TM點的合成運動精講

TM點的合成運動精講第1頁/共64頁

點或剛體相對于一個定坐標系的運動，可稱為簡單運動。同一物體相對于不同參考系表現不同的運動。研究物體相對于不同參考系的運動，分析物體相對于不同參考系運動之間的關系，可稱為合成運動。本章研究某一瞬時點的速度合成定理和加速度合成定理。

重點：點的運動的合成與分解，點的速度合成定理及加速度合成定理及其應用。難點：牽連速度、牽連加速度及科氏加速度的概念，以及動點、動坐標系的選擇?！?.0本章導讀第2頁/共64頁8.1合成運動的基本概念

物體的運動是相對的，對于不同的參考系，其運動規(guī)律是不同的，即物體的運動相對于不同的參考系是不同的。

如圖所示沿x軸作純滾動的圓輪。取Oxy、為參考系（其中C為輪心，C點作直線運動，運動過程中∥Ox，∥Oy。即相對Oxy作平動）。對于Oxy

參考系而言，動點M的運動軌跡曲線為旋輪線；對于參考系而言，動點M的運動軌跡曲線為圓周線。第3頁/共64頁

如圖所示，直管OA以角速度w

在水平面內繞O軸轉動，管內有一小球M沿直管向外運動。對于固連于地面的參考系，小球M作平面曲線運動，對于固連于直管的參考系，小球M作直線運動。

顯然，在兩種參考系中，動點M的速度和加速度也都不同。

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圖中M點沿旋輪線運動，但對于參考系，點M作圓周運動，參考系相對作平動。點M的運動可看成由圓周運動和平動復合而成。

點M的運動可看成由直線運動與定軸轉動復合而成。

這種相對于某一參考系的運動可由相對于其他參考系的幾個運動復合而成的運動稱為合成運動。

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把固定于其他物體上相對于定系運動的參考系稱為動參考系（Movingreferencesystem），簡稱動系，以表示。

習慣上把固定于地球表面的坐標系稱為定參考系（Fixedreferencesystem），簡稱定系，以表示。

兩種坐標系：

三種運動：絕對運動（Absolutemotion）：動點相對定系的運動。相對運動（Relativemotion）：動點相對動系的運動。牽連運動（Carriermotion）：動系相對定系的運動。第6頁/共64頁取小球M為動點，取為定系，取為動系，點M（小球）的相對運動是沿直管的直線運動，絕對運動則是曲線運動，而牽連運動則是繞O軸的轉動。

絕對運動和相對運動都是指動點的運動，可能是直線運動或曲線運動。牽連運動為固連動系的剛體的運動，它可能是平動、定軸轉動或其他較復雜的剛體運動。第7頁/共64頁

軌跡、速度、加速度：

動點在絕對運動中的軌跡、速度、加速度分別稱為絕對軌跡、絕對速度（Absolutevelocity）、絕對加速度（Absoluteacceleration）。絕對速度和絕對加速度分別以和表示。

動點在相對運動中的軌跡、速度、加速度分別稱為相對軌跡、相對速度（Relativevelocity）、相對加速度（Relativeacceleration）。相對速度和相對加速度分別以和表示。第8頁/共64頁

某瞬時動系上與動點重合的點稱為牽連點。牽連點相對于定系的速度和加速度分別稱為牽連速度（Carriervelocity，Transportvelocity）和牽連加速度（Carrieracceleration，Transportacceleration）。在不同的瞬時有不同的牽連點。

某些比較復雜的運動，通過恰當地選擇動系，可以看成是比較簡單的牽連運動和相對運動的合成，或者說可以把復雜的運動分解兩個比較簡單的運動。

牽連速度和牽連加速度分別以和表示。RETURN第9頁/共64頁

設動點M在動系中沿曲線AB運動（即曲線AB是點M的相對軌跡），而動系本身又相對于定系作某種運動，在瞬時t，動系連同相對軌跡AB在定系中的I位置，動點則在曲線AB上的M點。經過時間間隔，動系運動到定系中的II位置，動點運動到點。如果在動系上觀察點M的運動，則它沿曲線AB運動到點M2。8.2速度合成定理第10頁/共64頁動點M的絕對軌跡為，絕對位移為。動點M的相對軌跡為，相對位移為。為牽連點的位移，為牽連點的軌跡。

