高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)和二次函數(shù)蘇教江蘇專用

高考數(shù)學(xué)文一輪復(fù)習(xí)冪函數(shù)和二次函數(shù)蘇教江蘇專用

考點(diǎn)探究?挑戰(zhàn)高考考向瞭望?把脈高考第四節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)?面對(duì)高考1．二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)雙基研習(xí)·面對(duì)高考基礎(chǔ)梳理b＝0b≠0思考感悟1．一元二次函數(shù)的解析式中含有參數(shù)時(shí)需注意些什么？提示：一元二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，含參數(shù)的位置不一樣，對(duì)函數(shù)的影響不一樣，如f(x)＝ax2＋x＋1.此函數(shù)雖然含有參數(shù)a，但不論a取何值，函數(shù)f(x)恒過一定點(diǎn)(0,1)；又如f(x)＝x2＋ax＋1，此函數(shù)中a只影響對(duì)稱軸的位置，而開口方向及與y軸的交點(diǎn)都不變化；再如f(x)＝x2＋2x＋a，此函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸不發(fā)生變化．掌握這些“變”與“不變”的關(guān)系，對(duì)于解決有關(guān)的二次函數(shù)問題可以起到化繁為簡(jiǎn)的作用．2．冪函數(shù)的定義形如_______的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中____為自變量，_____為常數(shù)．y＝xαxα4．冪函數(shù)的性質(zhì)(1)所有冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)．(2)如果α＞0，則冪函數(shù)圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間(0，＋∞)上為_________(3)如果α＜0，則冪函數(shù)圖象在區(qū)間(0，＋∞)上為__________在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無限地逼近y軸．當(dāng)x趨向于＋∞時(shí)，圖象在y軸上方無限地逼近x軸．(4)當(dāng)α為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為_______，當(dāng)α為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為__________增函數(shù)．減函數(shù)．奇函數(shù)偶函數(shù)．思考感悟2．冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的主要不同是什么？提示：兩種函數(shù)中自變量x所處的位置不一樣，冪函數(shù)在底數(shù)的位置，指數(shù)函數(shù)在冪指數(shù)的位置．1．函數(shù)y＝x2－x＋2，x∈(－1,5)的值域是________．課前熱身2.二次函數(shù)y＝f(x)圖象如圖所示．那么此函數(shù)的解析式為________．答案：二、四考點(diǎn)探究·挑戰(zhàn)高考考點(diǎn)突跛考點(diǎn)一冪函數(shù)的性質(zhì)研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)主要側(cè)重于單調(diào)性和奇偶性，單調(diào)性主要研究在(0，＋∞)上的情形，奇偶性情況較復(fù)雜，可利用定義進(jìn)行判斷．例1【思路分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)求m的值，由f(x)的單調(diào)性求a的范圍．【名師點(diǎn)評(píng)】本題中易出現(xiàn)考慮不全面而忽略a＋1＜0＜3－2a，使解析不完整．(2)在同一坐標(biāo)系下作出f(x)＝x2和g(x)＝x－2的圖象，如圖所示．由圖象可知：①當(dāng)x＞1或x＜－1時(shí)，f(x)＞g(x)；②當(dāng)x＝1或x＝－1時(shí)，f(x)＝g(x)；③當(dāng)－1＜x＜1且x≠0時(shí)，f(x)＜g(x)考點(diǎn)二二次函數(shù)的最值求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值(值域)，其關(guān)鍵是判斷二次函數(shù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)(或?qū)ΨQ軸)與所給區(qū)間的關(guān)系，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題．

已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．【思路分析】找出對(duì)稱軸，討論二次函數(shù)的開口方向及對(duì)稱軸與區(qū)間[0,1]的關(guān)系．【解】

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x在[0,1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2.例2互動(dòng)探究2若例2改為：已知函數(shù)f(x)＝x2－2x(0≤x≤a)，求函數(shù)的最小值．考點(diǎn)三三個(gè)二次間的關(guān)系二次函數(shù)、方程、不等式的核心是二次函數(shù)的圖象，要注意三個(gè)二次問題的相互聯(lián)系和互相轉(zhuǎn)化．

