_col]=size(c);zeroc=zeros(200,y_col);yc=seqfun(beta,tc',zeroc);plot(t,c(:,1),'ro',tc,yc(:,1),'r-');holdonplot(t,c(:,2),'b+',tc,yc(:,2),'b-');xlabel('Time');ylabel('Concentration');holdoff用函數(shù)求擬合值。注意轉(zhuǎn)置，與函數(shù)定義的矩陣維數(shù)一致！44參數(shù)擬合結果>>seqcurvefit11Optimizationterminated:relativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFun.EstimatedParametersbyLsqnonlin(): k1=0.0412±0.0018 k2=0.0121±0.0008Thesumoftheresidualsquaresis:2.7e-00345方法2：對微分式進行參數(shù)估計functionseqcurvefit21clearall;loadseqdata;[y_row,y_col]=size(c);

beta0=[0.0050.001];c0=[10];lb=[00];ub=[infinf];[beta,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=...lsqnonlin(@seqfun,beta0,lb,ub,[],t,c,y_col,c0);ci=nlparci(beta,residual,jacobian);

46擬合模型和目標函數(shù)的定義functiony=seqfun(beta,t,c,y_col,c0)%Objectivefunctiontspan=[0max(t)];[ttyy]=ode45(@modeleqs,tspan,c0,[],beta);forcol=1:y_colyc(:,col)=spline(tt,yy(:,col),t);endy=[c(:,1)-yc(:,1);c(:,2)-yc(:,2)];

functiondydt=modeleqs(t,y,beta)%Modelequationdydt=[-beta(1)*y(1);beta(1)*y(1)-beta(2)*y(2)];[beta,resnorm,residual,exitflag,output,lambda,jacobian]=...lsqnonlin(@seqfun,beta0,lb,ub,[],t,c,y_col,c0);47輸出計算結果的源程序%printresultfprintf('\nEstimatedParametersbyLsqnonlin():\n')fprintf('\tk1=%.4f±

%.4f\n',beta(1),ci(1,2)-beta(1))fprintf('\tk2=%.4f±

%.4f\n',beta(2),ci(2,2)-beta(2))fprintf('Thesumofthesquaresis:%.1e\n\n',sum(residual.^2))%plotoffitresultstspan=[0max(t)];[ttyc]=ode45(@modeleqs,tspan,c0,[],beta);tc=linspace(0,max(t),200);yca=spline(tt,yc(:,1),tc);plot(t,c(:,1),'ro',tc,yca,'r-');holdonycb=spline(tt,yc(:,2),tc);plot(t,c(:,2),'b+',tc,ycb,'b-');xlabel('Time');ylabel('Concentration');holdoff

首先解微分方程求擬合值。然后用樣條插值逼近。48參數(shù)擬合結果>>seqcurvefit21Optimizationterminated:relativefunctionvaluechangingbylessthanOPTIONS.TolFun.EstimatedParametersbyLsqnonlin(): k1=0.0412±0.0018 k2=0.0121±0.0008Thesumoftheresidualsquaresis:5.0e-003

49使用MATLAB進行參數(shù)估計示例例2：青霉素發(fā)酵過程動力學參數(shù)估計：在間歇發(fā)酵罐中研究青霉素發(fā)酵過程動力學，微生物Penicilliumchrysogenum在一定的控制條件下生長，細胞生長速率可以用邏輯模型描述：青霉素的生產(chǎn)速率模型為：

初始條件為：t=0，y1=0.29，y2=0

。TimehoursCellconcentrationdryweightPenicillinconcentrationunits/ml00.180100.120220.480.0089341.460.0642461.560.2266581.730.4373701.990.6943822.621.2459942.881.43151063.432.04021183.371.92781303.922.18481423.962.42041543.582.46151663.582.2831783.342.70781903.472.654250使用MATLAB的dsolve求積分>>s=dsolve('Dy1=k1*y1*(1-y1/k1),Dy2=k3*y1-k4*y2','