是點M在瞬時t的絕對速度，其方向沿在M點的切線方向。

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是在瞬時t的牽連速度，其方向沿在M點的切線方向。

是點M在瞬時t的相對速度，其方向沿在M點的切線方向。（8-1）即動點的絕對速度等于牽連速度與相對速度的矢量和，這就是速度合成定理。若以某瞬時的牽連速度和相對速度的矢量為鄰邊作平行四邊形，則其對角線就是該瞬時的絕對速度矢量。

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應用式（8-1）求解時，應注意三點：

一是動點和動系不能選在同一剛體上，否則，動點對動系無相對運動；

二是動點對動系的相對運動軌跡要簡單明了，如為直線運動或圓周運動；

三是在推導速度合成定理時，并未限制動系作什么樣的運動，因此，該定理適用于牽連運動是任何運動的情況。

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步驟：（1）恰當地選擇動點和動系，如無特殊說明，定系一般固連于地面上；（2）分析三種運動，進而確定三種速度的大小和方向，哪些是已知的，哪些是未知的；（3）按速度合成定理作出速度平行四邊形，利用三角關系或矢量投影定理求解。NEXT例8-1第14頁/共64頁

例8-1

汽車以速度v1

沿直線的道路行駛，雨滴以速度v2鉛直下落，試求雨滴相對于汽車的速度。

解：

因為雨滴相對運動的汽車有運動，所以本題為點的合成運動問題，可應用點的速度合成定理求解。（1）動點、動系：雨滴為動點，動系固定在汽車上。（2）分析三種運動：絕對運動為雨滴的鉛直直線運動，牽連運動為水平直線平動。第15頁/共64頁

（3）分析三種速度：由速度合成定理

速度大小方向

作速度平行四邊形，求得相對速度為v2鉛直向下v1水平向左?？NEXT例8-2第16頁/共64頁

例8-2

圖示機構中，曲柄OA可繞固定軸O轉動，滑塊用銷釘A與曲柄相連，并可在滑道DE中滑動。曲柄轉動時通過滑塊帶動滑道連桿BCDE沿導槽運動。已知曲柄長OA=r，角速度為w。試求當OA桿與水平線成角j時BC桿的速度。

解：因為滑塊A沿運動著的滑道DE運動，所以本題為點的合成運動問題，可應用點的速度合成定理求解。第17頁/共64頁

（1）選擇動點及動系：動點取為滑塊A，動系固連在滑道連桿BCDE上。（2）分析三種運動：絕對運動是以O為圓心，OA長為半徑的圓周運動，相對運動是沿滑道DE的直線運動，牽連運動為水平平動。（3）分析三種速度：由速度合成定理

速度大小方向rw垂直O(jiān)A？水平方向?鉛直方向第18頁/共64頁

作速度平行四邊形，求得牽連速度的大小為

牽連速度就是滑道DE及BC桿的速度，

NEXT例8-3第19頁/共64頁

例8-3

曲柄滑道機構，T字形桿BC部分處于水平位置，DE部分處于鉛直位置并放在套筒A中。已知曲柄OA以勻角速度rad/s繞O軸轉動，OA=r=

10cm，試求當曲柄OA與水平線的夾角、、、時，T形桿的速度。

解：（1）選擇動點及動系：選套筒A為動點，動系固連于T字形桿上。

（2）分析三種運動：絕對運動為圓周運動，相對運動為沿DE的直線運動，牽連運動為T字形桿的平動。

第20頁/共64頁

（3）分析三種速度：速度大小方向rw垂直O(jiān)A？水平方向?鉛直方向

作速度平行四邊形，求得牽連速度的大小為故T字形桿的速度為第21頁/共64頁NEXT例8-4第22頁/共64頁

例8-4

曲柄OA以勻角速度w繞O軸轉動，其上套有小環(huán)M，而小環(huán)M又在固定的大圓環(huán)上運動，大圓環(huán)的半徑為R。試求當曲柄與水平線成的角時，小環(huán)M的絕對速度和相對曲柄OA的相對速度。