已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋3，(1)當(dāng)x∈R時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的范圍；(2)當(dāng)x∈[－2,2]時(shí)，f(x)≥a恒成立，求a的范圍．【解】

(1)f(x)≥a恒成立，即x2＋ax＋3－a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，∴－6≤a≤2.例3【名師點(diǎn)評(píng)】求函數(shù)恒滿足某個(gè)條件，就是求函數(shù)最大(最小)值恒小于(大于)某個(gè)式子，這種思想方法在做恒成立的題目中經(jīng)常用到．變式訓(xùn)練3若x∈(－3,1)時(shí)，不等式(1－a)x2－4x＋6＞0恒成立，求a的取值范圍．考點(diǎn)四二次函數(shù)的綜合應(yīng)用二次函數(shù)是高考考查的永恒主題，常把二次函數(shù)的解析式、圖象的對(duì)稱軸、值域、最值、單調(diào)性等內(nèi)容結(jié)合起來編制綜合題，有一定的難度．例4【名師點(diǎn)評(píng)】二次函數(shù)解析式的確定，應(yīng)視具體問題靈活地選用其形式，再根據(jù)題設(shè)條件列方程組，即運(yùn)用待定系數(shù)法來求解，在具體問題中，常常會(huì)與圖象的平移、對(duì)稱，函數(shù)的周期性、奇偶性等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．方法技巧1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在某段區(qū)間[m，n]上的最值，特別是含參數(shù)的兩類情況：①定軸動(dòng)區(qū)間；②動(dòng)軸定區(qū)間，其解法是：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，該討論時(shí)須討論，“三點(diǎn)”即區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，“一軸”即對(duì)稱軸．2．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的實(shí)根分布(區(qū)間根)問題，就是利用的二次函數(shù)圖象來解決，應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開口方向、判別式Δ、對(duì)稱軸位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)以及圖象是否過定點(diǎn)等．方法感悟3．比較大小(1)am與an：構(gòu)建指數(shù)函數(shù)y＝ax；(2)am與bm：構(gòu)建冪函數(shù)y＝xm；(3)ab與ba：往往取中間量0、1、aa或bb.4．根據(jù)圖象判斷冪指數(shù)大小在(0,1)上“圖高指小”；在(1，＋∞)上“圖高指大”．5．冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)．6．冪函數(shù)在(0，＋∞)上遞增?冪指數(shù)大于0；冪函數(shù)在(0，＋∞)上遞減?冪指數(shù)小于0.失誤防范1．二次函數(shù)的類型有多種分類的方式，平時(shí)主要是從含參數(shù)或不含參數(shù)上來探究，因而，含參數(shù)的問題要分類討論，但分類的標(biāo)準(zhǔn)易理順不清，容易漏掉某些情況，分類時(shí)要多結(jié)合圖象尋找要討論的情況．2．冪函數(shù)主要分α＞0與α＜0兩類來研究，解決問題時(shí)易遺忘有關(guān)的性質(zhì)，如奇偶性，幾類有關(guān)的圖象記不清楚導(dǎo)致畫錯(cuò)圖象．本節(jié)內(nèi)容中，二次函數(shù)易與其他函數(shù)等有關(guān)知識(shí)結(jié)合，重點(diǎn)是考查有關(guān)單調(diào)性及求最值的問題；如2009年江蘇省高考第20題．冪函數(shù)要求降低，只要求掌握五種較為常見的冪函數(shù)，近幾年江蘇省沒有單獨(dú)命題．預(yù)測(cè)在2012年江蘇高考中，兩類函數(shù)單獨(dú)命題的可能性不大，還是有可能與其他知識(shí)結(jié)合起來命題，估計(jì)涉及內(nèi)容不會(huì)太多．考向瞭望·把脈高考考情分析 (本題滿分14分)(2009年高考江蘇卷)設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范圍；(2)求f(x)的最小值；(3)設(shè)函數(shù)h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接寫出(不需要給出演算步驟)不等式h(x)≥1的解集．例規(guī)范解答【名師點(diǎn)評(píng)】本類問