第23頁/共64頁

解：（1）選擇動點及動系：小環(huán)M為動點，動系固連在OA上。

（2）分析三種運動：絕對運動為圓周運動，相對運動為沿OA的直線運動，牽連運動為定軸轉動。第24頁/共64頁速度大小方向？垂直CMOMw水平方向?沿OA

作速度平行四邊形，求得絕對速度和相對速度的大小分別為

（3）分析三種速度：由速度合成定理

NEXT例8-5第25頁/共64頁

例8-5

半徑為R，偏心距為e的凸輪，以勻角速度w繞O軸轉動，并使滑槽內的直桿AB上下移動，設OAB在一條直線上。圖示位置時，輪心C與O軸在水平位置，試求該瞬時時桿AB的速度。

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解：（1）選擇動點及動系：選桿AB上的A點為動點，動系固連在凸輪上。

（2）分析三種運動：絕對運動為直線運動，相對運動為圓周運動，牽連運動為定軸轉動。第27頁/共64頁速度大小方向？鉛垂OAw垂直O(jiān)A?垂直CA

作速度平行四邊形，

（3）分析三種速度：由速度合成定理

求得絕對速度的大小為

第28頁/共64頁

解：（1）選擇動點及動系：選輪心C為動點，動系固連在桿AB上。

（2）分析三種運動：絕對運動為圓周運動，相對運動為圓周運動，牽連運動為平動。

討論：作速度矢量圖，桿AB的速度為NEXT例8-6第29頁/共64頁

例8-6

圖示機構中，半徑為r的半圓柱凸輪向左運動，推動桿OA繞O軸作定軸轉動。在圖示位置時，凸輪的速度為u，。試求該瞬時OA桿轉動的角速度。

第30頁/共64頁

分析：本例中凸輪水平向左平動，通過凸輪與桿在B點的接觸傳遞運動。且接觸點（無論是凸輪上還是桿上）在不同的時刻對應著不同的點，即接觸點隨時間而變。不能B點作為動點，否則相對運動軌跡難以確定。但運動過程中，桿OA始終與凸輪相切，輪心C至桿OA的距離始終不變，因此可選點C為動點。

第31頁/共64頁

解：（1）選擇動點及動系：選點C為動點，動系固連于桿OA上。

（2）分析三種運動：絕對運動為水平向左的直線運動

，相對運動為平行于桿OA的直線運動

，牽連運動為繞O軸的定軸轉動。

（3）分析三種速度：牽連速度為牽連點的速度，而本題中牽連點為動系平面上與C點重合的點，由于動系繞O軸轉動，所以牽連速度垂直該點與轉軸的連線，即垂直于OC。

第32頁/共64頁速度大小方向u水平向左

？垂直O(jiān)C?平行OA作速度平行四邊形，由速度合成定理

求得牽連速度的大小為

OA桿轉動的角速度為

RETURN第33頁/共64頁

在圖8-9中，設為定系，為動系且作平動，M為動點。動點M在動系中的坐標為、、，動系單位矢量為、、。動系平動，、、的方向不變。8.3牽連運動是平動時點的加速度合成定理第34頁/共64頁動點M的相對速度為（8-2）

動點M的相對加速度為（8-3）

動點M相對于O點的矢徑為求二階導數，得

第35頁/共64頁

牽連運動是平動，動系上各點加速度相等，即牽連點的加速度與原點的加速度相等

第36頁/共64頁（8-4）

牽連運動為平動時點的加速度合成定理：當牽連運動為平動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度和相對加速度的矢量和。普遍的形式：

（8-5）

第37頁/共64頁

應用加速度合成定理解題的步驟，與應用速度合成定理解題時基本相同：（1）恰當地選擇動點和動系；（2）分析三種運動；（3）分析三種速度；（4）分析三種加速度，并作出加速度矢量圖；（5）應用矢量投影定理求解。

一般情況下，在進行加速度分析時先要分析進行速度分析。

步驟：NEXT例8-7第38頁/共64頁

例8-7

如圖所示半圓柱凸輪。凸輪在水平面內向右作減速運動。若已知凸輪在半徑為R。圖示瞬時時，凸輪的速度為u，加速度為a。試求該瞬時導桿AB的加速度。

解：（1）選擇動點及動系：動點取為導桿AB上的A點，動系固連在凸輪上。

（2）分析三種運動：絕對運動為沿AB的直線運動，相對運動為圓周運動，牽連運動為凸輪的平動。第39頁/共64頁

（3）分析速度：由速度合成定理速度大小方向u鉛直方向

？水平向右?垂直O(jiān)A

作速度平行四邊形，求得相對速度的大小為

第40頁/共64頁

（4）分析加速度：由牽連運動是平動時的加速度合成定理加速度大小方向鉛直方向水平向左指向點O垂直O(jiān)A?a?

作加速度矢量圖.

（5）應用矢量投影定理，向y軸投影，得

另外，還可向x軸投影求得，請讀者自己求解。NEXT例8-8第41頁/共64頁

例8-8

圖示機構中，曲柄OA可繞固定軸O轉動，滑塊用銷釘A與曲柄相連，并可在滑道DE中滑動。曲柄轉動時通過滑塊帶動滑道連桿BCDE沿導槽運動。已知曲柄長OA=10cm。當時，曲柄的角速度為，角加速度。試求圖示位置時BC桿的加速度。

解：（1）選擇動點及動系：動點取為滑塊A，動系固連在滑道連桿BCDE上。

（2）分析三種運動：第42頁/共64頁絕對運動是以O為圓心，OA長為半徑的圓周運動

相對運動是沿滑道DE的直線運動，牽連運動為水平平動。

（3）分析加速度：由牽連運動是平動時的加速度合成定理加速度大小方向指向O點垂直O(jiān)A水平鉛直方向OA·w2OA·a?作加速度矢量圖第43頁/共64頁

（5）應用矢量投影定理，向水平軸投影，得

牽連加速度就是BC桿的加速度，即RETURN第44頁/共64頁

設的端點A的矢徑為，則點A的速度為

設動系以角速度繞定軸z轉動。

牽連運動是定軸轉動時，動系坐標的單位矢量、、的方向隨時間在不斷變化，是時間t的函數。因此，先分析單位矢量對時間的導數。

（8-6）

8.4牽連運動是定軸轉動時點的加速度合成定理第45頁/共64頁同理可得

（8-7）

第46頁/共64頁

無論動系作何種運動，點的速度合成定理及其對時間的一階導數都是成立（8-8）

第47頁/共64頁考慮如圖

所示。當繞定軸z以角速度轉動時，牽連速度為

（8-9）

求導第48頁/共64頁（8-10）

第49頁/共64頁考慮（8-11）

求導第50頁/共64頁第51頁/共64頁提出（8-12）

（8-13）

第52頁/共64頁（8-14）

科氏加速度（Coriolisacceleration）。它等于動系角速度矢與點的相對速度矢積的兩倍。

牽連運動為定軸轉動時點的加速度合成定理：當牽連運動為定軸轉動時，動點的絕對加速度等于它的牽連加速度、相對加速度與科氏加速度的矢量和。（8-15）

（8-16）

（8-17）

第53頁/共64頁

矢量垂直于和，指向按右手法則確定。大?。悍较颍簈

為與兩矢量間的最小夾角?？剖霞铀俣龋篘EXT例8-9第54頁/共64頁

例8-9

如圖所示機構中，O1A桿以勻角速度w作定軸轉動運動。圖示位置時，，O1A桿長為L。試求該位置時O2B桿的角速度和角加速度。第55頁/共64頁

解：（1）選擇動點